（01）
（ⅰ）
１ （１）～∀ｘ｛日本ｘ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）｝ Ａ
１ （２）∃ｘ～｛日本ｘ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）｝ １量化子の関係
３ （３） ～｛日本ａ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）｝ Ａ
３ （４）～｛～日本ａ∨［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）］｝ ３含意の定義
３ （５） 日本ａ＆～［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）］ ４ド・モルガンの法則
３ （６） 日本ａ ５＆Ｅ
３ （７） ～［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）］ ５＆Ｅ
３ （８） ～∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）∨～∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ） ７ド・モルガンの法則
３ （９） ∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）→～∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ） ８含意の定義
ア （ア） ∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ） Ａ
３ア （イ） ～∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ） ９アＭＰＰ
３ア （ウ） ∃ｚ～（首都ｚａ→ｙ＝ｚ） イ含意の定義
エ （エ） ～（首都ｃａ→ｙ＝ｃ） Ａ
エ （オ） ～（～首都ｃａ∨ｙ＝ｃ） エ含意の定義
エ （カ） 首都ｃａ＆ｙ≠ｃ オド・モルガンの法則
エ （キ） ∃ｚ（首都ｚａ＆ｙ≠ｚ） カＥＩ
３ア （ク） ∃ｚ（首都ｚａ＆ｙ≠ｚ） ウエキＥＥ
３ （ケ） ∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）→∃ｚ（首都ｚａ＆ｙ≠ｚ） アクＣＰ
３ （コ） 日本ａ＆［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）→∃ｚ（首都ｚａ＆ｙ≠ｚ）］ ６ケ＆Ｉ
３ （サ）∃ｘ｛日本ｘ＆［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）→∃ｚ（首都ｚｘ＆ｙ≠ｚ）］｝ コＥＩ
１ （シ）∃ｘ｛日本ｘ＆［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）→∃ｚ（首都ｚｘ＆ｙ≠ｚ）］｝ ２３サＥＥ
（ⅱ）
１ （１）∃ｘ｛日本ｘ＆［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）→ ∃ｚ（首都ｚｘ＆ｙ≠ｚ）］｝ Ａ
２ （２） 日本ａ＆［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）→ ∃ｚ（首都ｚａ＆ｙ≠ｚ）］ Ａ
２ （３） 日本ａ ２＆Ｅ
２ （４） ［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）→ ∃ｚ（首都ｚａ＆ｙ≠ｚ）］ ２＆Ｅ
２ （５） ～∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）∨ ∃ｚ（首都ｚａ＆ｙ≠ｚ） ４含意の定義
６ （６） ～∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ） Ａ
６ （７） ～∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）∨～∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ） ６∨Ｉ
８ （８） ∃ｚ（首都ｚａ＆ｙ≠ｚ） Ａ
９ （９） 首都ｃａ＆ｙ≠ｃ Ａ
ア（ア） ∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ） Ａ
ア（イ） 首都ｃａ→ｙ＝ｃ アＵＥ
９ （ウ） 首都ｃａ ９＆Ｅ
９ア（エ） ｙ＝ｃ イウＭＰＰ
９ （オ） ｙ≠ｃ ９＆Ｅ
９ア（カ） ｙ＝ｃ＆ｙ≠ｃ エオ＆Ｉ
ア（キ） ～∀ｘ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ） ９カＲＡＡ
ア（ク） ～∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）∨～∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ） キ∨Ｉ
２ （ケ） ～∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）∨～∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ） ５６７アク∨Ｅ
２ （コ） ～［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）］ ケ、ド・モルガンの法則
２ （サ） 日本ａ＆～［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）］ ３コ＆Ｉ
２ （シ） ～｛～日本ａ∨［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）］｝ サ、ド・モルガンの法則
２ （ス） ～｛日本ａ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）｝ シ含意の定義
２ （セ） ∃ｘ～｛日本ｘ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）｝ スＥＩ
１ （ソ） ∃ｘ～｛日本ｘ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）｝ １２セＥＥ
