π^x-e^x-x+1>0 の証明

1.　まえがき

　π^x-e^x-x+1>0 を示す問題があった。極値などの計算が困難なので、面倒だった。



2.　計算

　極値の計算ではなく、間接的な評価法をとり、x≦0 , 0<x≦2 , 2≦x の3つの場合に分
　けて検討した。
　　　　f(x)=π^x-e^x-x+1
　とおく。

　2.1　x≦0 のとき

　　π^x>0 , -x≧0 , e^x≦1 だから
　　　　f(x)>-e^x+1≧0

　2.2　x>0 のとき

　　f>0 を示せば良い。このとき、上の範囲と違って、f''>0 となるので、以下のよう
　　に凸関数の性質で評価できる。 

　　logπ≒1.14 (>1)だから、x>0 で、f''=(logπ)²π^x-e^x>π^x-e^x>0 なので、テーラー展開
　　から
　　　　f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(c)(x-a)²>f(a)+f'(a)(x-a)・・・・・①
　　を得る。

　　(1)　0<x≦2 のとき

　　　f'=(logπ)π^x-e^x-1 だから、①で a=1 とすると、x-1≦1 なので
　　　　　f(1)=π-e , f'(1)=(logπ)π-e-1 ( <0 )
　　　　　f>π-e+{ (logπ)π-e-1 }(x-1)≧π-e+{ (logπ)π-e-1 }・1
　　　　　　=π-2e-1+(logπ)π>3.10-2・2.72-1+1.10・3.10>0.07>0

　　(2)　2≦x のとき

　　　同様に、①で a=2 とすると、x≧2 なので
　　　　　f(2)=π²-e²-1 , f'(2)=(logπ)π²-e²-1 ( >0 )
　　　　　f>π²-e²-1+{(logπ)π²-e²-1}x≧π²-e²-1+{(logπ)π²-e²-1}・2
　　　　　　　=π²-3e²-3+2(logπ)π²>3.1²-3・2.8²-3+2・1.1・3.1²>3.27>0

3.　結果

　以上のことから、すべての区間で f(x)=π^x-e^x-x+1>0 となる。

以上

[2020/5/30]　2.1項の論理を簡潔にした。

[2021/5/14]　追記
・問題
　x>0 のとき、x≧exp{(x-1)/x} の成立を証明せよ。



　f(x)=x-exp(1-1/x)≧0 (x>0) を示せば良い。

　すべての y につき、e^y≧1+y　である(微分するとすぐわかる)。すると
　　exp((1/x)-1)≧1+((1/x)-1)=1/x

　x>0 だから
　　x≧1/exp((1/x)-1)=exp(1-(1/x)) → -exp(1-(1/x)) ≧ -x
　すると
　　f(x)=x-exp(1-(1/x))≧x-x=0
　となり、与式が証明された。

　この関係を微分で評価しようとすると困難となる。

以上