無限直線電流線と円リング電流線の間に働く力

1.　まえがき

　無限直線電流線C₁と円リング電流線C₂の間に働く力を求める。図のように直線と円リ
　ングの電流をI₁, I₂とする。円リングの半径をa、その中心と直線の距離をbとする。



2.　計算

　2.1　b>a のとき

　　C₁、C₂上の線素ベクトルをそれぞれds₁、ds₂とする。円の中心と線素ds₂とx軸との角
　　をθとする。ds₁の座標は (0,y)、線素間の距離ベクトルを r とする。するとビオ・サ
　　バールの法則とローレンツ力からC₁に働く力は
　　　　F₁=(μI₁I₂/4π)∲[C₁]∲[C₂] ds₁×(ds₂×r)/r³・・・・①
　　となる。
　　　　r=<-b-acosθ, y-asinθ, 0> , ds₁=<0, dy, 0> , ds₂=-adθ<-sinθ, cosθ, 0>
　　　　ds₂×r=adθ<0, 0, (y-asinθ)sinθ-(b+acosθ)cosθ>
 　　　　　　 =adθ<0, 0, ysinθ-bcosθ-a>
　　　　ds₁×(ds₂×r)=adθdy<ysinθ-bcosθ-a, 0, 0>
　　となり、力はx成分しかないのでスカラーで表す。
　　　　J={∲[C₁] ds₁×(ds₂×r)/r³}_x
　　　　 =adθ∫_-∞^∞ (ysinθ-bcosθ-a)dy/{(b+acosθ)²+(y-asinθ)²}^3/2　
　　となる。ここで、u=y-asinθと変換すると
　　　　J=adθ∫_-∞^∞ (usinθ+asin²θ-bcosθ-a)du/{(b+acosθ)²+u²}^3/2　
　　となる。ここで、usinθはuについて奇関数なので削除でき、偶関数は区間を半分にし
　　て２倍となるから
　　　　J=2adθ∫₀^∞ (-acos²θ-bcosθ)du/{(b+acosθ)²+u²}^3/2　
　　　　 =-2a(acosθ+b)cosθdθ∫₀^∞ du/{(b+acosθ)²+u²}^3/2　
　　となる。ここで、u=(b+acosθ)tanφ と変換すると
　　　　J={-2a(acosθ+b)cosθdθ/(b+acosθ)³}∫₀^π/2 (b+acosθ)cos³φ dφ/cos²φ
　　　　 ={-2acosθdθ/(b+acosθ)}∫₀^π/2 cosφ dφ=-2acosθdθ/(b+acosθ)
　　となる。これを①にいれると
　　　　F₁=(μI₁I₂/4π)∲[C₂] J =(μI₁I₂/4π)∫_-π^π -2acosθdθ/(b+acosθ)
　　　　　=-(μI₁I₂/π)a∫₀^π cosθdθ/(b+acosθ)    (偶関数だから)
　　　　　　　　（u=tan(θ/2) と変換して）
　　　　　=-(μI₁I₂/π)a∫₀^∞ {(1-u²)/(1+u²)}/{b+a(1-u²)/(1+u²)} 2du/(1+u²)
　　　　　=-(μI₁I₂/π)2a∫₀^∞ {(1-u²)}/{b(1+u²)+a(1-u²)} du/(1+u²)
　　　　　=-(μI₁I₂/π)2∫₀^∞ a(1-u²)/{(b-a)u²+(b+a)} du/(1+u²)
　　　　　=-(μI₁I₂/π)2∫₀^∞ [ -b/{(b-a)u²+(b+a)} +1/(1+u²) ] du
　　　　　=-(μI₁I₂/π)2∫₀^∞ [ {-b/(b-a)}/{u²+(b+a)/(b-a)} +1/(1+u²) ] du・・・・・②
　　　　　=-(μI₁I₂/π)2 [ -{b/(b-a)}√{(b-a)/(b+a)} tan⁻¹u/√{(b+a)/(b-a)} +tan⁻¹u ]^∞₀  
　　　　　=-(μI₁I₂/π)2 [ -{b/√(b²-a²)} π/2+π/2 ]
　　　　　=μI₁I₂{ b/√(b²-a²) - 1 }
　　となる。

　2.2　b<a

　　このとき、②の被積分関数は、b<aから、c=√{(b+a)/(a-b)} とおくと
　　　　F₁=-(μI₁I₂/π)2∫₀^∞ [ {-b/(a-b)}/{u²-c²)} +1/(1+u²) ] du
　　　　　=-(μI₁I₂/π)2∫₀^∞ [ {-b/(a-b)}(1/2c){ 1/(u-c)-1/(u+c) } +1/(1+u²) ] du
　　　　　=-(μI₁I₂/π)2 [ {-b/(a-b)}(1/2c) log{ |u-c|/|u+c| } +tan⁻¹u ]^∞₀
　　　　　=-(μI₁I₂/π)2 [ 0+π/2 ]
　　　　　=-μI₁I₂
　　となる。a,bに無関係となる。

3.　計算2

　　別の計算として、２つの回路の相互インダクタンスと仮想変位の原理を使ってみる。
　　回路C₁, C₂の自己インダクタンスをそれぞれL₁, L₂とすると
　　磁界のエネルギーは
　　　　W=(1/2)(L₁I₁²+L₂I₂²)+MI₁I₂
　　である。仮想変位の原理により
　　　　F=-dW/dx
　　となるが、今回は、bの変化によって、自己インダクタンスは変化しないから、x→b
　　として
　　　　F=-(dM/db)I₁I₂
　　となる。

　3.1　b>a のとき

　　　　M=μ{ b-(√(b²-a²) }
　　だから、
　　　　F=-μI₁I₂{ 1-b/(√(b²-a²) }=μI₁I₂{ b/√(b²-a²) - 1 }

　3.2　b
　　　　M=μb
　　だから
　　　　F=-μI₁I₂
　　となる。

以上