無限直線電流の作る磁界、電流軸に平行および放射方向の磁界が0の理由

1.　まえがき

　z軸に+方向に流れる無限長直線電流 I の作る磁界において、H_φ=I/(2πr) は周知のように簡
　単に求められるが、H_z=H_r=0 の理由は、当然のこととしてあまり述べられていない。

2.　アンペールの法則による計算

　この場合、円柱座標において、回転対称性から、H_φ は変数φによらないので、アンペール
　の法則から簡単に
　　　　H_φ=I/(2πr)・・・・・・・・・・・・・・・①
　が求まる。つぎに、z軸方向の並進対称性から、Hは変数 zによらないことを使って、z軸を
　中心軸とする半径 r、長さ1の円柱面にガウスの法則を適用すると、S₁を円柱の側面、S₂、
　S₃を端面として
　　　　0=∲H・dS=Hr(r)S₁+∫H・dS₂+∫H・dS₃=H(r)S₁+∫H・dS₂ -∫H・dS₂=H_r(r)S₁+0
　となる。端面の積分では、Hは変数 zによらず、面ベクトルの方向は反対なのでS₂、S₃の積
　分は相殺することを使った。したがって
　　　　H_r=0・・・・・・・・・・・・・・・・・・②
　を得る。

　つぎに、図のようにz軸に沿って、四角形を取り、②を使うと、アンペールの法則から
　　　　0=∲H・dl=H_z(r₁)-H_z(r₂) ・・・・・・・・・・③
　となる。つまり、H_zは変数、r（勿論、z,φにも） に無関係となる。

　このとき、r=∞で H=0だから、➂より、変数rに関係なく H_z=0 という議論を見かけるが
　この前提の根拠が示されず無理がある。

　ただ、H_z≠0 とするとz軸を中心とする長さ⊿Lの円柱を考えたとき、この空間に含まれる
　磁気エネルギーは μ₀H_z² より大きくなるが、この円柱の体積は ∞になるからエネルギー
　も ∞となる（H_φの分は有限となる）。しかし、このエネルギーの源は I⊿Lの有限だから
　矛盾するので、H_z=0 しかない。



3.　ビオ・サバールの法則による計算

　ビオ・サバールの法則を使うと、①は計算から得られ、H_z=H_r=0 は自明である。

以上


[追加・訂正] 2021/3/8

４．無限直線電流の磁界では電流方向の成分が０の理由

　無限直線電流や無限ソレノイドのの作る磁界について軸方向の磁界が０となることは当
　たり前のこととしてほぼ議論されていない。ビオ・サバールの法則を使えば簡単自明だ
　がマクスウェルの式(アンペルの法則)からは求めることが出ない。

　上では、有限電流部分のエネルギーの発散を使ったが、この論理は誤りだった。という
　のは半径 aの無限直線電流の外部磁界は H=I/2πr であり、単位長あたりの外部空間のエ
　ネルギーは
　　　　W=(μ₀/2)∫_a^∞ H²(2πr)dr = (μ₀I²/4π)∫_a^∞ (1/r)dr =(μ₀I²/4π)[logr]^∞_a → ∞
　となり、本筋の磁界部分でも発散していた。

　この点につき長年疑問だったが、あるサイトで座標系の対称性を使って求められること
　が示されていた。

　つまり、座標系のとり方は人為的なものだから、空間反転 (x,y,z → -x',-y,-z')、すなわち、
　右手系、左手系によらず物理法則の表現は変わらないという原理から、電磁気学では
　　　　E'=-E , B'=B・・・・・・①
　の関係がある(理論電磁気学、砂川)。これを使うと、無限直線電流の場合、電流に平行
　な磁界があるとすれば、座標を電流・磁界共に反転したことになり
　　　　B'_//=-B_//
　となる。①から、B'_//=B_//でもあるから、B'_//=B_//=0 となる。

以上