（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
１２ （４） Ｑ １２ＭＰＰ
１２３（５） ～Ｑ＆Ｑ ３４＆Ｉ
１ ３（６）～Ｐ ２５ＲＡＡ
１ （７）～Ｑ→～Ｐ ３６ＣＰ
（ⅱ）
１ （１）～Ｑ→～Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３）～Ｑ Ａ
１ ３（４） ～Ｐ １３ＭＰＰ
１２３（５） Ｐ＆～Ｐ ２４＆Ｉ
１２ （６）～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
に於いて、
①＝② は、「対偶(Contraposition）」である。
従って、
（02）により、
（03）
① Ｑ→ Ｐ
② ～Ｐ→～Ｑ
に於いて、
①＝② は、「対偶(Contraposition）」である。
従って、
（02）（03）により、
（04）
①（ Ｐ→ Ｑ）＆（ Ｑ→ Ｐ）
②（～Ｑ→～Ｐ）＆（ Ｑ→ Ｐ）
③（ Ｐ→ Ｑ）＆（～Ｐ→～Ｑ）
④（～Ｑ→～Ｐ）＆（～Ｐ→～Ｑ）
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（04）
（05）
①（ 私→ 幹）＆（ 幹→ 私）
②（～幹→～私）＆（ 幹→ 私）
③（ 私→ 幹）＆（～私→～幹）
④（～幹→～私）＆（～私→～幹）
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（05）により、
（06）
①（ 私ならば 幹事）＆（ 幹事ならば 私）
②（～幹事ならば～私）＆（ 幹事ならば 私）
③（ 私ならば 幹事）＆（～私ならば～幹事）
④（～幹事ならば～私）＆（～私ならば～幹事）
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（06）により、
（07）
「番号」を変へると、
②（私は幹事です）＆（幹事は私です）。
③（私は幹事です）＆（私以外は幹事ではない）。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（08）
無題化というのは、「Ⅹは」の「は」を消すことですから、センテンスの形のままでもできないことはありませんが、センテンスの形では、本当に無題になりきらない場合も起こります。たとえば。
私は、幹事です。
私が、幹事です。
のように、「は」を消しても、センテンスの意味は、
幹事は、私です。
というのに近く、題が文中の別の箇所に移り隠れたにすぎません。つまり、本当には無題化していないわけです。
（山崎紀美子、日本語基礎講座 三上文法入門、2003年、６５・６６頁）
然るに、
（07）（08）により、
（09）
私は、幹事です。
私が、幹事です。
のように、「は」を消しても、センテンスの意味は、
幹事は、私です。
というのに近い。といふことは、
① 私が、幹事です。
といふ「日本語の意味」が、
②（私は幹事です）＆（幹事は私です）。
③（私は幹事です）＆（私以外は幹事ではない）。
といふ「日本語の意味」に、近いといふことであって、尚且つ、
②＝③ である。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
山崎先生は、
① 私が、幹事です。
②（私は幹事です）＆（幹事は私です）。
③（私は幹事です）＆（私以外は幹事ではない）。
に於いて、
①＝②＝③ ではないにしても、
①≒②≒③ である。
と、言ってゐる。
然るに、
（11）
②「私」は
②「私以外にはゐない。」
従って、
（12）
②「幹事は私です。」
と言ふのあれば、必然的に、
③（私は幹事です）＆（私以外は幹事ではない）。
といふ、「意味」になる。
然るに、
（13）
③（その場に於いて、）私以外にも幹事がゐる。
にも拘らず、
① 私が幹事です。
と、言ふことは、有り得ない。
従って、
（08）～（13）により、
（14）
実際には、
① 私が、幹事です。
②（私は幹事です）＆（幹事は私です）。
③（私は幹事です）＆（私以外は幹事ではない）。
に於いて、
①≒②≒③ ではなく、
①＝②＝③ である。
従って、
（08）（14）により、
（15）
ただ単に、
① 私が、幹事です。
②（私は幹事です）＆（幹事は私です）。
③（私は幹事です）＆（私以外は幹事ではない）。
に於いて、
①＝②＝③ である。
といふことを、「確認」すれば、良いだけなのであって、
私が、幹事です。
のように、「は」を消しても、センテンスの意味は、
幹事は、私です。
というのに近く、題が文中の別の箇所に移り隠れたにすぎません。つまり、本当には無題化していないわけです。
といふ風に、言はなければならない「必要」などは、無いはずである。
（16）
① 象は、鼻が長い。
② 鼻が長い象。
③ 象の長い鼻。
④ 象の鼻が長いコト。
に於いて、
① 象は は、「題」である。
② 象が は、「題」ではない。
③ 象の は、「題」ではない。
④ 象の は、「題」ではない。
従って、
（16）により、
（17）
① 象は、鼻が長い。
に対して、
② 鼻が長い象。
③ 象の長い鼻。
④ 象の鼻が長いコト。
は、「無題」なので、「無題化」である。
として、「そうのやうに、言った」ところで、
「何か、良いことが有るのか。」といふ風に、私は、言ひたい。
（01）
― 以前にも、書いたものの、―
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） Ａ
３ （４） 鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ ３＆Ｅ
３ （５） ～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ ３＆Ｅ
６ （６） 長ａ Ａ
６ （７） ～～長ａ ６ＤＮ
