今回はＬＴ Ｓｐｉｃｅを使ってバタワースフィルタの次数別（Ｑ値別）の振幅（ゲイン）、矩形波応答、群遅延特性について調べてみます。
尚、使用した伝達関数は、以下から引用。８/２ ■８）■９）追記 ８/７ 赤字追加、縦軸ｄｂのTgのグラフを■３）■６）に追加。
https://cc.cqpub.co.jp/system/contents/2067/
■１）バタワースフィルタの次数別の振幅（ゲイン） 偶数次数
ＬＴ Ｓｐｉｃｅは回路で出すのではなく、伝達関数でフィルタを表わしました。回路で解析するよりより一般的に解析できます。カットオフは６０４のＬＦのＬＰＦで使っている１．８ＫＨｚです。点線は位相です。
２次は黄緑線、４次は紺色線、６次は赤線、８次は水色線です。
スロープは２次はー１２ｄｂ/Ｏｃｔ、４次は－２４ｄｂ/Ｏｃｔ、６次は－３６ｄｂ/Ｏｃｔ、８次はー４８ｄｂ/Ｏｃｔです。バターワースフィルタのメリットである所望する減衰特性が選べます。
■２）バタワースフィルタの次数別の矩形波応答 偶数次数
これは、
ゲインと同様、２次は黄緑線、４次は紺色線、６次は赤線、８次は水色線です。
２次でもオーバーシュートがありますが、次数が上がるに従ってオーバーシュートが大きくなっています。
■３）バタワースフィルタの次数別の群遅延（Ｔｇ）特性 偶数次数
これは、
ゲインと同様、２次は黄緑線、４次は紺色線、６次は赤線、８次は水色線です。１０Ｈｚ切片では２次は１２５μｓ、４次は２３０μｓ、６次は３４２μｓ、８次は４５２μｓです。
２次ではカットオフ（１．８ＫＨｚ）附近のピークは小さいですが次数が上がるに従ってピークが大きくなっていきます。高次になると時間的波形が大きく歪むことを示しています。
群遅延時間（Ｔｇとします）も次数と共に上がっていきます。一定値である限り値自体が大きくなることは波形を保つには関係ないですがピークについては位相歪の原因になるので避けたいです。
因みに以下のように縦軸ｄｂの場合スロープは次数によらず～ー１２ｄｂ/Ｏｃｔとなります。
■４）バタワースフィルタの次数別の振幅（ゲイン） 奇数次数
これは
１次は黄緑線、３次は紺色線、５次は赤線、７次は水色線です。
スロープは１次はー６ｄｂ/Ｏｃｔ、３次は－１８ｄｂ/Ｏｃｔ、５次は－３０ｄｂ/Ｏｃｔ、７次はー４２ｄｂ/Ｏｃｔです。バターワースフィルタのメリットである所望する減衰特性が選べます。
■５）バタワースフィルタの次数別の矩形波応答 奇数次数
これは
１次は黄緑線、３次は紺色線、５次は赤線、７次は水色線です。
傾向は■３）の偶数次数のものと全く同じで、１次のみオーバーシュートが無いですが、次数が３から上がるに従ってオーバーシュートが大きくなっています。
■６）バタワースフィルタの次数別の群遅延（Ｔｇ）特性 奇数次数
これは
１次は黄緑線、３次は紺色線、５次は赤線、７次は水色線です。１０Ｈｚ切片では１次は８８μｓ、３次は１８０μｓ、５次は２８８μｓ、７次は３９８μｓです。
傾向は偶数次数の場合とほぼ同じ。違っているのは、１次でカットオフ附近に近づくとピークはなく単調に下がっていきます。
群遅延時間が一定ということを位相歪的に最重要視したいという観点では、１次と２次の間が最も群遅延時間がコンスタントになっていると考えます。
従って最適値は、１次と２次の間と言うことです。
因みに以下のように縦軸ｄｂの場合スロープは次数によらず～ー１２ｄｂ/Ｏｃｔとなります。
■７）バタワースフィルタの次数別の群遅延（Ｔｇ）特性のグラフ
これは、以下。３次以降のＱ値については最終段のものを使用した。
上が次数別のＴｇで、下はＱ値を横軸にしたＴｇです。
両方、ほぼリニアーに上がっていくことが判りました。最適値が１次（Ｑ＝～０．５）と２次（Ｑ＝０．７０７）の中間ということで考えると、位相歪（時間的波形が歪まない）を最重要視したＱ値の最適解は０．６附近と考えられます。
尚、人間の聴覚が、どれくらいの群遅延時間を検知出来るかについてはCCIR 1974年勧告を参照すれば、概ね遅延時間の最小値との差が８ｍｓ以下であれば高品質信号伝送線の満たすべき条件を満たすと言うことなので８次でもそこまでは行かないが、位相歪の観点では高次は良くない。位相歪みは定位に影響すると言われています。
■８）バタワースフィルタの次数別のパルス応答 偶数次数
これは以下。入力パルスは、１Vピークで立上り３５μｓ、保持２μｓ、立下り３５μｓです。これはWGのパルスを想定。
２次は黄緑線、４次は紺色線、６次は赤線、８次は水色線です。
７/２８にアップした 大川電子設計製作さんのＨＰからのパルス応答と同じようなデータと思います。
アンダーシュートが全て出ており次数順に大きくなっていきますが、これは群遅延が一定でないからです。
■９）バタワースフィルタの次数別のパルス応答 奇数次数
これは、以下。
黄緑色の１次では群遅延の周波数特性でピークが生じないことを反映しアンダーシュートのない応答ですが、３次の紺色線ではアンダーシュートが出ています。３次以降、５次赤線、７次水色線とアンダーシュートが順に大きくなっていきますが、これは群遅延のピークが大きくなっていくからです。