１ （タ） ～∀ｘ｛日本ｘ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）｝ ソ量化子の関係
従って、
（01）により、
（02）
① ～∀ｘ｛日本ｘ→［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝
② ∃ｘ｛日本ｘ＆［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）→∃ｚ（首都ｚｘ＆ｙ≠ｚ）］｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
① ～～∀ｘ｛日本ｘ→［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝
② ～∃ｘ｛日本ｘ＆［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）→∃ｚ（首都ｚｘ＆ｙ≠ｚ）］｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① ∀ｘ｛日本ｘ→［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝
② ～∃ｘ｛日本ｘ＆［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）→∃ｚ（首都ｚｘ＆ｙ≠ｚ）］｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）により、
（05）
① すべてのｘについて｛ｘが日本であるならば、あるｙは［（東京であって、ｘの首都であって）、すべてのｚについて（ｚがｘの首都であるならば、ｙはｚと「同一」である）］｝。
② ｛ｘは日本であって、あるｙが（東京であって、ｘの首都である）ならば、あるｚは（ｘの首都であるが、ｙとｚは「同一」でない）｝といふ、そのやうなｘは存在しない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（05）により、
（06）
① 日本は、東京が首都である。
② 東京以外が首都である所の、日本は存在しない。
に於いて、
①＝② である。
（07）
③ 東京以外は日本の首都ではない。
の「対偶（Contraposition）」は、
③ 日本の首都は東京である。
である。
従って、
（06）（07）により、
（08）
① 日本は、東京が首都である。
② 東京以外が首都である所の、日本は存在しない。
③ 日本の首都は東京である。
に於いて、
①＝②＝③ である。
（01）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ｛日本ｘ→∃ｙ［（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝ Ａ
２ （２）∃ｚ（大阪ｚ＆～東京ｚ） Ａ
１ （３） 日本ａ→∃ｙ［（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）］ １ＵＥ
４ （４） 日本ａ Ａ
１ ４ （５） ∃ｙ［（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）］ ３４ＭＰＰ
６ （６） （東京ｂ＆首都ｂａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｂ＝ｚ）］ Ａ
６ （７） 東京ｂ＆首都ｂａ ６＆Ｅ
６ （８） 東京ｂ ７＆Ｅ
６ （９） ∀ｚ（首都ｚａ→ｂ＝ｚ） ６＆Ｅ
６ （ア） 首都ｃａ→ｂ＝ｃ ９ＵＥ
イ （イ） 大阪ｃ＆～東京ｃ Ａ
イ （ウ） 大阪ｃ イ＆Ｅ
イ （エ） ～東京ｃ イ＆Ｅ
６イ （オ） 東京ｂ＆～東京ｃ ８エ＆Ｉ
カ（カ） ｂ＝ｃ Ａ
６イカ（キ） 東京ｂ＆～東京ｂ オカ＝Ｅ
６イ （ク） ｂ≠ｃ カキＲＡＡ
６イ （ケ） ～首都ｃａ アクＭＴＴ
６イ （コ） 大阪ｃ＆～首都ｃａ ウケ＆Ｉ
６イ （サ）∃ｚ（大阪ｚ＆～首都ｚａ） コＥＩ
２ ６ （シ）∃ｚ（大阪ｚ＆～首都ｚａ） ２イサＥＥ
１２４ （ス）∃ｚ（大阪ｚ＆～首都ｚａ） ５６シＥＥ
１２ （セ） 日本ａ→∃ｚ（大阪ｚ＆～首都ｚａ） ４スＣＰ
１２ （ソ）∀ｘ｛日本ｘ→∃ｚ（大阪ｚ＆～首都ｚｘ）｝ セＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）∀ｘ｛日本ｘ→∃ｙ［（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝。然るに、
（ⅱ）∃ｚ（大阪ｚ＆～東京ｚ）。従って、
（ⅲ）∀ｘ｛日本ｘ→∃ｚ（大阪ｚ＆～首都ｚｘ）｝。
といふ「推論（三段論法）」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが日本であるならば、あるｙは［（東京であって、ｘの首都であって）、すべてのｚについて（ｚがｘの首都であるならば、ｙはｚと「同一」である）］｝。然るに、
（ⅱ）あるｚは（大阪であって、東京ではない）。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて｛ｘが日本であるならば、あるｚは（大阪であって、ｘの首都ではない）。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）日本は、東京が首都である。然るに、
（ⅱ）大阪は、東京ではない。 従って、
（ⅲ）日本は、大阪は首都ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（03）により、
（04）
（ⅰ）東京が、日本の首都である。 然るに、
（ⅱ）大阪は、 東京ではない。 従って、
（ⅲ）日本の首都は、大阪はではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（05）
（ⅰ）日本の首都は、東京である。 然るに、
（ⅱ）大阪は、 東京ではない。 従って、
（ⅲ）日本の首都は、大阪はではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① 日本は、東京が首都である。
② 東京が、日本の首都である。
③ 日本の首都は、東京である。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（06）により、
（07）
① 日本は、東京が首都である。
② Tokyo is the capital of Japan.
