０. はじめに
ベクトル解析の公式はグリーンの定理に始まって、ストークスの定理、ガウスの定理が定番
である。しかし、次のような不思議な公式が時々見かけるが、証明は無く違和感を持っていた。
あるサイトで、1つの公式の簡明な証明が載っていた。その手法を使うと、これらの 公式の
証明ができることに気が付いた。赤文字の式は証明も載っているよく知られた一般的な公式
である。
１. 部分積分の公式
∫(∇f)g・dr= [fg](r=rs→re) - ∫f∇g・dr (積分はrs→re) ・・・・(1.1)
ここで、[fg](r=rs→re) = (fg)r=re– (fg)r=rs である。
∫(∇f×F)・dS = ∫fF・dr - ∫f(∇×F)・dS ・・・・・・・・(1.2)
∫∇f・Fdv = ∲fF・dS - ∫f∇・F dv ・・・・・・・・・(1.3)
∲(F×G)・dS= ∫(∇×F)・G dv - ∫F・(∇×G)dv ・・・・・・・・(1.4)
２. グリーンの公式
∫(fΔg + grad f・grad g)dv = ∫f(∂g/∂n)dS ・・・・・(2.1)
∫(fΔg- gΔf)dv = ∲{f(∂g/∂n)-g(∂f/∂n))dS ・・・・(2.2)
(1.3)で、F=∇g とおくと、(2.1)が得られ、(2.1)で f,g を入れ替えて差を取れば(2.2)
が得られる。∂g/∂n=∇g・n である。
３. ガウスの定理
∫div Fdv=∲F・dS=∲F・n dS ・・・・・・・(3.1)
∫grad f dv=∲fdS=∲fndS ・・・・・・・・ (3.2)
∫rot F dv=∲dS×F= -∲F×dS ・・・・・・・・(3.3)
４. ストークスの定理
∫rot F・dS=∲F・dr ・・・・・・・・(4.1)
∫(n×∇)f dS=∲f dr ・・・・・・・・(4.2)
∫(n×∇)×F dS=∲dr×F ・・・・・・・(4.3)
∫∇f×n dS=∲r∇f・dr ・・・・・・・(4.4)
５. 部分積分の公式（1項）の証明
区間[a,b]で定義された曲線を r=< x(t),y(t),z(t) > とする。 rs=< x(a),y(a),z(a) > ,
re=( x(b),y(b),z(b) ) とする。 d(fg)/dt=(df/dt)g+f(dg/dt) に連鎖律
df/dt=(∂xf)dx/dt+(∂yf)dy/dt+(∂zf)dz/dt=(∇f)・dr/dt
ここで、省略記号、∂x=∂/∂xなどを使った。これらにより
d(fg)/dt= (∇f)g・dr/dt + f (∇g)・dr/dt
となり、両辺を区間[a, b]で積分すると(1.1)を得る。
公式 ∇×(fF)=∇f×F+f∇×F を面積分して、左辺に(4.1)を使うと
∲fF・dr=∫∇f×F・dS +∫f∇×F・dS となって、(1.2)を得る。
公式 ∇・(fF)=∇f・F+f∇・F 体積分して、左辺に(3.1)を使うと
∲fF・dS=∫∇f・Fdv+∫f∇・Fdv となって、(1.3)を得る。
最後の式は、ポィンティングベクトルとエネルギー式の関係を導くときに使われている手順に
沿って、公式 div(F×G)=(rot F)・G – F・(rot G)を体積分して、左辺に(3.1)を使うと(1.4)
が得られる。
６. 変形ガウスの定理の証明
6.1 (3.2)式の証明
最初に手がかりとなった証明を見たのは(3.2)である。それはベクトルの各成分の等式を計算し、
最後にベクトルに戻すという手順である。(3.1)で、F=fex （exはx方向の単位ベクトル）とすると
∫∂xf dv=∲fex・ndSとなる。つまり、{∫∇f dv}x={∲fn dS}x
ここで、{A}xはベクトルAのx成分。同様に、F=fey, F=fezと
して
{∫∇f dv}y={∲f ndS}y、{∫∇f dv}z={∲f ndS}z
