∫√(x+(√(x+(√(x+・・・) dx を求む

1.　まえがき

　ネットに　∫√(x+(√(x+(√(x+・・・) dx を求める問題があった。基本的には関数を極限
　を求める問題のだが、議論を見ると杜撰なので考えた。内容はオチャラケなので緻密
　な議論は求めていないようだが、数学としてどうだろうか。

2.　計算

　関数の極限が存在するとして、y=√(x+(√(x+(√(x+・・・) とおくと y=√(x+y) でもある
　から　y²=x+y, y={1±√(1+4x)}/2 をえる。

　ここで、y≧0 はすぐ分かり、x≧0 だから、y={1+√(1+4x)}/2　としていた。積分は簡単
　で
　　　　∫√(x+(√(x+(√(x+・・・) dx=x/2+(1+4x)^3/2/12+C
　をえる。

3.　問題点

　問題点は2つある。時折見かけるこの奇妙な数列は収束するか？　x≧0とする根拠は？

　yの解からは
　　　　y={1+√(1+4x)}/2 → x≧-1/4・・・・・①
　　　　y={1-√(1+4x)}/2 → 0≧x≧-1/4・・・・②
　が得られるが始めの疑問を解かない限りこの議論には意味が無い。

　問題は与式の意味が不明確なことである。明確な定義をしない限り、いかなる議論も
　無意味となる。そこで、よくあるように次の数列で与式を定義する。
　　　　y_n+1=√(x+y_n) , n≧1　・・・・・③
　問題は初期値（初期関数）y[1] の決定であるが、まず、この数列の収束を検討する。
　　　　y_n+2-y_n+1=√(x+y_n+1)-√(x+y_n)=(y_n+1-y_n)/{√(x+y_n+1)+√(x+y_n)}
　となる。したがって、(y₂-y₁)の正負とy_n の有界性によって、帰納法により極限の
　存在が言える。

　①②の２つの解の意味を考えるが、y₁ に一般性を持たせると議論が複雑になる。
　したがって、以下では、y₁=√x とした簡単な例を見る。

4.　y₁=√x の議論

　当然、x≧0 であり、x=0 のときは、y=0 は自明（つまり、解は➁となる）。した
　がって、x>0 とすると、収束解は①のみとなる（②ではy<0だから）。また、
　y₂=√(x+√x)>√(x+0)=y₁ だから y₂-y₁>0 となり、y_n は単調増加となる。

　つぎに、y₁=√x<1+√x である。y_n<1+√x と仮定すると、
　　　　y_n+1=√(x+y_n)<√(x+1+√x)<1+√x （両辺を2乗すれば明らか）
　となり、帰納法から、y_n<1+√x となり、上に有界となる。つまり、x>0 のとき、
　y_n は収束し、その解は①となる。このとき、y → 1 (x → 0) だから、x=0 で yは不連
　続関数となる。

以上