あるサイトに、「a[n]＞0のとき、級数 Σa[n]/(1+a[n]) が収束すれば、Σa[n] は収束する」ことが
載っていた。この証明が面白いのと、明らかに
●級数 Σa[n]/(1+a[n]) が収束すれば、Σa[n] は収束する。
級数 Σa[n]/(1+a[n]) が収束すれば、よく知られたように a[n]/(1+a[n])→0である。
つまり、任意のε＞0に対し、ある自然数Nが存在して、n≧Nならば
a[n]/(1+a[n])＜ε ここで、ε=1/2 と置くと a[n]＜1
となるから
a[n] ＜ 2a[n]/(1+a[n])
すなわち、
Σ[n=N,∞] a[n] ＜ 2Σ[n=N,∞] a[n]/(1+a[n]) ＜ 2Σ[n=1,∞] a[n]/(1+a[n])
となり、右辺が収束するから左辺は収束する。
つまり、Σ[n=1,N-1] a[n] も有限だから、Σ[n=1,∞] a[n] は収束する。
なお、
a[n]/(1+a[n])＜a[n]
だから、これらの級数の収束性は同等であることがわかる。
● a[n]＞0,a[n]≠0のとき、Σa[n]/(1-a[n]) が収束とΣa[n]の収束は同値。
Σa[n]が収束すれば、a[n]→0だから、ある正の整数Nが存在して、n＞Nならば a[n]＜1/2。
つまり、a[n]/(1-a[n])＜2a[n]となるから、Σa[n]/(1-a[n])は収束する。
逆に、Σa[n]/(1-a[n])は収束すれば、a[n]/(1-a[n])={1/(1-a[n])} -1 → 0。つまり、
a[n]→0となる。すると、同様にn＞Nに対して、0＜a[n]＜1とできる。つまり、
0＜1-a[n]＜1となり、a[n]a[n]/(1-a[n]) となるから、Σa[n]は収束する。
以上
あるサイトで、ベクトルAとdA/dtが平行の時、Aの方向は時間tによらず一定となる。
ことが載っていた。自明のことのように思ったが、証明には工夫がいった。
ベクトルAの大きさをA、その単位ベクトルを e 、微分を「'」とする。
A=Ae
A'=A'e+Ae'
AとA' は平行だから
0=A×A'=AA' e×e + A² e×e'=A² e×e'
つまり、A²≠0のとき
e×e'=0
また、e は単位ベクトルだから、e・e=1 を微分して
e'・e=0
つぎに
0=e×(e×e')=(e・e')e-(e・e)e'=-e'
つまり、
e=定ベクトル
となる。
ことが載っていた。自明のことのように思ったが、証明には工夫がいった。
ベクトルAの大きさをA、その単位ベクトルを e 、微分を「'」とする。
A=Ae
A'=A'e+Ae'
AとA' は平行だから
0=A×A'=AA' e×e + A² e×e'=A² e×e'
つまり、A²≠0のとき
e×e'=0
また、e は単位ベクトルだから、e・e=1 を微分して
e'・e=0
つぎに
0=e×(e×e')=(e・e')e-(e・e)e'=-e'
つまり、
e=定ベクトル
となる。
１．まえがき
あるサイトに平均値定理
f(a+h)=f(a)+hf'(a+θh) (0＜θ＜1) ・・・・・・・・・・・①
において、h→0としたとき。f''が連続で、f''(a)≠0ならば、θ→1/2 であることが示されていた。
その概略は f(a+h)とf’(a+θh)に平均値の定理を使って展開すると(0＜θ,θ₂＜1として)
f(a+h)=f(a)+hf'(a+θh)= f(a)+h(f'(a)+ θ h f''(a+θθ₂ h)) ・・・②
f(a+h)をテイラー展開して
f(a+h)=f(a)+hf'(a)+(h²/2)f''(a+θ₀ h) (0＜θ₀＜1) ・・・・・・③