つまり、{ }内のベクトルの各成分が等しいので、ベクトルも等しい。ゆえに
∫∇f dv=∫grad f dv=∲fndS=∲fdS
となって、(3.2)式を得る。
6.2 (3.3)式の証明
(1.4)で、G=ex とすると（公式 A・(B×C)=(A×B)・C を使って）
左辺=∲(F×ex)・dS=∲(dS×F)・ex={∲(dS×F)}x
右辺=∫(rot F)・ex dv –∫F・(rot ex)dv =∫(rot F)・ex dv – 0 ={∫(rot F)dv}x
つまり、{∲(dS×F)}x={∫(rot F)dv}x
となる。G=ey、G=ez とおくと、同様な結果が
得られて、元のベクトル等式のベクトル成分がすべて等しいので(3.3)が得られる。
７. 変形ストークスの定理の証明
7.1 (4.2)式の証明
公式 rot(fF)=grad f×F + f(rot F) を使って、順次、F=ex、F=ey、 F=ez とおくと
rot(fex)=∇f×ex + f・0= ∂zfey -∂yfez
rot(fey)=∂xfez -∂zfex , rot(fez)= ∂yfex -∂xfey
これらの両辺を面積分して、左辺に(4.1)を使うと n=< nx,ny,nz > として
∲fex・dr= {∫fdr}x =∫(∂zfey-∂yfez)・ndS =∫(ny∂zf –nz∂yf)dS = {∫(n×∇)f dS}x
∲fey・dr= {∫fdr}y =∫(nz∂xf –nx∂zf)dS = {∫(n×∇)f dS}y
∲fez・dr= {∫fdr}z =∫(nx∂yf –ny∂xf)dS = {∫(n×∇)f dS}z
ここで、
(n×∇)=< ny∂z –nz∂y, nz∂x –nx∂z, nx∂y –ny∂x > ・・・・(7.1)
を使った。結局、これらは、(4.2)の各ベクトル成分が等しいことを示すので、(4.2)を得る。
7.2 (4.3)式の証明
F=< Fx, Fy, Fz >とする。公式 rot(fG)=∇f×G + f(rotG) を使って、f=Fz、G=eyとおくと
rot(Fzey)= ∇Fz×ey + 0 これを面積分して、左辺に(4.1)を使うと、(7.1)を使って
∲Fzey・dr=∲Fzdy=∫(∇Fz×ey)・ndS=∫∇Fz・(ey×n)dS
=∫∇Fz・< nz, 0, -nx > dS=∫(nz∂x–nx∂z)FzdS=∫(n×∇)yFzdS
同様に、f=Fy、G=ez から、
∲Fyez・dr=∲Fydz=∫∇Fy・(ez×n)dS=∫∇Fy・< -ny, nx, 0 > dS
=∫(nx∂y-ny∂x)FydS=∫(n×∇)zFydS
となり、この差を取ると
∲Fzdy-∲Fydz={∲dr×F}x=∫{(n×∇)y Fz -(n×∇)z Fy}dS
={∫(n×∇)×F)dS }x
となる。
同様に、f=Fx、G=ez および f=Fz、G=ex から、
∲Fxez・dr=∲Fxdz=∫∇Fx・(ez×n)dS=∫(n×∇)zFxdS
∲Fzex・dr=∲Fzdx=∫∇Fz・(ex×n)dS=∫(n×∇)xFzdS
差を取って、{∲dr×F}y={∫(n×∇)×F)dS }y
同様に、f=Fy、G=ex および f=Fx、G=ey から、
∲Fyex・dr=∲Fydx=∫∇Fy・(ex×n)dS=∫(n×∇)xFydS
∲Fxey・dr=∲Fxdy=∫∇Fx・(ey×n)dS=∫(n×∇)yFxdS
差を取って、{∲dr×F}z={∫(n×∇)×F)dS }z
結局、(4.3)が成立する。
7.3 (4.4)式の証明
(4.1)の左辺で F=x∇f とすると、積分内は公式から
rot(x∇f)=(∇x)×∇f=<1,0,0>×∇f=<0, -∂zf, ∂yf>
となるから
rot F・dS=rot(x∇f)・ndS=(nz∂yf-ny∂zf)dS={∇f×n}x dS
