無限ラダー回路の抵抗値の厳密解法

１．まえがき

　下図のようなラダー回路の合成抵抗値を求める問題がある。ノードが無限にあるとし
　たときの合成抵抗Rはどのノードから見ても抵抗値が同じという論理から
　　　　　R=R_a+R_b+1/(1/R_c+1/R)　すなわち　R=( R_a+R_b+√{(Ra+R_b)²+4R_c(R_a+R_b)} )/2
　から求められる。計算しても、物理的な意味からも　R_a+R_b≦R≦R_a+R_b+R_c とわかる。

　ここで、R_a,R_b,R_c≧0、R_a+R_b+R_c>0 とする。これを数列により厳密に求めてみよう。


２．厳密解

　計算の前に、R_aとR_bを１つの抵抗としても、計算は変わらないので、以下では R_b=0
　とする。n番目のノードで切断した時、左方向の合成抵抗値をR_nとする。初期値を
　　　　R₁=R_a+R_c 
　とすると
　　　　R_n+1=R_a+R_cR_n/(R_c+R_n)
　となる。R_aとR_bが同時に0でないとする（同時に0なら、R_n=0というつまらない場合に
　なる）。 帰納法と上式により、R₁>0 だから R_n>0となる。つぎに
　　　　R₂-R₁=R_a+R_cR₁/(R_c+R₁)-(R_a+R_c)=-R_c²/(R_c+R₁)≦0
　　　　R_n+1-R_n=R_cR_n/(R_c+R_n)-R_cR_n-1/(R_c+R_n-1)
　　　　　　　  =R_c²(R_n-R_n-1)/{ (R_n+R_c(R_n-1+R_c)}
　だから、帰納法により
　　　　R_n+1-R_n≦0
　を得る。すなわち、数列 R_n>0は単調減少数列で下に有界だから、収束する。したがっ
　て R_n→R, R_n+1→R　として漸化式に代入することができ
　　　　R=R_a+R_cR/(R_c+R)
　すなわち
　　　　R=( R_a+√(R_a²+4R_cR_a) )/2
　を得る。R<0となる解は除いてある。

３．初期値による検討

　簡易型の議論では数列の初期値があいまいである。上の計算でも初期値 R₁により、数
　列は単調増加か単調減少になる。

　数列の初期値R₁によって、単調増加となる場合、R_nは発散すると思ったが、この場合
　も収束した。まず、数列 R_nが単調増加か減少かの条件は、
　　　　R₂-R₁=R_a+R_cR₁/(R_c+R₁)-R₁=R_a-R₁²/(R_c+R₁)
　であるから　R₂-R₁≦0 であるためには、上式の右辺を計算すると、初期値R₁は
　　　　R₁≧( R_a+√(R_a²+4R_cR_a) )/2
　となることが必要である。すなわち、このときR_nは単調減少数列となる。反対に、
　　　　R₁≦( R_a+√(R_a²+4R_cRa) )/2
　のとき、R_nは単調増加数列となる。ところが、このとき、
　　　　R_n+1=R_a+1/( (1/R_c)+(1/R_n) )≦R_a+1/(1/R_c)= R_a+R_c

　すなわち、R_nは上に有界である。ゆえに、R_nは収束する。

以上