各質点間の距離がわかっている時、重心と各点の距離の関係

1.　まえがき

　N個の各質点の位置ベクトルと質量をr_i, m_i とすると重心R は
　　　　R=Σ_i=1^N m_i r_i/M  (M=Σ_i=1^N m_i )
　となる。この重心から見たと各点の距離ベクトルは
　　　　r_i -R={ Σ_j=1^N m_j (r_i -r_j) }/M
　となる。各点間の距離
　　　　|r_i -r_j|=ℓ_ij 、（当然、ℓ_ij =ℓ_ji 、ℓ_ii =0 ）・・・・・・・①
　とすると、重心からの各点までの距離 |r_i -R| が、m_i と ℓ_ij によって表されることを示す。

2.　計算
　(1) 一般の場合
　　　　 |r_i -R|²=(r_i -R)・(r_i -R)=(1/M²) { Σ_j=1^N m_j (r_i -r_j) }・{ Σ_k=1^N m_k (r_i -r_k) }
　　　　　　　=(1/M²) Σ_j=1^N Σ_k=1^N m_j m_k (r_i -r_j)・(r_i -r_k)
　　　　　　　=(1/M²) Σ_j=1^N Σ_k=1^N m_j m_k ( r_i²- r_i ・r_k -r_j・r_i+r_j・r_k )・・・・②
　　ここで、
　　　　ℓ_ij²=(r_i -r_j)・(r_i -r_j)=r_i²+r_j²-2r_i・r_j → r_i・r_j=( r_i²+r_j²-ℓ_ij² )/2
　　これを②に入れると
　　　　|r_i -R|²=(1/M²) Σ_j=1^N Σ_k=1^N m_j m_k
　　　　　　　　　{r_i²- ( r_i²+r_k²-ℓ_ik² )/2 - ( r_i²+r_j²-ℓ_ij² )/2+ ( r_j²+r_k²-ℓ_jk² )/2 }
　　　　　　   =(1/M²) Σ_j=1^N Σ_k=1^N m_j m_k (ℓ_ik² + ℓ_ij² - ℓ_jk²)/2
　　となる。つまり
　　　　|r_i -R|=(1/M) √ { Σ_j=1^N Σ_k=1^N m_j m_k (ℓ_ik² + ℓ_ij² - ℓ_jk²)/2 }・・・・・③

　(2) m_i =m のときは
　　　　|r_i -R|=(1/N) √ { Σ_j=1^N Σ_k=1^N (ℓ_ik² + ℓ_ij² - ℓ_jk²)/2 }
　　　　　　 =(1/N) √ { (NΣ_j=1^N 2ℓ_ik² - Σ_j=1^N Σ_k=1^N ℓ_jk²)/2 }
　　　　　　 =(1/N) √ { NΣ_j=1^N ℓ_ik² - (Σ_j=1^N Σ_k=1^N ℓ_jk²)/2 }・・・・・④
　　となる。ここで、
　　　　Σ_j=1^N Σ_k=1^N ℓ_ik² =Σ_j=1^N Σ_k=1^N ℓ_ij² =NΣ_j=1 ℓ_ij²
　　となることを使った。

3.　検証

　(1) N=2 のときは

　　③から
　　　　|r_i -R|=(1/M)√{m₁²ℓ_i1²+m₁m₂(ℓ_i1²+ℓ_i2²)+m₂²ℓ_i2²-m₁m₂ℓ₁₂²}
　　ここで、①から、
　　　　m₁m₂(ℓ_i1²+ℓ_i2²)-m₁m₂ℓ₁₂²=0、m₁²ℓ_i1²+m₂²ℓ_i2²=m_(3-i)²ℓ₁₂²
　　となるから、
　　　　|r_i -R|=(1/M)m_(3-i)ℓ₁₂　（i=1,2 のとき、(3-i)=2,1 となる）

　(2) N=6、m_i =m かつ 各質点が正６角形の配置の時
　　反時計回りに、質点の番号を順にとる。ℓ₁₂ =ℓ_i(i±1) =ℓ とする。

　　　　ℓ₁₃ =ℓ₁₄ =√3ℓ 、ℓ₁₅ =2ℓ など
　　④から
　　　　|r_i -R|=(1/6)√{ 6(2ℓ²+2(√3ℓ)²+(2ℓ)²) - 6(2ℓ²+3(2√3ℓ)²+(2ℓ)²)/2 }
　　　　　　  =(1/6)√{ 3(12ℓ²) } =ℓ

以上