となる。また、(4.1)の右辺は r=<x,y,z> とすれば x={r}x だから
∲F・dr=∲x∇f・dr=∲{r}x ∇f・dr
となり、まとめると
∲{∇f×n}x dS=∲{r}x ∇f・dr
となる。
同様に F → y∇f, z∇f とおくと
∫{∇f×n}y dS=∲{r}y ∇f・dr
∫{∇f×n}z dS=∲{r}z ∇f・dr
を得る。これらのベクトル成分をまとめてベクトル表示すれば(4.4)を得る。
８. 補足
あるサイトによると外微分形式を使って、スマートに、これらの公式を証明していたが理解でき
なかった。下記の参考文書の(1)に次のような式が載っている。
無限遠で消える任意のベクトルJに対し（あるいは体積分の境界・表面でJ=0）
∫J dv= －∫r∇・J dv・・・・・・・・・(8.1)
が成り立つ。これは、(1.3)で F=J、f=xとおくと、
∫ex・Jdv = -∫x∇・J dv → {∫Jdv}x = -{r∇・J dv}x
となる。同様に、f=y, f=z として得られた結果をベクトル表記すると、(8.1)が得られる。
９. 参考
(1) http://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/kousiki-1.PDF
(2) http://www.ims.tsukuba.ac.jp/~shugo_suzuki_lab/intro_vector.pdf
（６章、ただし、クロームは文字化けするので Edge で見てください）
以上
[2024/6/29] (4.4)を追加
１．まえがき
下図のようなラダー回路の合成抵抗値を求める問題がある。ノードが無限にあるとし
たときの合成抵抗Rはどのノードから見ても抵抗値が同じという論理から
R=Ra+Rb+1/(1/Rc+1/R) すなわち R=( Ra+Rb+√{(Ra+Rb)²+4Rc(Ra+Rb)} )/2
から求められる。計算しても、物理的な意味からも Ra+Rb≦R≦Ra+Rb+Rc とわかる。
ここで、Ra,Rb,Rc≧0、Ra+Rb+Rc>0 とする。これを数列により厳密に求めてみよう。
２．厳密解
計算の前に、RaとRbを１つの抵抗としても、計算は変わらないので、以下では Rb=0
とする。n番目のノードで切断した時、左方向の合成抵抗値をRnとする。初期値を
R1=Ra+Rc
とすると
Rn+1=Ra+RcRn/(Rc+Rn)
となる。RaとRbが同時に0でないとする（同時に0なら、Rn=0というつまらない場合に
なる）。 帰納法と上式により、R1>0 だから Rn>0となる。つぎに
R2-R1=Ra+RcR1/(Rc+R1)-(Ra+Rc)=-Rc²/(Rc+R1)≦0
Rn+1-Rn=RcRn/(Rc+Rn)-RcRn-1/(Rc+Rn-1)
=Rc²(Rn-Rn-1)/{ (Rn+Rc(Rn-1+Rc)}
だから、帰納法により
Rn+1-Rn≦0
を得る。すなわち、数列 Rn>0は単調減少数列で下に有界だから、収束する。したがっ
て Rn→R, Rn+1→R として漸化式に代入することができ
R=Ra+RcR/(Rc+R)
すなわち
R=( Ra+√(Ra²+4RcRa) )/2
を得る。R<0となる解は除いてある。
３．初期値による検討
簡易型の議論では数列の初期値があいまいである。上の計算でも初期値 R1により、数
列は単調増加か単調減少になる。
数列の初期値R1によって、単調増加となる場合、Rnは発散すると思ったが、この場合
も収束した。まず、数列 Rnが単調増加か減少かの条件は、
R2-R1=Ra+RcR1/(Rc+R1)-R1=Ra-R1²/(Rc+R1)
であるから R2-R1≦0 であるためには、上式の右辺を計算すると、初期値R1は
R1≧( Ra+√(Ra²+4RcRa) )/2
となることが必要である。すなわち、このときRnは単調減少数列となる。反対に、