となる。➁③から h≠0 として
θ=(1/2) f''(a+θ₀h)/ f''(a+θθ₂h)
となり、θ→1/2(h→0)となることがわかる。
２．一般化
上の命題で f''(a)=0 の場合を一般化は手以下の命題を証明する。
［命題］ n≧2、f^(n)(x) を連続で、f^(n)(a)≠0 かつ、f^(i)(a)=0(2≦i≦n-1)とする。
このとき、①において、
θ→(1/n)^(1/(n-1)) (h→0)
となる。
［証明］まず、f(a+h)をn次まで、テイラー展開すると
f(a+h)=f(a)+hf'(a)+(h²/2!)f⁽²⁾(a)+…+(hⁿ/n!)f⁽ⁿ⁾(a+θ₁h)
=f(a)+hf'(a)+(hⁿ/n!)f⁽ⁿ⁾(a+θ₁h)
となる。つぎに、f'(a+θh)を(n-1)次まで、テイラー展開すると
f’(a+θh)=f’(a)+θhf⁽²⁾(a)+((θh)²/2!)f⁽³⁾(a)+…+((θh)ⁿ⁻¹/(n-1)!)f⁽ⁿ⁾(a+θ₂θh)
=f’(a)+((θh)ⁿ⁻¹/(n-1)!)f⁽ⁿ⁾(a+θ₂θh)
となる。
この両式を①に代入してまとめると
(hⁿ/n!)f⁽ⁿ⁾(a+θ₁h)= ((θⁿ⁻¹hⁿ)/(n-1)!)f⁽ⁿ⁾(a+θ₂θh)
θ=(1/n)^(1/(n-1)) (f⁽ⁿ⁾(a+θ₁h)/ f⁽ⁿ⁾(a+θ₂θh))^(1/(n-1))
これにより、h→0のとき、結論を得る。
３．例
・f(x)=xまたは定数のときθは不定。（f⁽²⁾=f⁽³⁾=・・・=0 のため、ここの結論は使用不可）
・f(x)=x² のとき、θ=1/2。
・f(x)=xⁿ (n≧3)のとき、上に述べたように、x≠0でθ→1/2。x=0でθ=(1/n)^(1/(n-1))
・f(x)=sin(x)のとき、f''(x)=-sin(x)だからx≠mπ(m=0,±1,…)でθ→1/2。
x=mπ(m=0,±1,…)のとき、f⁽³⁾(x)=-cos(x) で f⁽³⁾(mπ)≠0だから、θ→1/√3。
以上
立体角については基本的な事項が証明されておらず、説明だけで終わっていたような気がする。
このためか、電磁気学で説明があってもなじめず、必須というわけでもないのでそのままになっ
ていた。
最近、形態係数の計算をしていたら、立体角について疑問が出てきた。それは「立体角の値は錐
体の中の任意の表面で、同一でなければ意味がない」である。
幾つかのサイトでも説明程度で、比較的数式を使っているのは「物理のかぎしっぽ」である。
この点を説明する。立体角wの定義は
w=∫(r・n/r³)dS ・・・・・・・(1)
である。rは始点Oからの位置ベクトル、rはその大きさ、nは積分面の単位法ベクトルである。
まず、立体角として意味を持つには図のように、頂点をOとする錐体に含まれる任意の面１，２
について積分(1)が同じことが必要である。このため、錐体の側面を３として、面１，２，３の
閉曲面で(1)の積分を考える。
この積分は始点Oが閉曲面の外部にあるから、ガウスの定理により、０となる（ベクトル解析の
本に載っている）。
面３の錐体の面はrそのものだからr・n₃=0となって面３の積分は０となる。また、面２は単一面
としたときと閉曲面としたときの単位法ベクトルは n=-n₂となるから
0=∫₁₊₂₊₃(r・n/r³)dS = ∫₁(r・n/r³)dS+∫₂(r・n/r³)dS+0
=∫₁(r・n₁/r³)dS-∫₂(r・n₂/r³)dS
ゆえに
∫₁(r・n₁/r³)dS=∫₂(r・n₂/r³)dS
となって目的の結果が得られる。
以上