３６ （８） ～（～象ｂ＆鼻ａｂ） ５７ＭＴＴ
３６ （９） 象ｂ∨～鼻ａｂ ８ド・モルガンの法則
ア （ア） 象ｂ Ａ
ア （イ） ～～象ａ アＤＮ
ア （ウ） ～～象ａ∨～鼻ａｂ イ∨Ｉ
エ （エ） ～鼻ａｂ Ａ
エ （オ） ～～象ｂ∨～鼻ａｂ エ∨Ｉ
３６ （カ） ～～象ｂ∨～鼻ａｂ ９アウエオ∨Ｅ
３６ （キ） ～象ｂ→～鼻ａｂ カ含意の定義
３ （ク） 長ａ→（～象ｂ→～鼻ａｂ） ６キＣＰ
ケ（ケ） 長ａ＆ ～象ｂ Ａ
ケ（コ） 長ａ ケ＆Ｅ
３ ケ（サ） ～象ｂ→～鼻ａｂ クコＭＰＰ
ケ（シ） ～象ｂ ケ＆Ｅ
３ ケ（ス） ～鼻ａｂ サシＭＰＰ
３ （セ） 長ａ＆～象ｂ→～鼻ａｂ ケスＣＰ
３ （ソ） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（長ａ＆～象ｂ→～鼻ａｂ） ４セ＆Ｉ
３ （タ） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（長ａ＆～象ｙ→～鼻ａｙ）｝ ソＥＩ
１ （チ） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｂ→長ａ）＆（長ａ＆～象ｙ→～鼻ａｙ）｝ ２３タＥＥ
１ （ツ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（長ｘ＆～象ｙ→～鼻ｘｙ）｝ チＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（長ｘ＆～象ｙ→～鼻ｘｙ）｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｂ→長ａ）＆（長ａ＆～象ｙ→～鼻ａｙ）｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（長ａ＆～象ｂ→～鼻ａｂ） Ａ
３ （４） 鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ ３＆Ｅ
３ （５） 長ａ＆～象ｂ→～鼻ａｂ ３＆Ｅ
６ （６） 鼻ａｂ Ａ
６ （７） ～～鼻ａｂ ６ＤＮ
３６ （８） ～（長ａ＆～象ｂ） ５７ＭＴＴ
３６ （９） ～長ａ∨ 象ｂ ８ド・モルガンの法則
３６ （ア） 象ａ∨～長ａ ９交換法則
イ （イ） 象ａ Ａ
イ （ウ） ～～象ａ イＤＮ
イ （エ） ～～象ａ∨～長ａ ウ∨Ｉ
オ （オ） ～長ａ Ａ
オ （カ） ～～象ａ∨～長ａ オ∨Ｉ
３６ （キ） ～～象ａ∨～長ａ アイエオカ∨Ｅ
３６ （ク） ～象ａ→～長ａ キ含意の定義
３ （ケ） 鼻ａｂ→（～象ａ→～長ａ） ６クＣＰ
コ（コ） ～象ｂ＆鼻ａｂ Ａ
コ（サ） 鼻ａｂ コ＆Ｅ
３ コ（シ） ～象ａ→～長ａ ケサＭＰＰ
コ（ス） ～象ｂ コ＆Ｅ
３ コ（セ） ～長ａ シスＭＰＰ
３ （ソ） ～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ コセＣＰ
３ （タ） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） ４ソ＆Ｉ
３ （チ） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝ タＥＩ
１ （ツ） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝ ２３チＥＥ
１ （テ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝ ツＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（長ｘ＆～象ｙ→～鼻ｘｙ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
② すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｘが長くて、ｙが象でないならば、ｘはｙの鼻ではない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝⇔
① すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
といふことは、
① 鼻は象は長く、象以外の鼻は長くない。
といふ「意味」である。
（04）
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（長ｘ＆～象ｙ→～鼻ｘｙ）｝⇔
② すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｘが長くて、ｙが象でないならば、ｘはｙの鼻ではない。
といふことは、
② 鼻は象は長く、象以外の動物で、ある部分が長いならば、鼻以外の、例へば、耳が長い。
② 鼻は象は長く、象以外の動物で、ある部分が長いならば、鼻以外の、例へば、顔が長い。
といふ「意味」である。
然るに、
（05）
｛象、兎、馬｝を、｛変域（ドメイン）｝とすると、
① 鼻は象が長く、
② 耳は兎が長く、
③ 顔は馬が長い。
といふ「日本語」は、「正しい」。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① 鼻は象が長い。⇔
① 鼻は、象は長く、象以外は長くない。⇔
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝⇔
① すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなくて、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（07）
― 以前には書かなかったものの、―
（ⅰ）
