（01）
「原始的規則（10 primitive rules）」だけを用ひて、次の「連式」を証明せよ。
（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ┤├（Ｐ→Ｑ）→Ｐ
〔解答〕
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｑ ３４ＭＰＰ
２ （６） ～Ｑ ２＆Ｅ
２３ （７） Ｑ＆～Ｑ ５６＆Ｉ
２ （８） ～（Ｐ→ Ｑ） ３７ＲＡＡ
２ （９） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ ２∨Ｉ
ア （ア） Ｐ Ａ
ア （イ） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ ア∨Ｉ
１ （ウ） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ １２９アイ∨Ｅ
エ （エ） （Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ Ａ
オ （オ） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
エ （カ） （Ｐ→Ｑ） エ＆Ｅ
エオ （キ） ～（Ｐ→Ｑ）＆
（Ｐ→Ｑ） オカ＆Ｉ
オ （ク）～｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝ エキＲＡＡ
ケ （ケ） Ｐ Ａ
エ （コ） ～Ｐ エ＆Ｅ
エ ケ （サ） Ｐ＆～Ｐ ケコ＆Ｉ
ケ （シ）～｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝ エサＲＡＡ
１ （ス）～｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝ ウオクケシ∨Ｅ
セ （セ） （Ｐ→Ｑ） Ａ
ソ（ソ） ～Ｐ Ａ
セソ（タ） （Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ セソ＆Ｉ
１ セソ（チ）～｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝＆
｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝ スタ＆Ｉ
１ セ （ツ） ～～Ｐ ソチＲＡＡ
１ セ （テ） Ｐ ツＤＮ
１ （ト） （Ｐ→Ｑ）→ Ｐ セテＣＰ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
４ （４） ～Ｑ Ａ
３４ （５） Ｐ＆～Ｑ ３４＆Ｉ
２３４ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ２５＆Ｉ
２３ （７） ～～Ｑ ４６ＲＡＡ
２３ （８） Ｑ ７ＤＮ
２ （９） Ｐ→ Ｑ ３８ＣＰ
１２ （ア） Ｐ １９ＭＰＰ
１ （イ） ～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｐ ２アＣＰ
ウ （ウ） ～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝ Ａ
エ（エ） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
エ（オ） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ エ∨Ｉ
ウエ（カ） ～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝＆
｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝ ウオ＆Ｉ
ウ （キ） ～（Ｐ＆～Ｑ） エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｐ イキＭＰＰ
１ ウ （ケ） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ク∨Ｉ
１ ウ （コ） ～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝＆
｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝ イケ＆Ｉ
１ （サ）～～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝ ウコＲＡＡ
１ （シ） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ サＤＮ
（02）
「原始的規則（10 primitive rules）」、並びに「ド・モルガンの法則、含意の定義」を用ひて、次の「連式」を証明せよ。
（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ┤├（Ｐ→Ｑ）→Ｐ
〔解答〕
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ Ａ
２ （２） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （３）～（～Ｐ∨ Ｑ） ２ド・モルガンの法則
２ （４） ～（Ｐ→ Ｑ） ３含意の定義
２ （５） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ ４∨Ｉ
６（６） Ｐ Ａ
６（７） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ ６∨Ｉ
１ （８） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ １２５６７∨Ｅ
１ （９） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ ８含意の定義
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ Ａ
１ （２） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ １含意の定義
３ （３） ～（Ｐ→ Ｑ） Ａ
３ （４）～（～Ｐ∨ Ｑ） ３含意の定義
３ （５） （Ｐ＆～Ｑ） ４ド・モルガンの法則
３ （６） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ５∨Ｉ
７（７） Ｐ Ａ
７（８） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ７∨Ｉ
１ （９） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ２３６７８∨Ｅ
従って、
（01）（02）により、
（03）
「記号」で書くと、
①（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ
②（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
「日本語」で言ふと、
①（Ｐであって、Ｑでない）か、または、Ｐである。
②（Ｐならば、 Ｑ）ならば、Ｐである。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）により、
（05）
Ｐ＝日本人
Ｑ＝男性
であるとして、
①（日本人であって、男性でない）か、または、日本人である。
②（日本人ならば、 男性）ならば、日本人である。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（06）
①（日本人であって、男性でない）か、または、日本人である。
といふのであれば、当然、いづれにせよ、
① 日本人である。
従って、
（05）（06）により、
（07）
①（Ｐであって、Ｑでない）か、または、Ｐである。
といふのであれば、当然、
① Ｐである。
従って、
（04）（07）により、
（08）
①（Ｐであって、Ｑでない）か、または、Ｐである。
②（Ｐならば、 Ｑ）ならば、Ｐである。
に於いて、
①＝② であるが故に、当然、いづれにせよ、
① ならば、Ｐであり、
② ならば、Ｐである。
従って、
（08）により、
（09）
①（（Ｐであって、Ｑでない）か、または、Ｐである）ならば、Ｐである。
②（（Ｐならば、 Ｑ）ならば、Ｐである）ならば、Ｐである。
従って、
（03）（09）により、
（10）
「記号」で書くと、
①（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（11）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
４（４） Ｐ Ａ
１ （５） Ｐ １２３４４∨Ｅ
（６）（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ １５ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
１ （２） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ １含意の定義
３ （３） ～（Ｐ→Ｑ） Ａ
３ （４）～（～Ｐ∨Ｑ） ３含意の定義
３ （５） Ｐ＆～Ｑ ４ド・モルガンの法則
３ （６） Ｐ ５＆Ｅ
７（７） Ｐ Ａ
１ （８） Ｐ ２３６７７∨Ｅ
（９）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １８ＣＰ
従って、
（10）（11）により、
（12）
①（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
① は「恒真式（トートロジー）」であって、
② も「恒真式（トートロジー）」であって、尚且つ、
①＝② である。
然るに、
（13）
命題計算では、パースの法則は（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Ｐについて、命題Ｑが存在して、「ＰならばＱ」からＰが真であることが従うときには、Ｐは真でなければならないとなる。とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる（ウィキペディア）。
従って、
（09）～（13）により、
（14）
①（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
①（（Ｐであって、Ｑでない）か、または、Ｐである）ならば、Ｐである。
②（（Ｐならば、 Ｑ）ならば、Ｐである）ならば、Ｐである。
に於いて、
①＝② であって、
② は、『パースの法則』である。
然るに、
（15）
①（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
①（（Ｐであって、Ｑでない）か、または、Ｐである）ならば、Ｐである。
といふ「命題」が、
命題Ｐについて、命題Ｑが存在して、「ＰならばＱ」からＰが真であることが従うときには、Ｐは真でなければならないとなる。
とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる（ウィキペディア）。
といふ「意味」であるとは、私には、到底、思へない。
従って、
（14）（15）により、
（16）
とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる（ウィキペディア）。
といふ「説明」が、
②（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐならば、Ｑ）ならば、Ｐである）ならば、Ｐである。
といふ『パースの法則』の「説明」になってゐるとは、私には、思へない。