ある行列式の計算と行列のrank

1.　まえがき

　以前、行列
　　An=
　　　| a  1  1  1 ・・・・ 1 |
　　　| 1  a  1  1 ・・・・ 1 |
　　　| 1  1  a  1 ・・・・ 1 |
　　　| 1   ・・・・          1 |
　　　| 1  1  1  1 ・・・・ a |
　を計算する問題があった。最近、この行列のrankを求める問題があったので考えた。

　An=(a[ij]) とすると、 a[ii]=a , a[ij]=1(i≠j)  である。

2.　行列式の計算

　行列式をAnとする。n=4まで計算して、An=(a-1)ⁿ⁻¹(a+n-1)　と予想する。
　順次、1行-2行、2行-3行、・・・、(n-1)行 - (n行)を実行する。すると、下記を得る。
　　An=
        |a-1  1-a    0    ・・・・・        0  |
        | 0    a-1  1-a    0   0 ・・・・  0  |
        | 0     0    a-1  1-a  0   ・・・   0  |
        |             ・・・・                       |
        | 0     0     0   ・・・・ 0  a-1  1-a|
        | 1     1     1   ・・・・ 1    1     a |　・・・・・・①
　これは１行から(n-1)行まで、それぞれ(a-1)の係数が出せて

　　An=(a-1)ⁿ⁻¹×
        | 1  -1  0   0  ・・・・・ 0|
        | 0   1 -1   0  0 ・・・・ 0|
        | 0   0  1  -1  0  0  ・・  0|
        |         ・・・・               |
        | 0   0  0   ・・・  0  1  -1|
        | 1   1  1   ・・・・   1   a|
　となる。つぎに、順次、2列+1列、3列+2列、・・・、(n列) + (n-1)列を実行
　すると、下記を得る。

　　An=(a-1)ⁿ⁻¹×
       | 1  0  0  0  ・・・・        0   |
       | 0  1  0  0  0  ・・・       0   |
       | 0  0  1  0  0  0 ・・・・ 0    |
       |     ・・・・               　       |
       | 0  0  0  ・・・ 0　 1      0    |
       | 1 2  3   ・・・・  n-1  a+n-1|　・・・・・・・②
　となる。

　すると、各行の右側がすべて0であることに注意して(1,1)から順次、展開して計算してい
　くと、行列式は最後に (a+n-1)となる。すなわち
　　An=(a-1)ⁿ⁻¹(a+n-1)
　を得る。

3.　上の行列のrankの計算

　①の結果から簡単に a=1 のときは、 rank An=1 とわかる。
　②において、n行-i行×i (i=1,2,・・・,n-1) をそれぞれ行うと、行列の基本変換は
　An → 
       ( 1  0  0  0  ・・・・        0     )
       ( 0  1  0  0  0  ・・・        0     )
       ( 0  0  1  0  0  0 ・・・・ 0     )
       (     ・・・・               　        )
       ( 0  0  0  ・・・ 0　 1      0     )
       ( 0  0  0   ・・・・   0  a+n-1)
　となる。

　すると
　　　a+n-1=0  → a=1-n のとき、 rank An=n-1 となる。
　　　a+n-1≠0  → a≠1-n のとき、 rank An=n となる。

　以上をまめると、n≧2 として
　　a=1 のとき、rank(An)=1
　　a≠1-n のとき、rank(An)=n
　　a=1-n のとき、rank(An)=n-1
　となる。

以上

[2021/8/20] 階数計算の誤り訂正。

ある行列式の計算

次の行列式の計算を述べる。

　　An=
　　　|1+a₁    1        1      1    ・・・     1    |
　　　|   1    1+a₂     1      1    ・・・     1    |
　　　|   1     ・・・・・・・・・             1    |
　　　|   1       1        1     1 ・・・・ 1+a[n] |

　　　=a₁a₂・・・a[n](1+1/a₁+1/a₂+・・・+1/a[n])  (a₁a₂・・・a[n]≠0 のとき)
　　　=a₁a₂・・・a[i-1]a[i+1]・・・a[n]    (1つだけ、a[i]=0 のとき)
　　　=0 (a[i]が2つ以上0のとき)

