√2^√2^√2^・・・・の極限

1.　まえがき

　√2^√2^√2^・・・・の極限を求める問題があった。これも、前の例と同じくこのまま
　では不正確な議論になるので検討した。

2.　計算

　この数列を定義しようとすると、つぎの２つ
　　　　①　a_n+1=(√2)^a_n , a₁=√2 , n≧1
　　　　②　a_n+1=(a_n)^√2 , a₁=√2 , n≧1
　が考えられる。しかし、②は発散する。

3.　a_n+1=(√2)^a_n , a₁=√2 のとき

　　　　a₂/a₁=(√2)^√2/√2 > √2/√2=1
　　　　a_n+2/a_n+1=(√2)^(a_n+1-a_n)　
　となる。つまり、a_n+1/a_n > 1 、つまり、a_n+1-a_n > 0 と仮定すれば、a_n+2/a_n+1 > 1 となる
　ので、帰納法から a_n は単調増加となる。また、
　　　　a₁=√2 < 2 であり、a_n < 2 と仮定すると
　　　　a_n+1=(√2)^a_n < (√2)²=2
　となり、帰納法から a_n < 2 となる。つまり、上に有界となるから、a_n は収束する。この
　極限をaとすれば、a=(√2)^a から、a=2 とわかる。a=4もこの解であるが a_n < 2 から除外
　できる。

4.　a_n+1=(a_n)^√2 , a₁=√2 のとき

　a₂/a₁=(√2)^√2/√2≒1.15 > 1.1 である。a_n+1/a_n > 1.1 と仮定すると
　　　　a_n+2/a_n+1=(a_n+1/a_n)^√2 > 1.1^√2 > 1.1^1.4 > 1.1
　となり、帰納法から
　　　　a_n+1/a_n > 1.1 → a_n=(1.1)ⁿ√2 → ∞ (n → ∞)
　となるので、発散する。

以上