無限直線電流線と円リング電流線の間の相互インダクタンス

1.　まえがき

　無限直線電流線と円リング電流線の間の相互インダクタンスを求める。図のように
　直線と円リングの電流をI₁, I₂とする。円リングの半径をa、その中心と直線の距離を
　bとする。



2.　計算

　2.1　b≧aのとき

　　直線電流I₁による円リングの鎖交磁束数Φは距離xの位置の磁界は H=I₁/(2πx) 、
　　dS=2√{a²-(x-b)²} dx であるから
　　　　Φ=μ∫HdS=(μI₁/2π)∫_b-a^b+a  2( √{a²-(x-b)²} )/x dx
　　　　   =(μI₁/π)∫_π⁰  [ { √(a²-a²cos²θ) }/(b+acosθ) ] (-asinθ)dθ
　　　　　　　　(x-b=acosθ と変換)・・・・・・・①
　　　　　=μI₁(a²/π)∫₀^π sin²θ/(b+acosθ) dθ   (0≦θ≦πのとき、sinθ≧0)

　　　　　=μI₁(a²/π)∫₀^∞ {2u/(1+u²)}²/{b+a(1-u²)/(1+u²)} 2du/(1+u²)
　　　　　　　　(u=tan(θ/2) と変換)
　　　　　=μI₁(8a²/π)∫₀^∞  u²/[ (1+u²)²{ b(1+u²)+a(1-u²) } ] du
　　　　　=μI₁(8a²/π)∫₀^∞  u²/[ (1+u²)²{ (b-a)u²+(b+a) } ] du
　　ここで、
　　　　u²/[ (1+u²)²{ (b-a)u²+(b+a) } ]
　　　　　　=(1/2a)[ -{(b²-a²)/2a}/{ (b-a)u²+(d+a) } +{(b+a)/2a}/(1+u²)-1/(1+u²)² ]
　　　　　　=(1/2a)[ -{(b+a)/2a}/( u²+{(b+a)/(b-a)} ) +{(b+a)/2a}/(1+u²)-1/(1+u²)² ]
　　だから
　　　　　∫₀^∞  [ -{(b+a)/2a}/( u²+{(b+a)/(b-a)} ) ] du・・・・・②
　　　　　　　　=-{(b+a)/2a}/√{(b+a)/(b-a)} [ tan⁻¹( u/√{(b+a)/(b-a)} ) ][u=∞,0]
　　　　　　　　=-{ (√(b²-a²))/2a}π/2

　　　　　∫₀^∞  {(b+a)/2a}/(1+u²) du={(b+a)/2a} [tan⁻¹u][u=∞,0]={(b+a)/2a}π/2

　　　　　∫₀^∞  -1/(1+u²)² du=-(1/2)[tan⁻¹u+u/(1+u²)][u=∞,0]=-π/4
　　を使って
　　　　Φ=μI₁(4a/π) [ -(√(b²-a²))/2a + (b+a)/2a -1/2 ]π/2・・・・・③
　　　　　= μI₁{ b-(√(b²-a²) }
　　ゆえに
　　　　M=Φ/I₁=μ{ b-(√(b²-a²) }
　　となる。

　2.2　b<a

　　このとき、②の被積分関数は、b<aから、c=√{(b+a)/(a-b)} とおくと
　　　　-{(b+a)/2a}/( u²+{(b+a)/(b-a)} )={(b+a)/2a}/( c²-u² )
　　　　　　={(b+a)/2a} (1/2c)[ 1/(c-u) +1/(c+u) ]=[{√(a²-b²)}/4a][ 1/(c-u) +1/(c+u) ]
　　となる。したがって、➁の積分は
　　　　∫₀^∞  [ -{(b+a)/2a}/( u²+{(b+a)/(b-a)} ) ] du
　　　　　　=[{√(a²-b²)}/4a]∫[u=0→∞] [ 1/(c-u) +1/(c+u) ) ] du
　　　　　　=[{√(a²-b²)}/4a] [ log{|u+c|/|u-c|} ] [u=∞,0]=0
　　となる。すると➂は
　　　　Φ=μI₁(4a/π) [ 0 + (b+a)/2a -1/2 ]π/2=μI₁a [b/a]=μI₁b
　　すなわち、
　　　　M=μb
　　となる。つまり、aには無関係となる。

3.　あとがき

　この問題は、解析解は求められないと思っていたのだが、ある問題から電流間に
　働く力と関係していることが分かり、その時の計算を応用すると解けた。なお、
　①において、x-b=asinθと変換すると、次の uの変換において、u²以外に uの項が
　現れ、計算が面倒になる。 

以上