③ The capital of Japan is Tokyo.
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（08）
Aids towards recognizing the 'is' of identity are:
（ａ）Can "is" be replaced by 'is the same object as'? ― if so, 'is' means identity, if not, not.
（ｂ）Can the phrase flanking 'is' on both sides can be reversed preserving approximately the same sense? ― if so, 'is' is 'is' of identity, if not, not.
（E.J.Lemmon Beginning Logic 原文）
同一性の「である」識別するための助けとなることがらはつぎの通りである。
（ａ）「である」を「と同じ対象」であるによって置き換えることができるか ―― もしできるならば、その「である」は同一性の「である」である。もしできなければ、そうではない。
（ｂ）「である」の両側にならぶ語句は、近似値的に同じ意味をたもちつつ入れ換えることができるか ―― もしできるならば、その「である」は同一性の「である」である。もしできなければ、そうではない。（E.J.レモン 著、竹内治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２０５頁）
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
② 東京が、日本の首都である。
③ 日本の首都は、東京である。
② Tokyo is the capital of Japan.
③ The capital of Japan is Tokyo.
に於いて、
② が（is the）～である。
は、「同一性（identity）」の「である（is）」である。
従って、
（09）により、
（10）
① ＡはＢである。
② ＡがＢである。
③ ＢはＡである。
に於いて、
① を、② に「置き換へ」ることが出来、
② を、③ に「置き換へ」ることが出来る。
のであれば、そのときに限って、
① Ａ＝Ｂ
② Ａ＝Ｂ
③ Ｂ＝Ａ
である。
然るに、
（11）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
理事長は、私です。 と直して初めて主辞賓辞が適用されるのである。また、かりに大倉氏が、
タゴール記念会は、私が理事長です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
従って、
（11）により、
（12）
① 私は理事長である。
② 私が理事長である。
③ 理事長は私である。
に於いて、
① を、② に「置き換へ」ることが出来、
② を、③ に「置き換へ」ることが出来る。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
① 私＝理事長
② 私＝理事長
③ 理事長＝私
である。
従って、
（13）により、
（14）
①「私」と「理事長」は「同一」である。
②「私」と「理事長」は「同一」である。
③「理事長」と「私」は「同一」である。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
① 私は理事長である。
② 私が理事長である。
③ 理事長は私である。
に於いて、
① を、② に「置き換へ」ることが出来、
② を、③ に「置き換へ」ることが出来る。
のであれば、
① 私以外に理事長はゐない。
② 私以外に理事長はゐない。
③ 理事長以外は私ではない。
従って、
（15）により、
（16）
① 私以外に理事長はゐない。
② 私が理事長である。
③ 理事長は私である。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（16）により、
（17）
① 東京が首都である。
② 首都は東京である。
③ 東京以外は首都ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（02）（17）により、
（18）
① 日本は東京が首都である。
② 日本の首都は東京である。
③ 日本は東京以外は首都ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（02）（18）により、
（19）
① 日本は東京が首都である。⇔
① ∀ｘ｛日本ｘ→∃ｙ［（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝。⇔
① すべてのｘについて｛ｘが日本であるならば、あるｙは［（東京であって、ｘの首都であって）、すべてのｚについて（ｚがｘの首都であるならば、ｙはｚと「同一」である）］｝。
といふ「等式」が、成立する。