円環電線と同一平面上に在る無限直線電線に働く力

１　まえがき

　無限ソレノイドの外部磁界（ゼロ）をビオ・サバールの式を用いて計算した。この時、以前の
　計算の一部を利用したが、ソレノイドの内部磁界が一定という結果とよく似た現象があること
　に気がついた。それは、円環電線と同一面にある無限直線電線に働く力を求める問題である。

２　状態の設定

　電流I₁ が流れる円環の半径をa、XY座標の原点Oを円環の中心に、円環線路の微小距離ベクトル
　をds₁、円環上のds₁ を取った点と原点との角度をθ、円環とY軸に平行に電流I₂ が流れる無限

　直線電線が原点から距離 bに配置されている。直線電線路の微小距離ベクトルを ds₂ 、ds₁ か
　らds₂ までの距離ベクトルを r とする。ここで、b＞a である。



３　計算１(b＞aのとき)

　ビオ・サバールの式とローレンツ力（dF=I₂ds₂×B）により、無限直線に働く力は
　　　　F=(μI₁I₂/(4π)) ∲∲ ds₂×(ds₁×r)/r³

　となる。また
　　　　ds₁=adθ(-sinθ, cosθ, 0)、ds₂=(0,dy,0)、r=(b-a cosθ, y-a sinθ,0)
　　　　ds₁×r=adθ(0, 0, -sinθ(y-asinθ)-cosθ(b-a cosθ))
　　　　ds₂×(ds₁×r)=adydθ( a-y sinθ-b cosθ, 0, 0)

　となるから、力はx成分しか無いことがわかる。つまり
　　　　Fy=Fz=0
　　　　Fx=(μI₁I₂/4π)∫[-π,π]adθ
　　　　　　　　・∫[-∞,∞]dy(a-y sinθ-b cosθ)/{(b-a cosθ)²+(y-a sinθ)²}^(3/2)

　u=y-a sinθ と変換し、uの奇関数部分は０だから除去する。
　　　　Fx=(μI₁I₂/4π)∫[-π,π]adθ・∫[-∞,∞]du(a cosθ-b)cosθ/{(b-acosθ)² +u²}^(3/2)
　　　　　=(μI₁I₂/4π)∫[-π,π] a(a cosθ-b)cosθdθ
　　　　　　　　　　　　・∫[-∞,∞]du/{(b-a cosθ)² +u²}^(3/2)

　ここで、被積分関数はuとθの遇関数だから、積分区間を半分、値を倍にして
　　　　Fx=(μI₁I₂/π)a∫[0,π] (a cosθ-b)cosθdθ∫[0,∞]du/{(b-a cosθ)² +u²}^(3/2)

　となる。つぎに、u=(b-a cosθ)tanφと変換して、2番目の積分以降を考える
　　　　∫[0,π/2] {(b-a cosθ)/cos²φ}dφ{cos³φ/(b-acosθ)³}
　　　　　　　　　　　={1/(b-acosθ)²}∫[0,π/2] cosφdφ=1/(b-a cosθ)²

　積分を元に戻して
　　　　Fx=(μI₁I₂/π)∫[0,π] a cosθ/(a cosθ-b)dθ

　となる。さらに、v=tan(θ/2)と変換すると（A=√{(b-a)/(b+a)} とおくと）
　　　　Fx=(μI₁I₂/π)∫[0,∞]{a(1-v²)/(1+v²)}/{a(1-v²)/(1+v²)– b}・2dv/(1+v²)
　　　　　=(μI₁I₂/π)2∫[0,∞]a(1-v²)/{(b+a)v²+(b-a)}・dv/(v²+1)

　　　　　=(μI₁I₂/π)2∫[0,∞][ -b/{(b+a)v²+(b-a)}+ 1/(v²+1) ]dv ・・・・(1)
　　　　　=(μI₁I₂/π)2∫[0,∞][ -(b/(b+a))/(v²+A²)}+ 1/(v²+1) ]dv

　　　　　=(μI₁I₂/π)2{ -b/((b+a)A) [tan⁻¹ v/A][0,∞] +[[tan⁻¹ v][0,∞] }
　　　　　=(μI₁I₂/π)2{ -(b/√(b²-a²))π/2 +π/2 }= -μI₁I₂(b/√(b²-a²) -1)

　となる（電流の向きが同じ、ds₁,ds₂ と同じなら引力Fx＜0となる）。

４　計算２(b＜aのとき)

　b＜a のときは、積分が(1)式のところで異なる。
　　　Fx=(μI₁I₂/π)2∫[0,∞]{-b/{(b+a)v² +(b-a)} + 1/(v²+1) }dv
　　　　=(μI₁I₂/π)∫[0,∞]{ -b/{(b+a)v² -(a-b)} + 1/(v²+1) }dv

　A=√{(a-b)/(a+b)} とおくと
　　　Fx=(μI₁I₂/π)2∫[0,∞]{ -(b/(a+b))/(v² -A²)+ 1/(v²+1) }dv
　　　　=(μI₁I₂/π)2{ {b/((a+b)2A)}[log|(v+A)/(v-A)|][0,∞]+ [[tan⁻¹v][0,∞] }
　　　　=(μI₁I₂/π)2{ {b/((a+b)2A)}(0-0) +(π/2-0) }
　　　　=μI₁I₂

　となり、b＜a なら、a,bの値に関係なく Fxは一定となる（電流が同じ方向なら円の中心から
　の反発力）。

以上