１ （１）～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆ （～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝ Ａ
１ （２）∃ｘ～∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆ （～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝ １量化子の関係
１ （３）∃ｘ∀ｙ～｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆ （～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝ ２量化子の関係
４ （４） ∀ｙ～｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆ （～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝ Ａ
４ （５） ～｛（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆ （～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ）｝ ４ＵＥ
４ （６） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）∨～（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） ５ド・モルガンの法則
４ （７） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）→～（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） ６含意の定義
８ （８） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ） Ａ
４８ （９） ～（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） ４８ＭＰＰ
４８ （ア） ～｛～（～象ｂ＆鼻ａｂ）∨～長ａ｝ ９含意の定義
４８ （イ） （～象ｂ＆鼻ａｂ）＆ 長ａ アド・モルガンの法則
４８ （ウ） （～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） イ結合法則
４ （エ） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）→（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） ８ウＣＰ
４ （オ） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）∨（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） エ含意の定義
カ （カ） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ） Ａ
カ （キ） ～｛～（鼻ａｂ＆象ｂ）∨長ａ） カ含意の定義
カ （ク） （鼻ａｂ＆象ｂ）＆～長ａ キ、ド・モルガンの法則
カ （ケ） （鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ａ） ク結合法則
カ （コ） （鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ａ）∨（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） ケ∨Ｉ
サ（サ） （～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） Ａ
サ（シ） （鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ａ）∨（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） サ∨Ｉ
４ （ス） （鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ａ）∨（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） オカコサシ∨Ｅ
４ （セ） ∀ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ＆～長ｙ）∨（～象ｙ＆鼻ａｙ＆長ａ）｝ スＵＩ
４ （ソ） ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ＆～長ｙ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｘ）｝ セＥＩ
１ （タ） ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ＆～長ｙ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｘ）｝ ３４ソＥＥ
（ⅱ）
１ （１） ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ＆～長ｙ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｘ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ＆～長ｙ）∨（～象ｙ＆鼻ａｙ＆長ａ）｝ Ａ
２ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ｂ）∨（～象ｂ＆鼻ａｂ＆長ａ） ２ＵＥ
