a[n]>0 を満たす数列が a[n] → a のとき、(a₁a₂・・・a[n])¹/ⁿ → a をε-N法での証明

1.　まえがき

　数列 (a_n) が、a_n>0 および、a_n → a を満たすとき、
　　　　(a₁a₂・・・a_n)^1/n → a
　をε-N法で、証明する問題があった。

2.　準備

　M>0 のとき、M^1/n → 1 がわかっている。つまり
　　　（∀ε>0, ∃N,n>N → |M^1/n-1|<ε） ⇒ M^1/n<1+ε・・・・①

　a_n は収束するから
　　　（∀ε>0, ∃N,n>N → |a_n-a|<ε） ⇒ a_n<a+ε・・・・・・・②

3.　証明

　A_n=(Π[k=1→n] a_k)^1/n とおく。

　(1) A_n< a+ε の証明
　　∀ε>0, ∃N₁, n>N₁、ε'=min{1, ε/(2+a)} 、M=max{a₁, a₂,・・・, a_N₁} とすると
　　a_k≦M（k≦N₁）なので①から
　　　　( Π[k=1→N₁] a_k )^1/n ≦ (M^N₁)^1/n<1+ε'・・・・③
　　となる。また、②から
　　∃N₂, n>N₂、a_k<a+ε' (k>N₂) 、および、(n-N₂)/n<1 だから
　　　　( Π[k=N₂+1→n] a_k )^1/n ≦ (a+ε')^(n-N₂)/n < a+ε'・・・④
　　となる。

　　ここで、n>max{N₁,N₂}とすると➂④が成立ち、ε'≦1 なので ε'²≦ε' だから
　　　　A_n < (1+ε')(a+ε')=a+(1+a)ε'+ε'²≦a+(2+a)ε'≦a+ε・・・・⑤
　　を得る。

　(2) A_n > a-ε の証明
　　まず、a>0 とすると⑤から、数列 (1/a_n) は 1/a_n → 1/a だから
　　∀ε>0, ∃N₃, n>N₃, ε'=ε/a² に対して
　　　　( Π[k=1→n] 1/a_k )^1/n < 1/a+ε'
　　この式の逆数を取って
　　　　A_n > 1/(1/a+ε')=a/(1+aε')=a/(1+ε/a)>a(1-ε/a)=a-ε・・・・⑥

　(3) 証明の完成
　　以上のことから N=max{N₁,N₂,N₃}として
　　∀ε>0, ∃N, n>N,
　　　　a=0 → -ε<0<A_n <a+ε=ε
　　　　a>0 → a-ε<A_n <a+ε
　　となる。ゆえに、A_n は aに収束する。

以上