1.　a₁a₂・・・a[n]≠0 のとき

　a=1+1/a₁+1/a₂+・・・+1/a[n] とおく。Anの i列からa[i](i=1~n)を取り出す。すると
　　An=a₁a₂・・・a[n]×
　　　|1+1/a₁    1/a₂        1/a₃      1/a₄    ・・・  1/a[n]    |
　　　|   1/a₁    1+1/a₂     1/a₃      1/a₄    ・・・  1/a[n]    |
　　　|   1/a₁               ・・・・・・・・・            1/a[n]    |
　　　|   1/a₁      1/a₂       1/a₃      1/a₄ ・・・・ 1+1/a[n] |

　となる。つぎに、2~n列をそれぞれ1列に加える。すると、1列はすべて
　a=1+1/a₁+1/a₂+・・・+1/a[n]　となるから

　　An=a₁a₂・・・a[n]×
　　　| a    1/a₂       1/a₃      1/a₄    ・・・  1/a[n]    |
　　　| a   1+1/a₂    1/a₃      1/a₄    ・・・  1/a[n]    |
　　　| a               ・・・・・・・・・          1/a[n]    |
　　　| a    1/a₂       1/a₃      1/a₄ ・・・・ 1+1/a[n] |

　となる。つぎに、順次、2行-1行、3行-1行・・・n行-1行とすると

　　An=a₁a₂・・・a[n]×
　　　| a   1/a₂  1/a₃  1/a₄   ・・・  1/a[n]  |
　　　| 0    1       0      0       ・・・   0        |
　　　| 0    0          ・・・・・           0        |
　　　| 0    0       0      0 ・・・・      1        |

　となる。つまり、下半分が0の3角行列なので、行列式は対角線の要素、a,1,1,・・・,1
　せきになるから、

　　An=a₁a₂・・・a[n]a=a₁a₂・・・a[n](1+1/a₁+1/a₂+・・・+1/a[n])
　を得る。

2.　1つだけ、a[i]=0 のとき

　　An=                            (i列)
　　　|1+a₁    1       1  ・・・  1    ・・・ 1       |
　　　|   1    1+a₂    1  ・・・  1    ・・・ 1       |
　　　|   1     　・・・・・・・・・           1       |
　　　|   1    　　 ・・・ 　　　 1　・・・  1       |    (i行)
　　　|   1     　・・・・・・・・・         　1       |
　　　|   1      1       1  ・・・   1 ・・・ 1+a[n] |

　このとき、i列はすべて1なので、(すべてのi列以外の列)-(i列) を行う。すると、i列を除
　いた対角線以外の要素はすべて0になり

　　An=                       (i列)
　　　| a₁    0     0  ・・・  1    ・・・ 0   |
　　　|  0    a₂    0  ・・・  1    ・・・ 0   |
　　　|  0     　・・・・       1   ・・・ 0    |
　　　|  0    　　 ・・・ 　　1　・・・  0   |    (i行)
　　　|  0     　・・・・・・・・・     　0   |
　　　|  0     0    0  ・・・   1 ・・・ a[n] |

　となる。さらに、(すべてのi行以外の行)-(i行) を行うと、(i,i)の要素1以外、i列の要素は
　すべて0になり

　　An=                       (i列)
　　　| a₁    0     0  ・・・  0    ・・・ 0   |
　　　|  0    a₂    0  ・・・  0    ・・・ 0   |
　　　|  0     　・・・・       0   ・・・ 0    |
　　　|  0    　　 ・・・ 　　1　・・・  0   |    (i行)
　　　|  0     　・・・・・・・・・     　0   |
　　　|  0     0    0  ・・・   0 ・・・ a[n] |

　となる。つまり、対角要素以外、すべて0なので、

　　An=a₁a₂・・・a[i-1]a[i+1]・・・a[n]    (a[i]を含まない)
　となる。

3.　a[i]のうち、2つ以上0 となるとき

　このときは、少なくとも、2つの列の要素が、すべて1となり、行列式は0となる。

以上

２つの導電性誘電体が挟まれている同心球殻コンデンサ

１．まえがき

　先に、２つの導電性誘電体が挟まれている平行平板コンデンサの電磁界を求めた。同様に同心
　球殻コンデンサの場合を考察する。



２．計算

　図のようにコンデンサに挟まれる物質1、2の導電率、誘電率をそれぞれ、κ₁,ε₁,κ₂,ε₂とする。
　内球表面、物質１、2の境界および外球内側の各半径をそれぞれ a,b,c とする。印可される電
　圧をV、流れる電流をIとする。また、物質1,2の界面の面電荷密度をσとする。

