図のような円リングの相互インダクタンスを求める。
計算が困難なため R≫a,b とし、微小項を略す。そして、相手方に鎖交する磁界は円
リング内で一定（中心の値）とする。
ds=adθ(-sinθ, cosθ,0) , r=(R-a cosθ, -a sinθ, 0)
r=√{(R-a cosθ)²+(a sinθ)²}=√{(R²+a²)-2Ra cosθ}
ds×r=adθ(0,0,a(sinθ)²-(R-a cosθ)cosθ)=adθ(0,0,a-Rcosθ)
r=√{(R-a cosθ)²+(a sinθ)²}=√{(R²+a²)-2Ra cosθ}
ds×r=adθ(0,0,a(sinθ)²-(R-a cosθ)cosθ)=adθ(0,0,a-Rcosθ)
なのでビオ・サバールの式から H=(I/4π)∫(ds×r)/r³
ds×r はz成分しかないので、Hもz成分のみとなり
Hz=(I/4π)a∫(a-Rcosθ)dθ/{(R²+a²)-2Ra cosθ}³/²・・・・①
となる。ここで、２次の微小(a/R)²を0とし、x≪1 での近似式
となる。ここで、２次の微小(a/R)²を0とし、x≪1 での近似式
1/(1-x)³/²≒1+3x/2 を使って
1/{(R²+a²)-2Ra cosθ}³/²=(1/R³)/{1+(a/R)²-2(a/R) cosθ}³/²
≒(1/R³)/{1-2(a/R) cosθ}³/²≒(1/R³){1+3(a/R) cosθ}
これを①に入れて
Hz≒(I/4π)(a/R³)∫(a-Rcosθ){1+3(a/R) cosθ}dθ
ここで、積分内を展開すると
(a-Rcosθ){1+3(a/R) cosθ}=a+(3a²/R-R)cosθ-3a cos²θ
であるが、cosθの積分はθ=0～2πで0になる。cos²θ=(1+cos 2θ)/2 も
２πで積分するとcosの項は0となり、(1/2)2π=πとなる。結局、
Hz=(I/4π)(a/R³)(a2π-3aπ)= -Ia²/(4R³)
この磁界は円bの中心の磁界であるが、bの円全面で一定とすると鎖交磁束は
Φ=πb²(μ₀Hz)=-μ₀Iπ(ab)²/(4R³)
1/{(R²+a²)-2Ra cosθ}³/²=(1/R³)/{1+(a/R)²-2(a/R) cosθ}³/²
≒(1/R³)/{1-2(a/R) cosθ}³/²≒(1/R³){1+3(a/R) cosθ}
これを①に入れて
Hz≒(I/4π)(a/R³)∫(a-Rcosθ){1+3(a/R) cosθ}dθ
ここで、積分内を展開すると
(a-Rcosθ){1+3(a/R) cosθ}=a+(3a²/R-R)cosθ-3a cos²θ
であるが、cosθの積分はθ=0～2πで0になる。cos²θ=(1+cos 2θ)/2 も
２πで積分するとcosの項は0となり、(1/2)2π=πとなる。結局、
Hz=(I/4π)(a/R³)(a2π-3aπ)= -Ia²/(4R³)
この磁界は円bの中心の磁界であるが、bの円全面で一定とすると鎖交磁束は
Φ=πb²(μ₀Hz)=-μ₀Iπ(ab)²/(4R³)
相互インダクタンスは
M=Φ/I=-μ₀π(ab)²/(4R³)
となる。
以上