R1≦( Ra+√(Ra²+4RcRa) )/2
のとき、Rnは単調増加数列となる。ところが、このとき、
Rn+1=Ra+1/( (1/Rc)+(1/Rn) )≦Ra+1/(1/Rc)= Ra+Rc
すなわち、Rnは上に有界である。ゆえに、Rnは収束する。
以上
１．はじめに
R-L直列回路に整流正弦波を加えたときの電流がどうなるかという問題があった。解析不能と思い
フーリエ変換の近似で解いたが、波形の概要、平均値やP-Pなどは大体よかったが、瞬時値が異な
る。ところが、解析的に解けることが分かったので述べる。
２．計算
回路方程式は
Ldi/dt+Ri=V₀|sin(wt)|
である。ここで、x=wt, Q=wL/R とおき、y=iR/V₀ を代入すると
(wL/R)dv/dx+v=V₀|sin x| ⇒ Qdy/dx+y=|sin x|・・・①
となり、規格化された式となる。
これは、dy/dx ⇒ y ' とすると
Qy '+y=(-1)ⁿ sin x (nπ≦x≦(n+1)π、n=0,1,2,...)・・・②
である。
この特殊解を y=Acos x+Bsin x として解くと
A=-(-1)ⁿQ/(Q²+1) , B=(-1)ⁿ/(Q²+1)
となる。なるから、②の一般解は
y=C[n]exp(-x/Q)+{(-1)ⁿ/(Q²+1)}(-Qcos x+sin x)
(nπ≦x≦(n+1)π、n=0,1,2,...)・・・・③
となる。i(t=0)=0 だから、y(x=0)=0 となり、n=0 のとき、
C[0]=Q/(Q²+1) ・・・・④
となり
y(x)=1/(Q²+1)}(Qexp(-x/Q)-Qcos x+sin x) (0≦x≦π)・・・⑤
となる。
n→(n-1)のときの、x=nπの最終電圧は
y(nπ)=C[n-1]exp(-nπ/Q)+{(-1)ⁿ⁻¹/(Q²+1)}(-Q(-1)ⁿ) = C[n-1]exp(-nπ/Q)+Q/(Q²+1)
また、n→nの時の、x=nπの初期電圧は
y(nπ)=C[n]exp(-nπ/Q)+{(-1)ⁿ/(Q²+1)}(-Q(-1)ⁿ) = C[n]exp(-nπ/Q)-Q/(Q²+1)
となる。y(x)は連続だから、この両者は等しく、漸化式
C[n]-C[n-1]={2Q/(Q²+1)}exp(nπ/Q)
が得られる。ここで
r=exp(π/Q) (>1)・・・・・・・・・⑥
と置いて、これを解くと④から
C[n]={2Q/(Q²+1)}{rⁿ+rⁿ⁻¹+・・・+r+1/2) = {2Q/(Q²+1)}{r(1-rⁿ)/(1-r)+1/2)
={2Q/(Q²+1)}{rⁿ(1-r⁻ⁿ)/(1-r⁻¹)+1/2} = {2Q/(Q²+1)}rⁿ {(1-r⁻ⁿ)/(1-r⁻¹)+r⁻ⁿ/2}
これを③に入れれば、次のような求める解となる。なお C[n]の rⁿ=exp(nπ/Q)は
{exp(-x/Q)}rⁿ=exp{-(x-nπ)/Q} (nπ≦x≦(n+1)π、n=0,1,2,...) とできて、発散し
ないことに注意。
y={1/(Q²+1)}・{ Q{2(1-r⁻ⁿ)/(1-r⁻¹)+r⁻ⁿ} exp(-(x-nπ)/Q)+(-1)ⁿ(-Qcos x+sin x) }
(nπ≦x≦(n+1)π、n=0,1,2,...) ・・・・・⑦
そして、r⁻ⁿ→0 だから、C[n]→{2Q/(Q²+1)}rⁿ/{1-r⁻¹)}
であり、nが大きくなった定常解は
y={1/(Q²+1)}・{ [2Q/{1-exp(-π/Q)}] exp(-(x-nπ)/Q)+(-1)ⁿ(-Qcos x+sin x) }
(nπ≦x≦(n+1)π、n=0,1,2,...)・・・・・⑧
となるが、x'=x-nπとすると cos x'=(-1)ⁿcos x, sin x'=(-1)ⁿ sin x
となり
y={1/(Q²+1)}・{ [2Q/{1-exp(-π/Q)}] exp(-x'/Q)+(-Qcos x'+sin x') }