　まず、物質１、2の抵抗R₁,R₂と全体の抵抗Rは
　　　　R₁=∫[r=b,a] dr/(κ₁4πr²)=(1/4πκ₁)(1/a-1/b)、R₂=(1/4πκ₂)(1/b-1/c)
　　　　R=R₁+R₂=(1/4π){(1/a-1/b)/κ₁+(1/b-1/c)/κ₂}
　となる。すると
　　　　I=V/R
　である。すると、物質1,2に加わる電圧は V₁=R₁I, V₂=R₂I である。また、ガウスの法則か
　ら内部の電荷をQとすると（前の記事の(2.1)式により、同一物質中では電荷は分布しないの
　で、Qを定数とできる）、 4πr²D=Q を使って
　　　　V₁=-∫[r=b,a] E₁dr=-∫[r=b,a] (D₁/ε₁)dr=-(Q/4πε₁)∫[r=b,a] dr/r²
　　　　　=(D₁/ε₁)(1/a-1/b)r²
　となり、
　　　　D₁={ε₁V₁/(1/a-1/b)}/r² , 同様に、D₂={ε₂V₂/(1/b-1/c)}/r²
　　　　E₁={V₁/(1/a-1/b)}/r² , E₂={V₂/(1/b-1/c)}/r²
　となる。i=I/(4πr²)=(V/R)/(4πr²) として、物質１,２の界面の面電荷は、前の記事の(2.3)
　式から
　　　　σ=(ε₁/κ₁-ε₂/κ₂)(-i)=(ε₂/κ₂-ε₁/κ₁)(V/R)/(4πb²)
　となる。ここで、境界面の1側の法線nは電流iの方向と反対のため負となる。電極1,2の面電
　荷はそれぞれ
　　　　σ₁=D₁=ε₁V₁/{(1/a-1/b)a²}=ε₁R₁I/{(1/a-1/b)a²}=(ε₁/κ₁)(V/R)/(4πa²)
　　　　σ₂=-D₂=-{ε₂V₂/(1/b-1/c)}/c²=-(ε₂/κ₂)(V/R)/(4πc²)
　となる。これは、上の境界面の面電荷の合計は
　　　　4πb²σ=4πa²(-σ₁)+4πc²(-σ₂)=-(4πa²σ₁+4πc²σ₂)   (σ₁>0, σ₂<0)
　となる関係がある。つまり、物質１、2の界面に電極があり、それぞれの電極のマイナス電荷
　が誘起されたものの和の電荷となっている。

３．この回路の静電容量

　この回路の各媒質の静電容量は
　　　　C₁=4πε₁/(1/a-1/b) , C₂=4πε₂/(1/b-1/c)
　となる。しかし、両極の電荷が異なり2つ合わせた合成容量という考えに困難がある。

［参考文献］
　　詳解　電磁気学演習、後藤憲一、他、共立出版、1970

以上

２つの導電性誘電体が挟まれている平行平板コンデンサ

１．まえがき

　２つの導電性誘電体が挟まれている平行平板コンデンサの電磁界を求める問題があった。いま
　まで考えたことも無い問題だが面白いので、下記の書籍を参考にした。

２．導電体と誘電体が一体になったときの条件

　以下では、面電荷密度σと記号を区別するため、導電率はκを使う。
　定常電流の時、
　　　div D=div(εE)=ρ → grad ε・E+εdiv E=ρ
　　　div i=div(κE)=0 → grad κ・E+ κdiv E=0
　これらの式から、div Eを消して
　　　ρ=E・(grad ε-(ε/κ)grad κ)=i・((1/κ)grad ε-(ε/κ²)grad κ)=i・grad(ε/κ)
　書き直すと
　　　i・grad(ε/κ)=ρ　　　　　・・・・・・・・・・・・・(2.1)
　また、境界面の単位法線ベクトルn、単位接線ベクトルt を使って、よく知られた境界条件
　　　(D₁-D₂)・n=σ → (ε₁E₁-ε₂E₂)・n=σ　・・・・・・・(2.2)
　　　(E₁-E₂)・t=0 　　　　　　　　　　　　・・・・・・・(2.3)
　か成り立つ。(2.2)(2.3)式は、オームの法則　i₁=κ₁E₁, i₂=κ₂E₂ を入れて
　　　{(ε₁/κ₁)i₁-(ε₂/κ₂)i₂}・n=σ　　　　　・・・・・・・(2.4)
　　　(i₁/κ₁-i₂/κ₂)・t=0 　　　　　　　　　・・・・・・・(2.5)
　を得る。

