（899）「象の鼻が長い・鼻は象が長い」の「述語論理」。

（01）
日常言語の文から述語計算の文の翻訳のためには、一般にあたまが柔軟であることが必要である。なんら確定的な規則があるわけでなく、量記号に十分に馴れるまでには、練習を積むことが必要である。そこに含まれている仕事は翻訳の仕事に違いないけれども、しかしそこへ翻訳が行われる形式言語は、自然言語のシンタックスとは幾らか違ったシンタックスをもっており、また限られた述語 ― 論理的結合記号、変数、固有名、述語文字、および２つの量記号 ― しかもたない。その言語のおもな長所は、記法上の制限にもかかわらず、非常に広範な表現能力をもっていることである。
（Ｅ.Ｊ.レモン 著、武生治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１３０頁）
然るに、
（02）
①｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝
であれば、
① に於いて、
①｛象の鼻が、長い。｝
従って、
（02）により、
（03）
① 象の鼻が長い。⇔
① 象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くない。⇔
① ∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝⇔
① すべてのｘとあるｙについて｛（ｘが象であって、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く）、（ｘが象ではなく、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない）｝。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（04）
①｛兎の耳、象の耳、馬の耳｝
②｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝
③｛馬の顔、象の顔、兎の顔｝
であれば、
② に於いて、
②｛鼻は、象が長い。｝
従って、
（04）により、
（05）
② 鼻は象が長い。⇔
② 鼻は、象は長く、象以外（兎と馬）で長いのは鼻ではない。⇔
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝⇔
② すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならばｘは長く、ｙが象でなくて、ｘが長ければｘはｙの鼻ではない｝。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（06）
１　　　（１）∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝　Ａ
　２　　（２）∀ｘ∃ｙ（兎ｘ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　（３）　　∃ｙ｛（象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ）＆（～象ａ＆鼻ｙａ→～長ｙ）｝　１ＵＥ
　　４　（４）　　　　　（象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ）＆（～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
　　４　（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ　　　４＆Ｅ
　２　　（６）　　∃ｙ（兎ａ＆～象ａ＆鼻ｙａ）　　　　　　　　　　　　　　　　２ＵＥ
　　　７（７）　　　　　兎ａ＆～象ａ＆鼻ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　７（８）　　　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７＆Ｅ
　　　７（９）　　　　　　　　～象ａ＆鼻ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　７＆Ｅ
　　４７（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　５９ＭＰＰ
　　　７（イ）　　　　　　　　　　　　鼻ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　７＆Ｅ
　　４７（ウ）　　　　　兎ａ＆鼻ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　８イ＆Ｉ
　　４７（エ）　　　　　兎ａ＆鼻ｂａ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　アウ＆Ｉ
　　４７（オ）　　∃ｙ（兎ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　エＥＩ
　２４　（カ）　　∃ｙ（兎ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　６７オＥＥ
１２　　（キ）　　∃ｙ（兎ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　３４カＥＥ
１２　　（ク）∀ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　キＵＩ
従って、
（06）により、
（07）
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ∃ｙ（兎ｘ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　従って、
（ⅲ）∀ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）。
といふ「三段論法（三段論法）」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘとあるｙについて｛（ｘが象であって、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く）、（ｘが象ではなく、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない）｝。然るに、
（ⅱ）すべてのｘとあるｙについて（　ｘは兎であって、象ではなく、ｙはｘの鼻である）。従って、
（ⅲ）すべてのｘとあるｙについて（　ｘは兎であって、ｙはｘの鼻であって、ｙは長くない）。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（07）により、
（08）
（ⅰ）象の鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は象ではないが、兎には鼻が有る。従って、
（ⅲ）兎の鼻は長くない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
然るに、
（09）
１　　　　（１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝　Ａ
１　　　　（２）　　∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆長ａ→～鼻ａｙ）｝　１ＵＥ
　３　　　（３）　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ）　　Ａ（代表的選言項）
　３　　　（４）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ　　　３＆Ｅ
　　５　　（５）∀ｙ｛兎ｙ→～象ｙ＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　５　　（６）　　　兎ｂ→～象ｂ＆∃ｘ（鼻ｘｂ）　　　　　　　　　　　　　　　１ＵＥ