(0≦x'≦π、n=0,1,2,...)・・・・・・・⑨
となって、nに依存しない周期関数となる。
この関数の表示は少し面倒なので、解析解を接続したものと Maximaで
ルング・ケッタ法で解いた図を載せる。
３．検討
定常解⑨の平均値は
Ya=(1/π)∫[0→π]ydx'=(1/π){1/(Q²+1)}(2Q²+2)=2/π=0.637
となる。しかし、p-p値、つまりリップルの計算がうまくできない。
そこで、|sin x|≒(2/π)(1-(2/3)cos(2x)) とフーリエ変換の近似値で倍周波数のp-pを求
めてみる。つまり、直流分を除き
Qdy/dx+y=-(4/3π)cos(2x)
の特殊解（定常解）を求める。すると簡単に
y=-(4/3π)/(1+(2Q)²){cos(2x)+2Qsin(2x)}
と求まる。したがって、yの振幅は
{(4/3π)/(1+(2Q)²)}√(1+(2Q)²)=(4/3π)/√(1+(2Q)²)
となる。p-pはその２倍
ypp=(8/3π)/√(1+(2Q)²)
となる。これと⑨の定常解を図示して読んだ値と比較すると
Q=0.1 → 0.93(⑨の図から) , ypp=0.83（近似計算）
Q=1 → 0.38(⑨の図から) , ypp=0.38（近似計算）
Q=10 → 0.042(⑨の図から) , ypp=0.042（近似計算）
となり、大体一致している。
以上
R-L直列回路に整流正弦波を加えたときの電流がどうなるかという問題があった。解析不能と思い
フーリエ変換の近似で解いたが、波形の概要、平均値やP-Pなどは大体よかったが、瞬時値が異な
る。ところが、解析的に解けることが分かったので述べる。
２．計算
回路方程式は
Ldi/dt+Ri=V₀|sin(wt)|
である。ここで、x=wt, Q=wL/R とおき、y=iR/V₀ を代入すると
(wL/R)dv/dx+v=V₀|sin x| ⇒ Qdy/dx+y=|sin x|・・・①
となり、規格化された式となる。
これは、dy/dx ⇒ y ' とすると
Qy '+y=(-1)ⁿ sin x (nπ≦x≦(n+1)π、n=0,1,2,...)・・・②
である。
この特殊解を y=Acos x+Bsin x として解くと
A=-(-1)ⁿQ/(Q²+1) , B=(-1)ⁿ/(Q²+1)
となる。なるから、②の一般解は
y=C[n]exp(-x/Q)+{(-1)ⁿ/(Q²+1)}(-Qcos x+sin x)
(nπ≦x≦(n+1)π、n=0,1,2,...)・・・・③
となる。i(t=0)=0 だから、y(x=0)=0 となり、n=0 のとき、
C[0]=Q/(Q²+1) ・・・・④
となり
y(x)=1/(Q²+1)}(Qexp(-x/Q)-Qcos x+sin x) (0≦x≦π)・・・⑤
となる。
n→(n-1)のときの、x=nπの最終電圧は
y(nπ)=C[n-1]exp(-nπ/Q)+{(-1)ⁿ⁻¹/(Q²+1)}(-Q(-1)ⁿ) = C[n-1]exp(-nπ/Q)+Q/(Q²+1)
また、n→nの時の、x=nπの初期電圧は
y(nπ)=C[n]exp(-nπ/Q)+{(-1)ⁿ/(Q²+1)}(-Q(-1)ⁿ) = C[n]exp(-nπ/Q)-Q/(Q²+1)
となる。y(x)は連続だから、この両者は等しく、漸化式
C[n]-C[n-1]={2Q/(Q²+1)}exp(nπ/Q)
が得られる。ここで
r=exp(π/Q) (>1)・・・・・・・・・⑥
と置いて、これを解くと④から
C[n]={2Q/(Q²+1)}{rⁿ+rⁿ⁻¹+・・・+r+1/2) = {2Q/(Q²+1)}{r(1-rⁿ)/(1-r)+1/2)
={2Q/(Q²+1)}{rⁿ(1-r⁻ⁿ)/(1-r⁻¹)+1/2} = {2Q/(Q²+1)}rⁿ {(1-r⁻ⁿ)/(1-r⁻¹)+r⁻ⁿ/2}