　また、積分形の電荷保存則から
　　　(i₁-i₂)・n=-dσ/dt
　が成り立つ。定常電流の時は、この右辺は0なので
　　　(i₁-i₂)・n=0　　　　　　　　　　・・・・・・・・・・(2.6)
　となる。したがって、定常電流の時は、これと(2.4)式から i・n=i₁・n=i₂・n として
　　　(ε₁/κ₁-ε₂/κ₂)i・n=σ　　　　・・・・・・・・・・・・(2.7)
　を得る。これらの式の意味は電流が流れる空間の座標により誘電率や導電率が変化している
　と、空間に電荷が分布するので、ガウスの法則の使用は注意が必要となる。

３．２つの導電性誘電体が挟まれている平板コンデンサ

　図のようにコンデンサに挟まれる物質1、2の導電率、誘電率および厚さをそれぞれ、κ₁,ε₁,d₁,
　κ₂,ε₂,d₂とする。面積はSである。印可される電圧をV、流れる電流をIとする。また、物質1,2
　の界面の面電荷密度をσとする。

　まず、物質１、2の抵抗R₁,R₂と全体の抵抗Rは
　　　　R₁=d₁/(κ₁S) , R₂=d₂/(κ₂S) , R=R₁+R₂=(d₁/κ₁+d₂/κ₂)/S
　となる。すると
　　　　I=V/R
　である。すると、物質1,2に加わる電圧は V₁=R₁I, V₂=R₂I （つまり、媒質中の電位を決定す
　るものは静電容量ではなく抵抗）であり
　　　　E₁=V₁/d₁=R₁I/d₁=(R₁/R)V/d₁ , E₂=V₂/d₂=R₂I/d₂=(R₂/R)V/d₂
　となり、
　　　　D₁=ε₁E₁=ε₁(R₁/R)V/d₁ , D₂=ε₂E₂=ε₂(R₂/R)V/d₂
　となる。(2.2)から i=I/S=V/(RS) として、物質１,２の界面の面電荷は
　　　　σ=(ε₁/κ₁-ε₂/κ₂)(-i)=(ε₂/κ₂-ε₁/κ₁)V/(RS)
　となる。ここで、境界面の1側の法線nは電流iの方向と反対のため負となる。電極1,2の面電荷
　はそれぞれ
　　　　σ₁=D₁=ε₁(R₁/R)V/d₁=(V/RS)ε₁/κ₁ , σ₂=-D₂=-(V/RS)ε₂/κ₂
　となる。これは、上の境界面の面電荷と
　　　　σ=-σ₁+(-σ₂)=-(σ₁+σ₂)　（σ₁>0, σ₂<0）
　となる関係がある。つまり、物質１、2の界面に電極があり、それぞれの電極のマイナス電荷が
　誘起されたものの和の電荷となっている。

４．コンデンサと抵抗の等価回路

　この場合、各媒質の静電容量は
　　　　C₁=ε₁S/d₁ , C₂=ε₂S/d₂
　となり、等価回路は図のようになる。そして、以下の関係がある。漏洩電流は
　　　　I=V/(R₁+R₂)
　となり、各コンデンサの電圧、電荷は
　　　　V₁=IR₁=VR₁/(R₁+R₂) , V₂=IR₂=VR₂/(R₁+R₂)
　　　　Q₁=C₁V₁=VC₁R₁/(R₁+R₂) , Q₂=C₂V₂=VC₂R₂/(R₁+R₂)
　となり、C₁、C₂の電極間の電荷は
　　　　-Q₁+Q₂=(-C₁R₁+C₂R₂)V/(R₁+R₂)
　となる。

5.　あとがき

　誘電率、導電率が ε,κ の媒質に、定常電流が流れている場合、導体表面の全電荷をQ、導体間の
　電圧、抵抗をV、R、流れる全電流をIとすると、導体表面で積分すると
　　　Q=∲D・dS=∲εE・dS=∲(ε/κ)i・dS=(ε/κ)I=(ε/κ)V/R
　となる。Q=CVという関係があるから、上式は
　　　CR=ε/κ
　という関係がある。

［参考文献］
　　詳解　電磁気学演習、後藤憲一、他、共立出版、1970

以上

[2019/7/22] 電流の境界条件の訂正と追加。
[2019/9/27] 合成容量の記述を削除。あとがきを追加。
[2020/10/6] (2.1)式の前の式をκとσの混乱などを訂正。