人物A-Eの所有物の調査内容から確実な言明を判定する(2/2)

前記事からの続き

4.　ケース3
　4.1　問題
　　A～Fの6人が喫茶店に行き、それぞれ飲み物として珈琲、紅茶、ジュースのいずれか一つを注文
　　した。次の(a)~(e)がわかっている時、1~5のうち、確実に言えることはどれか？

　　　(a) Aの注文した飲み物をBとFは注文しなかった。
　　　(b) B,D,Eはそれぞれ別の飲み物を注文した。
　　　(c) Cの注文した飲み物をAとBは注文しなかった。
　　　(d) Fはジュースを注文しなかった。
　　　(e) コーヒーを注文したのは1人だった。

　　　１ Bはジュースを注文した。
　　　２ Cは紅茶を注文した。
　　　３ Dは紅茶を注文した。
　　　４ Eはコーヒーを注文した。
　　　５ FはDと同じ飲み物を注文した。 

　4.2　関係表の作成
　　(1) ・飲み物が不明なので、A,B,Cの飲み物をX,Y,Z（同じものがあるかもしれない）とする。
　　　　・(c)から、A,Bの飲み物はCと異なるX,Yのいずれか（X,Yは同じかもしれない）。
　　　　・(a)から、B,FはXではない。
　　　　・また、A,Bの飲み物は異なるから、結局、A,B,Cの飲み物はすべて異なり、これがす
　　　　　べての飲み物に対応する。

飲み物	合計数	A	B	C	D	E	F	備考
X		〇	×				×	(a)
Y			〇
Z		×	×	〇				(c)
備考

　　(2) ・各人1つしか飲まないので、A,B,Cの上下の空きはすべて×となる。
　　　　・(b)から、D,EはYではない。
　　　　・(d)から、FはXを注文していないので、Xはジュースとわかる。

飲み物	合計数	A	B	C	D	E	F	備考
X(ジュース)		〇	×	×			×	(d)
Y		×	〇	×	×	×		(b)
Z		×	×	〇
備考		↑		↑

　　(3) ・上の表で、DEは共にYが×なので、ジュースまたはZであるが、(b)から同じものではない。
　　　　　つまり、ジュースもZも2つ以上注文された。
　　　　・したがって、(e)のコーヒー1つはY以外になく、YはBが飲んでいるのでFYのセルは×にな
　　　　　る。すると、残りのZは紅茶になる。

飲み物	合計数	A	B	C	D	E	F	備考
X(ジュース)	2以上	〇	×	×			×
Y(コーヒ)	1	×	〇	×	×	×	×	(e)
Z(紅茶)	2以上	×	×	〇
備考

 

　　(4) ・前の表で、FはXYが×なので、残りのZ(紅茶)が〇。すると、ジュースの数は2、紅茶の数
　　　　　は3となる。

飲み物	合計数	A	B	C	D	E	F	備考
X(ジュース)	2	〇	×	×			×
Y(コーヒ)	1	×	〇	×	×	×	×
Z(紅茶)	3	×	×	〇			〇
備考

　4.3　解答
　　したがって、
　　１ Bはジュースを注文した。→　×
　　２ Cは紅茶を注文した。→　〇
　　３ Dは紅茶を注文した。→　不確定
　　４ Eはコーヒーを注文した。→　×
　　５ FはDと同じ飲み物を注文した。→　不確定

以上

人物A-Eの所有物の調査内容から確実な言明を判定する(1/2)

1.　まえがき
　以下のような問題があったが、表を作成して前後の関係を見ると複雑に見える関係が簡明になり
　解答が見えてきた。

2.　ケース1
　2.1　問題
　　AからEの5人の所有物を調べたところ、つぎの内容だった。
　　　(a) 別荘を所有している者は3人であり、CとDは所有していない。
　　　(b) 飛行機を所有している者は、2人でありDは所有していない。
　　　(c) 外車は4人が所有しているが、別荘を所有していない者に外車を所有していない者がいる。
　　　(d) ヨットを所有している者は3人いて、3人とも別荘を所有している。
　　　(e) プールを所有している者は3人いて、その中にAとEがいる。
　　　(f) すべてを所有している者はいない。

