1. まえがき
2つの平面から等距離にある点の集合を求める問題があった。
2. 計算
a,b,x,x₀をベクトルとし、c,dを定数とする。(x|y) を内積とすると、平面 (a|x)=c, (b|x)=d
と点x₀との距離は公式より
|(a|x₀)-c|/|a|, |(b|x₀)-d|/|b|
となる。したがって、
|(a|x₀)-c|/|a|=|(b|x₀)-d|/|b|
がなりたつ。これは
{(a|x₀)-c}/|a|=±{(b|x₀)-d}/|b| → (a/|a|∓b/|b||x₀)=c/|a|∓d/|b|
となるから、x₀ → x として、つぎの平面となる。
(a/|a|∓b/|b||x)=c/|a|∓d/|b| （複合同順）・・・・①
2.1 a/|a|=b/|b| かつ c/|a|=d/|b| のとき（同一平面のとき）
(a|x)=c に平行な平面であればよいから
(a|x)=e (∀e) の平面
2.2 a/|a|=b/|b| かつ c/|a|≠d/|b| のとき（平面が平行のとき）
①のマイナスは 0=c/|a|-d/|b| となって、成り立たないのでプラス符号の
2(a/|a||x)=c/|a|+d/|b| → (a|x)=(c+d|a|/|b|)/2
の平面。これは、２つの平面の間の中間にある。
2.3 a/|a|≠b/|b| かつ c/|a|≠d/|b| のとき（平面が交差するとき）
①の2つの平面となる。
この２つの平面の法線ベクトルはそれぞれ
a/|a|+b/|b| , a/|a|-b/|b|
だから、この内積を取ると
(a/|a|+b/|b| | a/|a|-b/|b|)=(a|a)/|a|²-(b|b)/|b|²=1-1=0
となり、この平面は直交している。
以上
