(01)
(ⅰ)
1 (1) P∨ Q A
2 (2) ~P&~Q A
3 (3) P A
2 (4) ~P 2&E
23 (5) P&~P 34&I
3 (6)~(~P&~Q) 25RAA
7(7) Q A
2 (8) ~Q 2&E
2 7(9) Q&~Q 78&I
7(ア)~(~P&~Q) 29RAA
1 (イ)~(~P&~Q) 1367ア∨E
(ⅱ)
1 (1) ~(~P&~Q) A
2 (2) ~( P∨ Q) A
3 (3) P A
3 (4) P∨ Q 3∨I
23 (5) ~( P∨ Q)&
( P∨ Q) 24&I
2 (6) ~P 35RAA
7(7) Q A
7(8) P∨ Q 7∨I
2 7(9) ~( P∨ Q)&
( P∨ Q) 27&I
2 (ア) ~Q 79RAA
2 (イ) ~P&~Q 6ア&I
12 (ウ) ~(~P&~Q)&
(~P&~Q) 1ウ&I
1 (エ)~~( P∨ Q) 2ウRAA
1 (オ) P∨ Q エDN
従って、
(01)により、
(02)
① P∨ Q
② ~(~P&~Q)
に於いて、
①=② である(ド・モルガンの法則)。
従って、
(02)により、
(03)
③ ~( P∨ Q)
④ ~~(~P&~Q)
に於いて、
③=④ である(ド・モルガンの法則)。
従って、
(03)により、
(04)
③ ~( P∨ Q)
④ (~P&~Q)
に於いて、
③=④ である(ド・モルガンの法則)。
然るに、
(05)
1(1) P&~P A
(2)~(P&~P) 11RAA
(3) ~P∨ P 2ド・モルガンの法則
然るに、
(06)
~P∨P(Pでないか、または、Pである)。
は、「排中律」である。
然るに、
(07)
① ~P(Pでない)。
② P(Pである)。
に於いて、
① が「真」であれば、② は「偽」であり、
② が「真」であれば、① は「偽」である。
然るに、
(08)
(ⅰ)
1 (1) P∨ Q∨ R A
2 (2) ~P&~Q&~R A
1 (3) (P∨ Q)∨R 1結合法則
4 (4) (P∨ Q) A
5 (5) P A
2 (6) ~P 2&E
2 5 (7) P&~P 56&I
5 (8)~(~P&~Q&~R) 27RAA
9 (9) Q A
2 (ア) ~Q 2&E
2 9 (イ) Q&~Q 9ア&I
9 (ウ)~(~P&~Q&~R) 29RAA
4 (エ)~(~P&~Q&~R) 4589ウ∨E
オ(オ) R A
2 (カ) ~R 2&E
2 オ(キ) R&~R オカ&I
オ(ク)~(~P&~Q&~R) 2キRAA
1 (ケ)~(~P&~Q&~R) 34エオク∨E
12 (コ)~(~P&~Q&~R)&
(~P&~Q&~R) 2ケ&I
1 (サ)~(~P&~Q&~R) 2コRAA
(ⅱ)
1 (1) ~(~P&~Q&~R) A
2 (2) ~( P∨ Q∨ R) A
3 (3) P A
3 (4) P∨ Q 3∨I
3 (5) P∨ Q∨ R 34∨I
23 (6) ~( P∨ Q∨ R)&
( P∨ Q∨ R) 25&I
2 (7) ~P 36RAA
8 (8) Q A
8 (9) P∨ Q 8∨I
8 (ア) P∨ Q∨ R 9∨I
2 8 (イ) ~( P∨ Q∨ R)&
( P∨ Q∨ R) 2ア&I
2 (ウ) ~Q 8イ&I
2 (エ) ~P&~Q 7ウ&I
オ(オ) R A
オ(カ) Q∨ R オ∨I
オ(キ) P∨ Q∨ R ∨I
2 オ(ク) ~( P∨ Q∨ R)&
( P∨ Q∨ R) 2キ&I
2 (ケ) ~R オクRAA
2 (コ) ~P&~Q&~R エケ&I
12 (サ) ~(~P&~Q&~R)&
(~P&~Q&~R) 1コ&I
1 (シ)~~( P∨ Q∨ R) 2サRAA
1 (ス) ( P∨ Q∨ R) シDN
従って、
(08)により、
(09)
① P∨ Q∨ R
② ~(~P&~Q&~R)
に於いて、
①=② である(ド・モルガンの法則)。
従って、
(09)により、
(10)
③ ~(P∨ Q∨ R)
④ ~~(~P&~Q&~R)
に於いて、
③=④ である(ド・モルガンの法則)。
従って、
(10)により、
(11)
「二重否定」により、
③ ~(P∨ Q∨ R)
④ (~P&~Q&~R)
に於いて、
③=④ である(ド・モルガンの法則)。
然るに、
(12)
1(1) ~{(P∨~Q∨R)∨ (~P&Q&~R)} A
1(2) ~(P∨~Q∨R)&~(~P&Q&~R) 1ド・モルガンの法則
1(3) ~(P∨~Q∨R) 2&E
1(4) (~P&Q&~R) 3ド・モルガンの法則
1(5) ~(~P&Q&~R) 2&E
1(6) (~P&Q&~R)&~(~P&Q&~R) 45&I
(7)~~{(P∨~Q∨R)∨ (~P&Q&~R)} 16RAA
(8) (P∨~Q∨R)∨ (~P&Q&~R) 7DN
然るに、
(13)
①( P∨~Q∨ R)
②(~P& Q&~R)
に於いて、
① が「真」であれば、② は「偽」であり、
② が「真」であれば、① は「偽」である。
従って、
(07)(13)により、
(14)
① ~P(Pでない)。
② P(Pである)。
に於いても、
①( P∨~Q∨ R)
②(~P& Q&~R)
に於いても、
① が「真」であれば、② は「偽」であり、
② が「真」であれば、① は「偽」である。
従って、
(06)(14)により、
(15)
① ~P∨P(Pでないか、または、Pである)。
②(P∨~Q∨R)∨(~P&Q&~R)
に於いて、
① が「排中律」である以上、
② も「排中律」である。