軸方向円筒状無限電流の磁界をビオ・サバールの式で求める

１　設定

　無限直線電流が円筒状に分布した場合の磁界はアンペールの法則で簡単に求められる。ここでは
　ビオ・サバールの式で求めてみる。

　電流がZ方向に流れる円筒の半径をa、XY座標の原点Oを円筒の中心に、円筒の軸をZ軸、求める磁
　界の座標を(b,0,0)、Z方向に流れる円筒表面の電流密度を i[A/m]、その電流素片に対する微小
　距離ベクトルを ds、その原点との角度をθ、電流素片から磁界を求める座標までの距離
　ベクトルをrとする。



２　計算

　　　ds=(0, 0, 1)dz、r²=a²+b²-2abcosθ+z²
　　　r=(b-a cosθ,-a sinθ, -z)、ds×r=(a sinθ,(b-a cosθ), 0)dz


　であり、θ方向の電流密度は i(a dθ)だから、ビオ・サバールの式により
　　　H=(i/4π)∫[-π,π] a dθ∫(ds×r)/r³
　　　　=(i/4π)∫[-π,π] a dθ∫[-∞,∞]dz(a sinθ, (b-a cosθ), 0)/r³


　となる。ここで、Hのz成分は0、x成分はθの奇関数だから、積分は０となり、y成分しかない。
　したがって

　　　Hx=Hz=0
　　　Hy=(i/4π)∫[-π,π]adθ(b-acosθ)∫[-∞,∞]dz/r³

　となる。ここで、積分関数はθとzについて遇関数だから、区間を半分にして値を倍にする。
　　　Hy=(ia/π)∫[0,π]adθ(b-acosθ)∫[0,∞]dz/r³

　　　A²=a²+b²-2abcosθ(＞0) とおき、zの積分だけ取り出し、z=Atanφと
　変数変換して計算すると

　　　∫[0,∞]dz/(A²+z²)^(3/2)=(1/A²)∫[0,π/2]cosφdφ=1/A²

　積分を戻すと
　　　Hy=(ia/π)∫[0,π]dθ(b-acosθ)/(a²+b²-2abcosθ)

　ここで、u=tan(θ/2)と変数変換すると、cosθ=(1-u²)/(1+u²), dx=2du/(1+u²)だから


　となる。b＜aならば、後者のtan⁻¹のなかの (a-b)が正となり、-π/2の符号が反転して、
　　　Hy=0
　になる。最後の結果は、円筒上の全電流をI[A]とすると、i=I/(2πa)だから、
　　　Hy=I/(2πb)

　となり、アンペールの法則と一致する。

以上