漸化式、a₁=2 , a[n+1]=2a[n]+2n²の解

漸化式、
　a₁=2 , a[n+1]=2a[n]+2n²
の解を求めよ。

　a[n]=2ⁿb[n]
とおくと与式は
　b[n+1]=b[n]+n²2⁻ⁿ
すると
　b[n]-b[n-1]=(n-1)²2⁻⁽ⁿ⁻¹⁾
・・・・
　b[3]-b[2]=2²2⁻²
　b[2]-b[1]=1²2⁻¹

辺々を加えて
　b[n]-b[1]=(n-1)²2⁻⁽ⁿ⁻¹⁾+(n-2)²2⁻⁽ⁿ⁻²⁾+…+2²2⁻²+1²2⁻¹

b[1]=1 だから元に戻して
　a[n]=(n-1)²2+(n-2)²2²+…+2²2⁽ⁿ⁻²⁾+2⁽ⁿ⁻¹⁾+2ⁿ
　　　=Σ[k=1,n-1] (n-k)²2^k + 2ⁿ
　　　=6(2ⁿ-1)-2n(n+2) + 2ⁿ
　　　=7・2ⁿ-6-2n(n+2)

展開して、各級数
　Σ[k=1,n-1] 2^k , Σ[k=1,n-1] k 2^k , Σ[k=1,n-1] k² 2^k
の和を取ればよいが、面倒すぎるので、Wolframより
　Σ[k=1,n-1] (n-k)² 2^k=6(2ⁿ-1)-2n(n+2)
を使った。

検算
　n　　漸化式　　　7・2ⁿ-6-2n(n+2)
　1　　　2　　　　　　　2
　2　　　6　　　　　　　6
　3　　  20　　　　　　  20
　4　　  58　　　　　　  58
　5　　 148　　　　　   148

以上