４ （４） （鼻ａｂ＆象ｂ＆～長ｂ） Ａ
４ （５） （鼻ａｂ＆象ｂ）＆～長ｂ ４結合法則
４ （６） ～～｛（鼻ａｂ＆象ｂ）＆～長ｂ｝ ５ＤＮ
４ （７） ～｛～（鼻ａｂ＆象ｂ）∨ 長ｂ｝ ６ド・モルガンの法則
４ （８） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ｂ） ７含意の定義
４ （９） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ｂ）∨～（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） ８∨Ｉ
ア （ア） （～象ｂ＆鼻ａｂ ＆長ａ） Ａ
ア （イ） （～象ｂ＆鼻ａｂ）＆長ａ ア結合法則
ア （ウ） ～～｛（～象ｂ＆鼻ａｂ）＆長ａ｝ イＤＮ
ア （エ） ～｛～（象ｂ＆鼻ａｂ）∨～長ａ｝ ウ、ド・モルガンの法則
ア （カ） ～（象ｂ＆鼻ａｂ →～長ａ） エ、含意の定義
ア （キ） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ｂ）∨～（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） カ∨Ｉ
２ （ク） ～（鼻ａｂ＆象ｂ→長ｂ）∨～（～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ） ３４９アキ∨Ｅ
２ （ケ） ～｛（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆ （～象ｂ＆鼻ａｂ→～長ａ）｝ ク、ド・モルガンの法則
２ （コ） ∀ｙ～｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆ （～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝ ケＵＩ
２ （サ） ～∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆ （～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ａ）｝ コ量化子の関係
２ （シ）∃ｘ～∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆ （～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝ サＵＩ
２ （ス）～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆ （～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝ シ量化子の関係
１ （セ）～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆ （～象ｙ＆鼻ａｙ→～長ｘ）｝ １２スＥＥ
従って、
（07）により、
（08）
① ～∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝
② ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ＆～長ｘ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｘ）｝
に於いて、すなはち、
①「すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。」といふわけではない。
②「あるｘとすべてのｙについて（ｘはｙの鼻であって、ｙは象であって、ｘは長くない）か、または（ｙは象ではなく、ｘはｙの鼻であり、ｘは長い。」
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（09）
②「あるｘとすべてのｙについて（ｘはｙの鼻であって、ｙは象であって、ｘは長くない）か、または（ｙは象ではなくて、ｘはｙの鼻であり、ｘは長い）。」
といふことは、
②（鼻が長くない象がゐる）か、または（鼻が長い、象ではない動物がゐる）。
といふことである。
然るに、
（10）
① 鼻は、象が長い。
②（鼻が長くない象がゐる）か、または（鼻が長い、象ではない動物がゐる）。
に於いて、
① と ② は「矛盾」する。
従って、
（10）により、
（11）
① 鼻は、象が長い。
②（鼻が長くない象がゐる）か、または（鼻が長い、象ではない動物がゐる）。
に於いて、
① の「否定」は、② であって、
② の「否定」は、① である。
従って、
（06）（11）により、
（12）
① 鼻は象が長い。⇔
① 鼻は、象は長く、象以外は長くない。⇔
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ→～長ｘ）｝⇔
① すべてのｘとあるｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象ならば、ｘは長く、ｙが象ではなく、ｘがｙの鼻ならば、ｘは長くない。
といふ「等式」が、成立し、
② 鼻は象が長い。といふわけでない。⇔
② 鼻は、象は長く、象以外は長くない。といふわけではない。⇔
② ∃ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ＆～長ｘ）∨（～象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｘ）｝⇔
② あるｘとすべてのｙについて（ｘはｙの鼻であって、ｙは象であって、ｘは長くない）か、または（ｙは象ではなくて、ｘはｙの鼻であり、ｘは長い）。
といふ「等式」が、成立する。