（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） ～Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） ～Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） ～Ｐ→ Ｑ ウクＣ～Ｐ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ １３ＭＰＰ
１ ３（５） Ｐ∨Ｑ ４∨Ｉ
１２３（６） ～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） ２５＆Ｉ
１２ （７） ～～Ｐ ３６ＲＡＡ
１２ （８） Ｐ ７ＤＮ
１２ （９） Ｐ∨Ｑ ７∨Ｉ
１２ （ア） ～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ）
１ （イ）～～（Ｐ∨Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） Ｐ∨Ｑ イＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ∨Ｑ
② ～Ｐ→Ｑ
に於いて、すなはち、
① Ｐか、あるいは、Ｑである。
② Ｐでないならば、Ｑである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１ （１）Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２）Ｐ Ａ
２ （３）Ｑ∨Ｐ ２∨Ｉ
４（４） Ｑ Ａ
４（５）Ｑ∨Ｐ ４∨Ｉ
１ （６）Ｑ∨Ｐ １２３４５∨Ｅ
（ⅲ）
１ （１）Ｑ∨Ｒ Ａ
２ （２）Ｑ Ａ
２ （３）Ｒ∨Ｑ ２∨Ｉ
４（４） Ｒ Ａ
４（５）Ｒ∨Ｑ ４∨Ｉ
１ （６）Ｒ∨Ｑ １２３４５∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
① Ｐか、あるいは、Ｑである。
③ Ｑか、あるいは、Ｐである。
に於いて、
①＝③ は、「交換法則（Commutative law）」である。
従って、
（02）（04）により、
（05）
① Ｐか、あるいは、Ｑである。
② Ｐでないならば、Ｑである。
③ Ｑか、あるいは、Ｐである。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（05）により、
（06）
① Ｐか、あるいは、Ｑである。
② Ｐでないならば、Ｑである。
③ Ｑか、あるいは、Ｐである。
④ Ｑでないならば、Ｐである。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（06）により、
（07）
「番号」を付け直すと、
① Ｐ∨Ｑ
② Ｑ∨Ｐ
③ ～Ｐ→Ｑ
④ ～Ｑ→Ｐ
に於いて、すなはち、
① Ｐか、あるいは、Ｑである。
② Ｑか、あるいは、Ｐである。
③ Ｐでないならば、Ｑである。
④ Ｑでないならば、Ｐである。
に於いて、
①＝②＝③＝④ であるが、
そんなことは、「当り前」である。
然るに、
（08）
① Ｐ∨Ｑ
② Ｑ∨Ｐ
③ ～Ｐ→Ｑ
④ ～Ｑ→Ｐ
に於いて、
Ｐ＝～Ｐ
といふ「代入」を行ふと、
① ～Ｐ∨ Ｑ
② Ｑ∨～Ｐ
③ ～～Ｐ→ Ｑ
④ ～Ｑ→～Ｐ
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（09）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
③ ～～Ｐ
⑤ Ｐ
に於いて、すなはち、
③ Ｐでない。ではない。
⑤ Ｐである。
に於いて、
③＝⑤ である。
従って、
（08）（09）により、
（10）
① ～Ｐ∨ Ｑ
② Ｑ∨～Ｐ
③ Ｐ→ Ｑ
④ ～Ｑ→～Ｐ
に於いて、すなはち、
① Ｐでないか、あるいは、Ｑである。
② Ｑであるか、あるいは、Ｐでない。
③ Ｐであるならば、Ｑである。
④ Ｑでないならば、Ｐでない。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（11）
③ Ｐ→ Ｑ
④ ～Ｑ→～Ｐ
に於いて、すなはち、
③ Ｐであるならば、Ｑである。
④ Ｑでないならば、Ｐでない。
に於いて、
③＝④ は、「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（01）～（11）により、
（12）
① Ｐでないか、あるいは、Ｑである。
② Ｑであるか、あるいは、Ｐでない。
に於いて、
①＝② である。
といふ「交換法則（commutative law）」を認め、尚且つ、
③ Ｐでない。ではない。
⑤ Ｐである。
に於いて、
③＝⑤ である。
といふ「二重否定律（ＤＮ）」を認めるのであれば、
③ Ｐであるならば、Ｑである。
④ Ｑでないならば、Ｐでない。
に於いて、
③＝④ である。
といふ「対偶（Contraposition）」を認めざるを得ない。