　　このことから、次の言明の内、確実に言えることはどれか？
　　　１. Aは飛行機を所有している。
　　　２. Bはプールを所有していない。
　　　３. Cは外車を所有している。
　　　４. Dはプールを所有している。
　　　５. Eは飛行機を所有している。

　2.2　関係表の作成
　　(1)　(a)-(e) から次となる。

	所有人数	A	B	C	D	E	備考
別荘	3	〇	〇	×	×	〇	(a)
飛行機	2				×		(b)
外車	4						(c)
ヨット	3	〇	〇	×	×	〇	(d)
プール	3	〇				〇	(e)

　　(2)　(c)からCかDは外車が無いが、外車の合計は4だから、A,B,Eは外車をもつ。
　　　　 (f)からA,Eは飛行機を持たない。

	所有人数	A	B	C	D	E	備考
別荘	3	〇	〇	×	×	〇
飛行機	2	×			×	×	(f)
外車	4	〇	〇			〇	(c)
ヨット	3	〇	〇	×	×	〇
プール	3	〇				〇

 
　　(3)　(4)の図と(f)から、Bはプールが無い。
　　　　飛行機は2つあるから、B,Cは飛行機を持つ。

	所有人数	A	B	C	D	E	備考
別荘	3	〇	〇	×	×	〇
飛行機	2	×	〇	〇	×	×	←
外車	4	〇	〇			〇
ヨット	3	〇	〇	×	×	〇
プール	3	〇	×			〇	(f)

　2.3　解答
　　最後の図から
　　「１.　Aは飛行機を所有している。」は誤り。
　　「２.　Bはプールを所有していない。」は合っている。
　　「３.　Cは外車を所有している。」は、どちらともいえない。
　　「４.　Dはプールを所有している。」は、どちらともいえない。
　　「５.　Eは飛行機を所有している。」は誤り。

　　ということで、正解は「2.」

3.　ケース2
　3.1　問題
　　A,B,Cの男性3人と、D,Eの女性2人がいる。各人の職業はすべて異なり、医者、歯医者、会社員、
　　公務員、商店主で、住んでいる区も、各人すべて異なり、品川、杉並、中央、練馬、港である。
 
　　次の(a)-(e)がわかっているとき、確実に言えるものは1-5のうちどれか？
　　　(a) DとEは品川区に住んでいない。
　　　(b) 公務員は練馬区に住んでいる。
　　　(c) 医者は、中央区に妻と住んでいる。
　　　(d) 港区に住んでいるAと商店経営とは別の男である。
　　　(e) 会社員は杉並区には住んでいない。

　　　1.　公務員は杉並区に住んでいる。
　　　2.　歯医者は港区に住んでいる。
　　　3.　Aは会社員である。
　　　4.　Bは中央区に住んでいる。
　　　5.　Dは歯医者である。

　3.2　関係表の作成
　　(1) (b),(c)から2つの〇が決定して、その上下左右の項目は×となる。また、(c)から医者
　　　　（ノーマルとする）は妻を持つ男である。また、(d)から、港区は、A男とわかり、商
　　　　店主は男とわかる。このとき、商店主は港ではない。
　　　　(e)から、杉並の会社員は×となる。

	品川	杉並	中央	練馬	港	備考	備考2
医者	×	×	〇	×	×	男	(c)
歯医者			×	×
会社員		×	×	×			(e)
公務員	×	×	×	〇	×		(b)
商店主			×	×	×	男	(d)
備考			男 (c)		A男 (d)

　　(2) (a)から、女のDFは杉並~港のどれかだが、中央と港は男なので、杉並か練馬のどれか
　　　　になる。2つなので、杉並と練馬はDF女になる。結局残りの品川は男になる。
　　　　また、練馬は公務員の女なので、右の備考をDF女とする。

