（1266）「３項のド・モルガンの法則」と「３項の排中律」。

（01）
（ⅰ）
１　　　（１）　　　Ｐ∨　Ｑ　　Ａ
　２　　（２）　　～Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　　３　（３）　　　Ｐ　　　　　Ａ
　２　　（４）　　～Ｐ　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　　　Ｐ＆～Ｐ　　３４＆Ｉ
　　３　（６）～（～Ｐ＆～Ｑ）　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　Ｑ　　Ａ
　２　　（８）　　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　　Ｑ＆～Ｑ　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ）　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）～（～Ｐ＆～Ｑ）　１３６７ア∨Ｅ
（ⅱ）
１　　　（１）　～（～Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（　Ｐ∨　Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（　Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（　Ｐ∨　Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　　（６）　　　～Ｐ　　　　　　３５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　７（８）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　　７∨Ｉ
　２　７（９）　～（　Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（　Ｐ∨　Ｑ）　　２７＆Ｉ
　２　　（ア）　　　　　　～Ｑ　　　７９ＲＡＡ
　２　　（イ）　　　～Ｐ＆～Ｑ　　　６ア＆Ｉ
１２　　（ウ）　～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ＆～Ｑ）　　１ウ＆Ｉ
１　　　（エ）～～（　Ｐ∨　Ｑ）　　２ウＲＡＡ
１　　　（オ）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　　エＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① 　　　Ｐ∨　Ｑ
② ～（～Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（02）により、
（03）
③ 　～（　Ｐ∨　Ｑ）
④ ～～（～Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（03）により、
（04）
③ ～（　Ｐ∨　Ｑ）
④ 　（～Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（05）
１（１）　　Ｐ＆～Ｐ　　Ａ
　（２）～（Ｐ＆～Ｐ）　１１ＲＡＡ
　（３）　～Ｐ∨　Ｐ　　２ド・モルガンの法則
然るに、
（06）
～Ｐ∨Ｐ（Ｐでないか、または、Ｐである）。
は、「排中律」である。
然るに、
（07）
① ～Ｐ（Ｐでない）。
② 　Ｐ（Ｐである）。
に於いて、
① が「真」であれば、② は「偽」であり、
② が「真」であれば、① は「偽」である。
然るに、
（08）
（ⅰ）
１　　　　　（１）　　　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ　　　Ａ
１　　　　　（３）　　（Ｐ∨　Ｑ）∨Ｒ　　　１結合法則
　　４　　　（４）　　（Ｐ∨　Ｑ）　　　　　Ａ
　　　５　　（５）　　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　２　　　　（６）　　～Ｐ　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　５　　（７）　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　　　５６＆Ｉ
　　　５　　（８）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　２７ＲＡＡ
　　　　９　（９）　　　　　　Ｑ　　　　　　Ａ
　２　　　　（ア）　　　　　～Ｑ　　　　　　２＆Ｅ
　２　　９　（イ）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　９ア＆Ｉ
　　　　９　（ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　２９ＲＡＡ
　　４　　　（エ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　４５８９ウ∨Ｅ
　　　　　オ（オ）　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（カ）　　　　　　　　～Ｒ　　　２＆Ｅ
　２　　　オ（キ）　　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　　オカ＆Ｉ
　　　　　オ（ク）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　２キＲＡＡ
１　　　　　（ケ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　３４エオク∨Ｅ
１２　　　　（コ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　２ケ＆Ｉ
１　　　　　（サ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　２コＲＡＡ
（ⅱ）
１　　　　（１）　～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　Ａ
　２　　　（２）　～（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　Ａ
　　３　　（３）　　　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　　３　　（４）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　　　　　３∨Ｉ
　　３　　（５）　　　　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ　　　３４∨Ｉ
　２３　　（６）　～（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　２５＆Ｉ
　２　　　（７）　　　～Ｐ　　　　　　　　　３６ＲＡＡ
　　　８　（８）　　　　　　　Ｑ　　　　　　Ａ
　　　８　（９）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　　　　　８∨Ｉ
　　　８　（ア）　　　　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ　　　９∨Ｉ
　２　８　（イ）　～（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　２ア＆Ｉ
　２　　　（ウ）　　　　　　～Ｑ　　　　　　８イ＆Ｉ
　２　　　（エ）　　　～Ｐ＆～Ｑ　　　　　　７ウ＆Ｉ
　　　　オ（オ）　　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ
　　　　オ（カ）　　　　　　　Ｑ∨　Ｒ　　　オ∨Ｉ
　　　　オ（キ）　　　　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ　　　∨Ｉ
　２　　オ（ク）　～（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　２キ＆Ｉ
　２　　　（ケ）　　　　　　　　　～Ｒ　　　オクＲＡＡ
　２　　　（コ）　　　～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ　　　エケ＆Ｉ
１２　　　（サ）　～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　１コ＆Ｉ
１　　　　（シ）～～（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　２サＲＡＡ
１　　　　（ス）　　（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　シＤＮ
従って、
（08）により、
（09）
① 　　　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ
② ～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（09）により、
（10）
③ 　　～（Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）
④ ～～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（10）により、
（11）
「二重否定」により、
③ ～（Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）
④ （～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（12）
１（１）　～｛（Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ）∨　（～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ）｝　Ａ
１（２）　　～（Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ）＆～（～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ）　　１ド・モルガンの法則
１（３）　　～（Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ）　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１（４）　　（～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ）　　　　　　　　　　　　　３ド・モルガンの法則
１（５）　　　　　　　　　　　　～（～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ）　　２＆Ｅ
１（６）　　（～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ）＆～（～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ）　　４５＆Ｉ
　（７）～～｛（Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ）∨　（～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ）｝　１６ＲＡＡ
　（８）　　　（Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ）∨　（～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ）　　７ＤＮ
然るに、
（13）
①（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）
②（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
① が「真」であれば、② は「偽」であり、
② が「真」であれば、① は「偽」である。
従って、
（07）（13）により、
（14）
① ～Ｐ（Ｐでない）。
② 　Ｐ（Ｐである）。
に於いても、
①（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）
②（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）
に於いても、
① が「真」であれば、② は「偽」であり、
② が「真」であれば、① は「偽」である。
従って、
（06）（14）により、
（15）
① ～Ｐ∨Ｐ（Ｐでないか、または、Ｐである）。
②（Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ）∨（～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
① が「排中律」である以上、
② も「排中律」である。