尚、使用した伝達関数は、以下から引用。８/２ ■８）■９）追記 ８/７ 赤字追加、縦軸ｄｂのTgのグラフを■３）■６）に追加。
https://cc.cqpub.co.jp/system/contents/2067/
■１）バタワースフィルタの次数別の振幅（ゲイン） 偶数次数
ＬＴ Ｓｐｉｃｅは回路で出すのではなく、伝達関数でフィルタを表わしました。回路で解析するよりより一般的に解析できます。カットオフは６０４のＬＦのＬＰＦで使っている１．８ＫＨｚです。点線は位相です。
２次は黄緑線、４次は紺色線、６次は赤線、８次は水色線です。
スロープは２次はー１２ｄｂ/Ｏｃｔ、４次は－２４ｄｂ/Ｏｃｔ、６次は－３６ｄｂ/Ｏｃｔ、８次はー４８ｄｂ/Ｏｃｔです。バターワースフィルタのメリットである所望する減衰特性が選べます。
■２）バタワースフィルタの次数別の矩形波応答 偶数次数
これは、
ゲインと同様、２次は黄緑線、４次は紺色線、６次は赤線、８次は水色線です。
２次でもオーバーシュートがありますが、次数が上がるに従ってオーバーシュートが大きくなっています。
■３）バタワースフィルタの次数別の群遅延（Ｔｇ）特性 偶数次数
これは、
ゲインと同様、２次は黄緑線、４次は紺色線、６次は赤線、８次は水色線です。１０Ｈｚ切片では２次は１２５μｓ、４次は２３０μｓ、６次は３４２μｓ、８次は４５２μｓです。
２次ではカットオフ（１．８ＫＨｚ）附近のピークは小さいですが次数が上がるに従ってピークが大きくなっていきます。高次になると時間的波形が大きく歪むことを示しています。
群遅延時間（Ｔｇとします）も次数と共に上がっていきます。一定値である限り値自体が大きくなることは波形を保つには関係ないですがピークについては位相歪の原因になるので避けたいです。
因みに以下のように縦軸ｄｂの場合スロープは次数によらず～ー１２ｄｂ/Ｏｃｔとなります。
■４）バタワースフィルタの次数別の振幅（ゲイン） 奇数次数
これは
１次は黄緑線、３次は紺色線、５次は赤線、７次は水色線です。
スロープは１次はー６ｄｂ/Ｏｃｔ、３次は－１８ｄｂ/Ｏｃｔ、５次は－３０ｄｂ/Ｏｃｔ、７次はー４２ｄｂ/Ｏｃｔです。バターワースフィルタのメリットである所望する減衰特性が選べます。
■５）バタワースフィルタの次数別の矩形波応答 奇数次数
これは
１次は黄緑線、３次は紺色線、５次は赤線、７次は水色線です。
傾向は■３）の偶数次数のものと全く同じで、１次のみオーバーシュートが無いですが、次数が３から上がるに従ってオーバーシュートが大きくなっています。
■６）バタワースフィルタの次数別の群遅延（Ｔｇ）特性 奇数次数
これは
１次は黄緑線、３次は紺色線、５次は赤線、７次は水色線です。１０Ｈｚ切片では１次は８８μｓ、３次は１８０μｓ、５次は２８８μｓ、７次は３９８μｓです。
傾向は偶数次数の場合とほぼ同じ。違っているのは、１次でカットオフ附近に近づくとピークはなく単調に下がっていきます。
群遅延時間が一定ということを位相歪的に最重要視したいという観点では、１次と２次の間が最も群遅延時間がコンスタントになっていると考えます。
従って最適値は、１次と２次の間と言うことです。
因みに以下のように縦軸ｄｂの場合スロープは次数によらず～ー１２ｄｂ/Ｏｃｔとなります。
■７）バタワースフィルタの次数別の群遅延（Ｔｇ）特性のグラフ
これは、以下。３次以降のＱ値については最終段のものを使用した。
上が次数別のＴｇで、下はＱ値を横軸にしたＴｇです。
両方、ほぼリニアーに上がっていくことが判りました。最適値が１次（Ｑ＝～０．５）と２次（Ｑ＝０．７０７）の中間ということで考えると、位相歪（時間的波形が歪まない）を最重要視したＱ値の最適解は０．６附近と考えられます。
尚、人間の聴覚が、どれくらいの群遅延時間を検知出来るかについてはCCIR 1974年勧告を参照すれば、概ね遅延時間の最小値との差が８ｍｓ以下であれば高品質信号伝送線の満たすべき条件を満たすと言うことなので８次でもそこまでは行かないが、位相歪の観点では高次は良くない。位相歪みは定位に影響すると言われています。
■８）バタワースフィルタの次数別のパルス応答 偶数次数
これは以下。入力パルスは、１Vピークで立上り３５μｓ、保持２μｓ、立下り３５μｓです。これはWGのパルスを想定。
２次は黄緑線、４次は紺色線、６次は赤線、８次は水色線です。
７/２８にアップした 大川電子設計製作さんのＨＰからのパルス応答と同じようなデータと思います。
アンダーシュートが全て出ており次数順に大きくなっていきますが、これは群遅延が一定でないからです。
■９）バタワースフィルタの次数別のパルス応答 奇数次数
これは、以下。
黄緑色の１次では群遅延の周波数特性でピークが生じないことを反映しアンダーシュートのない応答ですが、３次の紺色線ではアンダーシュートが出ています。３次以降、５次赤線、７次水色線とアンダーシュートが順に大きくなっていきますが、これは群遅延のピークが大きくなっていくからです。
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