	品川	杉並	中央	練馬	港	備考	備考2
医者	×	×	〇	×	×	男
歯医者			×	×
会社員		×	×	×
公務員	×	×	×	〇	×	DF女
商店主			×	×	×	男
備考	男	DF女	男	DF女	A男

　　(3) 2人の女のうち1つは練馬・公務員なので、残りは杉並の歯医者と商店主だが、商店主は
　　　　男なので、結局、歯医者になる。すると、残りの会社員は男になる。
　　　　また、杉並、歯医者の左右上下の未定セルを×とする。すると、港区の会社員のみ未定
　　　　となり、ここに〇が付く。そして、下の備考はA男なので、右の備考もA男となる。

　　　　会社員は港区、A男なので、会社員・品川のセルは×。すると、品川は残りの商店主にな
　　　　る。備考の男を明確化のためBC男にする。

	品川	杉並	中央	練馬	港	備考	備考2
医者	×	×	〇	×	×	BC男
歯医者	×	〇	×	×	×	DF女
会社員	×	×	×	×	〇	A男
公務員	×	×	×	〇	×	DF女
商店主	〇	×	×	×	×	BC男
備考	BC男	DF女	BC男	DF女	A男

　3.3　解答
　　最後の表から、1、2はNGで、4はどうともいえない。5はDFのどちらかわからない。
　　結局、3のみが正しい。

 

以上

行列式の計算

次の行列式を計算する。
　　A=| 1    1   1    1 |
　　　 | a    b   c    d  |
　　　 | a²  b²  c²  d² |
　　　 | a⁴  b⁴  c⁴  d⁴ |

この式を見るとa,b,c,dのうち2つが同じなら、式は0になる。つまり、
(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)で因数分解できる。さらに、Aにおけるaの次数でa⁴が最大であ
り、この因数分解の次数はa³だから、残りの項はaの一次式である。対称だからb,c,dについても
同じとなる。したがって、因数分解の残りは (a+b+c+d) のような形とわかる。

4列-3列、3列-2列、2列-1列　を計算すると
　　A=| 1        0          0           0    |
　　　 | a     (b-a)     (c-b)     (d-c)  |
　　　 | a²  (b²-a²)  (c²-b²)  (d²-c²) |
　　　 | a⁴  (b⁴-a⁴)  (c⁴-b⁴)  (d⁴-c⁴) |

2,3,4列からそれぞれ (b-a),(c-b),(d-c) を取り出すと
　　A=(b-a)(c-b)(d-c)×
　　　|        1                    1                   1           |
　　　|     (b+a)             (c+b)             (d+c)        |
　　　| (b+a)(b²+a²)  (c+b)(c²+b²)  (d+c)(d²+c²) |

3列-2列、2列-1列　を計算すると

　　A=(b-a)(c-b)(d-c)×
　　　|        1                    0                   0    |
　　　|     (b+a)              (c-a)             (d-b)  |
　　　| (b+a)(b²+a²)         X                   Y    |
 　　=(b-a)(c-b)(d-c){(c-a)Y-(d-b)X}

ここで、
X=(c+b)(c²+b²)-(b+a)(b²+a²)=c²(c+b)+{(b²(c+b)-b²(b+a)}-a²(b+a)
  =c²(c+b)+b²(c-a)-a²(b+a)=c²(c+b+a)+b²(c-a)-a²(c+b+a)-c²a+a²c
  =(c²-a²)(c+b+a)+b²(c-a)-ca(c-a)=(c-a){(c+a)(c+b+a)+b²-ca}

  =(c-a)(a²+b²+c²+ab+bc+ca)

同様に
Y=(d+c)(d²+c²)-(c+b)(c²+b²)=(d-b)(b²+c²+d²+bc+cd+db)

すると
A=(b-a)(c-b)(d-c)(c-a)(d-b){b²+c²+d²+bc+cd+db-(a²+b²+c²+ab+bc+ca)}
  =(b-a)(c-b)(d-c)(c-a)(d-b){d²+cd+db-(a²+ab+ca)}
  =(b-a)(c-b)(d-c)(c-a)(d-b){d²-a²+c(d-a)+b(d-a)}
  =(b-a)(c-b)(d-c)(c-a)(d-b)(d-a)(d+a+c+b)
  =(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d)
となる。