これを③に入れれば、次のような求める解となる。なお C[n]の rⁿ=exp(nπ/Q)は
{exp(-x/Q)}rⁿ=exp{-(x-nπ)/Q} (nπ≦x≦(n+1)π、n=0,1,2,...) とできて、発散し
ないことに注意。
y={1/(Q²+1)}・{ Q{2(1-r⁻ⁿ)/(1-r⁻¹)+r⁻ⁿ} exp(-(x-nπ)/Q)+(-1)ⁿ(-Qcos x+sin x) }
(nπ≦x≦(n+1)π、n=0,1,2,...) ・・・・・⑦
そして、r⁻ⁿ→0 だから、C[n]→{2Q/(Q²+1)}rⁿ/{1-r⁻¹)}
であり、nが大きくなった定常解は
y={1/(Q²+1)}・{ [2Q/{1-exp(-π/Q)}] exp(-(x-nπ)/Q)+(-1)ⁿ(-Qcos x+sin x) }
(nπ≦x≦(n+1)π、n=0,1,2,...)・・・・・⑧
となるが、x'=x-nπとすると cos x'=(-1)ⁿcos x, sin x'=(-1)ⁿ sin x
となり
y={1/(Q²+1)}・{ [2Q/{1-exp(-π/Q)}] exp(-x'/Q)+(-Qcos x'+sin x') }
(0≦x'≦π、n=0,1,2,...)・・・・・・・⑨
となって、nに依存しない周期関数となる。
この関数の表示は少し面倒なので、解析解を接続したものと Maximaで
ルング・ケッタ法で解いた図を載せる。
３．検討
定常解⑨の平均値は
Ya=(1/π)∫[0→π]ydx'=(1/π){1/(Q²+1)}(2Q²+2)=2/π=0.637
となる。しかし、p-p値、つまりリップルの計算がうまくできない。
そこで、|sin x|≒(2/π)(1-(2/3)cos(2x)) とフーリエ変換の近似値で倍周波数のp-pを求
めてみる。つまり、直流分を除き
Qdy/dx+y=-(4/3π)cos(2x)
の特殊解（定常解）を求める。すると簡単に
y=-(4/3π)/(1+(2Q)²){cos(2x)+2Qsin(2x)}
と求まる。したがって、yの振幅は
{(4/3π)/(1+(2Q)²)}√(1+(2Q)²)=(4/3π)/√(1+(2Q)²)
となる。p-pはその２倍
ypp=(8/3π)/√(1+(2Q)²)
となる。これと⑨の定常解を図示して読んだ値と比較すると
Q=0.1 → 0.93(⑨の図から) , ypp=0.83（近似計算）
Q=1 → 0.38(⑨の図から) , ypp=0.38（近似計算）
Q=10 → 0.042(⑨の図から) , ypp=0.042（近似計算）
となり、大体一致している。
以上
１. まえがき
あるサイトに、「２００オームの抵抗を複数使い、３４０Ωを作るとき、最小の本数と構成を求
めよ」とあった。何も考えないと当てもなくカットアンドトライで求めるしかないが、連分数を
使うとある程度の指針と少ない試行回数で構成を求める手順が得られる。最大の長所は求める抵
抗値の合計が変わらず、構成だけ考えればよいことである。
ただし、最小の本数とか他の構成はないかなどは不明である。
２. 説明
まず、基本抵抗200ΩをRとする。すると340Ωは1.7Rである。これを連分数展開してみる。分子を
n+m の形に分解する。まず、n=1からみる。
以上
あるサイトに、「２００オームの抵抗を複数使い、３４０Ωを作るとき、最小の本数と構成を求
めよ」とあった。何も考えないと当てもなくカットアンドトライで求めるしかないが、連分数を
使うとある程度の指針と少ない試行回数で構成を求める手順が得られる。最大の長所は求める抵
抗値の合計が変わらず、構成だけ考えればよいことである。
ただし、最小の本数とか他の構成はないかなどは不明である。
２. 説明
まず、基本抵抗200ΩをRとする。すると340Ωは1.7Rである。これを連分数展開してみる。分子を
n+m の形に分解する。まず、n=1からみる。
以上