楕円リングの電流がその中心に作る磁界をもとめる。
楕円を x²/a²+y²/b²=1 , a>b>0 とする。電流は反時計回りとする。
H=(I/4π)∫(ds×r)/r³
電流が流れている点を(x,y,0)として、原点に向かうベクトルは
r=(-x,-y,0)、電流素辺のベクトルは ds=(-dx,dy,0)=(-dx,y'dx,0)
y=b{√(1-x²/a²)} , y'=-(bx/a²)/√(1-x²/a²)=-(bx/a)/√(a²-x²)
r=√(x²+y²)={√(1-b²/a²)}√{x²+a²b²/(a²-b²)}
{ds×r}z=(y+xy')dx=[b{√(1-x²/a²)}-(bx²/a)/√(a²-x²)]dx={ab/√(a²-x²)}dx
ここで k=√{1-(b²/a²)} とおくと
r=k√{x²+(b²/k²)}
対称性から x=0～a, y≧0 を積分して４倍すればよい。
Hz=4(I/4π){ab/k³}∫[0,a] dx/[{√(a²-x²)}{x²+(b²/k²)}³/² ]
x=acosθ と変数変換して
Hz={Iab/πk³}∫[π/2→0] (-asinθdθ)/[asinθ {a²cos²θ+(b²/k²)}³/²]
={Iab/πk³}∫[0→π/2] dθ/{a²cos²θ+(b²/k²)}³/²
r=(-x,-y,0)、電流素辺のベクトルは ds=(-dx,dy,0)=(-dx,y'dx,0)
y=b{√(1-x²/a²)} , y'=-(bx/a²)/√(1-x²/a²)=-(bx/a)/√(a²-x²)
r=√(x²+y²)={√(1-b²/a²)}√{x²+a²b²/(a²-b²)}
{ds×r}z=(y+xy')dx=[b{√(1-x²/a²)}-(bx²/a)/√(a²-x²)]dx={ab/√(a²-x²)}dx
ここで k=√{1-(b²/a²)} とおくと
r=k√{x²+(b²/k²)}
対称性から x=0～a, y≧0 を積分して４倍すればよい。
Hz=4(I/4π){ab/k³}∫[0,a] dx/[{√(a²-x²)}{x²+(b²/k²)}³/² ]
x=acosθ と変数変換して
Hz={Iab/πk³}∫[π/2→0] (-asinθdθ)/[asinθ {a²cos²θ+(b²/k²)}³/²]
={Iab/πk³}∫[0→π/2] dθ/{a²cos²θ+(b²/k²)}³/²
={Iab/πk³}∫[0→π/2] dθ/{-a²sin²θ+a²+(b²/k²)}³/²
={Iab/πk³}∫[0→π/2] dθ/{a²/k²-a²sin²θ}³/²
={Iab/πk³}(k³/a³)∫[0→π/2] dθ/(1-k²sin²θ)³/²
={Ib/πa²}∫[0→π/2] dθ/(1-k²sin²θ)³/²
数学公式Ⅰ、岩波 P150 によると、
∫[0→π/2] dθ/(1-k²sin²θ)³/²=E(k)/(1-k²)=E(k)a²/b²
∫[0→π/2] dθ/(1-k²sin²θ)³/²=E(k)/(1-k²)=E(k)a²/b²
ここで、E(k)=∫[0→π/2] (1-k²sin²θ)¹/² dθ は第二種完全楕円積分。すると
Hz={Ib/πa²}E(k)a²/b²=(I/πb)E(k)
となる。
なお、楕円の周長は L=4aE(k)だから、面積は A=πab なので
Hz=(I/πb)(L/4a)=I(L/4πab)=I(L/4A)
Hz=(I/πb)(L/4a)=I(L/4πab)=I(L/4A)
となる。
ちなみに、円リング電流の中心の磁界は Hz=I/(2r)=I(L/4A) を満たす。
以上