以上

バネばかりに落下した物体が次の反動で浮き上がる条件

1.　まえがき

　下記の問題が載っていた。はじめ、問題の意図や意味も汲み取れなかった。

2.　問題

　図のように質量の無視できるバネの下端が床に固定され、上端は水平に保たれた固くて厚さの無
　視できる薄い板（質量2m）の重心に取り付けられている。この時、バネの自然の長さからd縮ん
　で静止した。この時の板の位置を最初の釣合の位置とする。板の重心鉛直上方の高さHの位置か
　ら大きさの無視できる小物体（質量m）を初速度なしで落とし、板に衝突させた。衝突後小物体
　は跳ね返らずに板と一体になって動き始め、床に到達する前に最も低くなる位置に到達した。そ
　の後、ともに鉛直上向きに運動してから、小物体は板から離れ、鉛直上方に飛び出た。バネは鉛
　直方向にのみ伸び縮みし、バネ定数は一定であり、空気の抵抗は無視できるものとする。重力加
　速度の大きさをgとし、以下の問に答えなさい。

　問　衝突後、小物体がバネの運動により、板から離れて飛び出るために必要な高さHを求めよ。

3.　解法

　始め意味が分からなかったのは幾つかの不明点があった。

　・　小物体が離れることの意味・・・・離れる条件として、バネは単振動をしており、最大上部
　　　に達したとき、下向きに最大（最小？）の加速度をもちます。この加速度が -g より小さけ
　　　れば、mの -gによる落下は、2mの台の下降についていけず、浮き上がる。という方針で計
　　　算した。
　・　板と小物体の衝突の条件・・・・運動量保存則がなりたつ。
　・　バネ定数が与えられていない・・・板の質量2mと初めの静止位置dから求まる。

　3.1　条件定数の計算

　　まず、2mとバネの釣合で、
　　　　kd=2mg → k=2mg/d・・・・・・①
　　とバネ定数がわかる。

　　mと2mの衝突で運動量保存が成り立つと仮定すれば、mの衝突前の速度は落下の位置エネルギ
　　ーに相当するので -√(2gH) だから、衝突後の(m+2m)の速度v₀は
　　　　-m√(2gH)=3mv₀ → v₀=-(√(2gH))/3・・・・・②

　3.2　運動方程式

　　運動方程式は上下方向を y軸に取って
　　　　3my''=-ky-3mg → y=-3mg/k+Acos wt+Bsin wt 、w=√(k/3m)・・・・・・③
　　　　y(0)=-d , y'(0)=v₀
　　だから
　　　　y=-3mg/k+(3mg/k-d)cos wt +(v₀/w)sin wt
　　したがって、
　　　　y''=-w²{(3mg/k-d)cos wt +(v₀/w)sin wt}

　　この最上部の加速度は cos/sin の係数の2乗和の平方根 -w²√{(3mg/k-d)²+(v₀/w)²} であ
　　り、これが、-gより小さければ浮き上がる。
　　　　-w²√{(3mg/k-d)²+(v₀/w)²}<-g・・・・・④

　　ここで、①②③を使って
　　　　(3mg/k-d)²=(3d/2-d)²=d²/4 , (v₀/w)²=(2gH/9)3m/k=(2gH/9)3d/(2g)=Hd/3
　　　　w²=k/3m=2g/(3d)

　　これを④に入れて
　　　　(2g/3d)√(d²/4+Hd/3)>g → d²/4+Hd/3>(9d²/4g²)g² → H/3>9d/4-d/4=2d
　　　　　→ H>6d
　　を得る。

4.　別解

　別解としてエネルギーを使った解法があった、計算は簡単で結果も一致する。バネが自然長に
　なったところでエネルギーの比較しているのだが、回りくどく、ゴチャゴチャしてハッキリし
　ない。さらに、小物体が離れる論理がどうもわからない。

　手順が簡単で結果も一致するので、なんとか考えた結果、以下のように理解できた。結局、離
　れる論理は上のものと同じ、「バネの最上部での加速度が -gより小さくなればよい」となる。

　すると上の運動方程式③で y''=-g とすると、y=0、つまり、バネの自然長のとき、-g となる。
　したがって、この自然長以上の振幅になればmは離れることになる。この時は、速度が0で、バ
　ネも自然長だから、位置エネルギーしかない。

　位置エネルギーの基準を始めの釣合位置、y=-d にすると、この自然長でのエネルギーは位置
　エネルギーのみで、
　　　3mgd　　・・・・・・・・・・⑤
　となる。衝突直後のエネルギーはバネのエネルギー
　　　kd²/2=mgd　　　　・・・・・⑥　（①式を代入）
　と、(m+2m)は②式の速度を持つから運動エネルギー 
　　　(3m)v₀²/2=mgH/3・・・・・⑦
　の和となる。結局、エネルギーが保存によって、⑥+⑦のエネルギーによって、最上部に達す
　る。そして、このエネルギーが⑤より大きければ、バネの自然長を超え、バネが縮むとき、-g
　より小さくなって、小物体は浮き上がる。つまり
　　　mgd+mgH/3>3mgd → H>6d
　となる。

以上

実数の定数Nに対し、実関数 f(x,y,z)=xy+yz+zx+Nxyz が x+y+z=1、x,y,z≧0 を満たすとき、fの値の範囲を求む。

つぎの自作問題というものがあった。

［問題］x+y+z=1、x,y,z≧0 と実数の定数Nに対し、実関数f(x,y,z)=xy+yz+zx+Nxyz のとりう
　　　　る値の範囲を求めよ。

［解］fは有界閉集合上の連続関数だから、最大最小が必ず存在する。したがって連続関数fの範囲は
　　　その最大最小の範囲なので、これ等を求めればよい。ラグランジュの未定乗数法を使う。
　　　これによって求めた、停留点は上の閉集合の内部であるから、まず、境界の最大最小を求めて
　　　おき、ラグランジュの結果と比較して、最大最小を求める。

1.　境界の評価。

　x+y=1 , z=0 の境界を考えると f=x(1-x) なので
　　　0≦f≦1/4・・・・①
　となる。 対称性から、他の境界も同じとなる。

2.　ラグランジュの結果（領域の内部の評価）

　λを消してまとめると　(x-y)(1+Nz)=(y-z)(1+Nx)=(z-x)(1+Ny)=0
　を得る。すなわち、(x-y)=(y-z)=(z-x)=0 を選ぶと
　　　x=y=z(=1/3)・・・・②
　となる。他の選び方により
　　　x=y かつ 1+Nx=1+Ny=0・・・・③
　または
　　　y=z かつ 1+Ny=1+Nz=0 ・・・・④
　または
　　　z=x かつ 1+Nz=1+Nx=0・・・・⑤
　がある。

　2.1　N≧0 のとき

　　N≧0 のときは x,y,z≧0 のため、1+Nx　などは正となり、③➃⑤がなりたたず、条件は②
　　のみになり、
　　　　x=y=z=1/3
　　となる。
　　f≧0 は明らか。 f(1,0,0)=0 なので、f=0が最小値。

　　　　f(1/3,1/3,1/3)=3/9+N/27=1/3+N/27
　　すると①と比較して
　　　　(1/3+N/27)-1/4=1/12+N/27>0
　　なので、
　　　　0≦f≦1/3+N/27

　2.2　N<0 のとき

　　③の条件、x=y かつ 1+Nx=1+Ny=0 のとき、x=y=-1/N, z=1-2x=1+2/N となる。
　　すると
　　　　f=1/N²+2(-1/N)(1+2/N)+N(1/N²)(1+2/N)=-(1/N+1/N²)
　　対称性から、➃⑤の時も同様。

　　以上から
　　　　a=min{0,1/3+N/27,-(1/N+1/N²)}
　　　　b=max{1/4,1/3+N/27,-(1/N+1/N²)}
　　とおくと
　　　　a≦f≦b
　　となる。

以上