　　　７　（７）　　　兎ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　５７　（８）　　　　　　～象ｂ＆∃ｘ（鼻ｘｂ）　　　　　　　　　　　　　　　６７ＭＰＰ
　　５７　（９）　　　　　　～象ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　８＆Ｅ
　　５７　（ア）　　　　　　　　　　∃ｘ（鼻ｘｂ）　　　　　　　　　　　　　　　８＆Ｅ
　　　　イ（イ）　　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ（代表的選言項）
　　　　イ（ウ）　　　　　　　　　　　～～鼻ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　　イＤＮ
　３　７　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　～（～象ｂ＆　長ａ）　　　　　　４ウＭＴＴ
　３　７　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　～～象ｂ∨～長ａ　　　　　　　エ、ド・モルガンの法則
　３　７　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ｂ→～長ａ　　　　　　　オ含意の定義
　３　７　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ａ　　　　　　　９カＭＰＰ
　３　７イ（ク）　　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ＆～長ａ　　　　　　　　　　　　イキ＆Ｉ
　３　７イ（ケ）　　　　　　　　　　∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ）　　　　　　　　　　　クＥＩ
　３５７　（コ）　　　　　　　　　　∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ）　　　　　　　　　　　アイケＥＥ
１　５７　（サ）　　　　　　　　　　∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ）　　　　　　　　　　　２３コＥＥ
１　５　　（シ）　　　兎ｂ→∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　７サＣＰ
１　５　　（ス）∀ｙ｛兎ｙ→∃ｘ（鼻ｘｙ＆～長ｘ）｝　　　　　　　　　　　　　　シＵＩ
従って、
（09）により、
（10）
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｙ｛兎ｙ→～象ｙ＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｙ｛兎ｙ→∃ｘ（鼻ｘｙ＆～長ｘ）｝。
といふ「三段論法（三段論法）」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならばｘは長く、ｙが象でなくて、ｘが長ければｘはｙの鼻ではない｝。然るに、
（ⅱ）　　　　すべてのｙについて｛ｙが兎であるならば、ｙは象ではなく、あるｘはｙの鼻である｝。従って、
（ⅲ）　　　　すべてのｙについて｛ｙが兎であるならば、あるｘはｙの鼻であって、ｘは長くない｝。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（10）により、
（11）
（ⅰ）鼻は象が長い。然るに、
（ⅱ）兎は象ではないが、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）兎の鼻は、長くない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（01）～（11）により、
（12）
「Flexibility of mind is generally required for translating from ordinary speech into sentences of the predicate calculus. No firm rules can be given, and practice is needed before full familiarity with quantifiers is reached. 」
「日常言語の文から述語計算の文の翻訳のためには、一般にあたまが柔軟であることが必要である。なんら確定的な規則があるわけでなく、量記号に十分に馴れるまでには、練習を積むことが必要である。」
ものの、「その柔軟な頭」によって、
① 象の鼻が長い≡∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝。
② 鼻は象が長い≡∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（06）（09）（12）により、
（13）
「日常言語の文から述語計算の文の翻訳のためには、一般にあたまが柔軟であることが必要である。」
としても、
（ⅰ）
１　　　（１）∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝　Ａ
　２　　（２）∀ｘ∃ｙ（兎ｘ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　（３）　　∃ｙ｛（象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ）＆（～象ａ＆鼻ｙａ→～長ｙ）｝　１ＵＥ
　　４　（４）　　　　　（象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ）＆（～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
　　４　（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ　　　４＆Ｅ
　２　　（６）　　∃ｙ（兎ａ＆～象ａ＆鼻ｙａ）　　　　　　　　　　　　　　　　２ＵＥ
　　　７（７）　　　　　兎ａ＆～象ａ＆鼻ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　７（８）　　　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７＆Ｅ
　　　７（９）　　　　　　　　～象ａ＆鼻ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　７＆Ｅ
　　４７（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　５９ＭＰＰ
　　　７（イ）　　　　　　　　　　　　鼻ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　７＆Ｅ
　　４７（ウ）　　　　　兎ａ＆鼻ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　８イ＆Ｉ
　　４７（エ）　　　　　兎ａ＆鼻ｂａ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　アウ＆Ｉ
　　４７（オ）　　∃ｙ（兎ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　エＥＩ
　２４　（カ）　　∃ｙ（兎ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　６７オＥＥ
１２　　（キ）　　∃ｙ（兎ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　３４カＥＥ
１２　　（ク）∀ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　キＵＩ
（ⅱ）
１　　　　（１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝　Ａ
１　　　　（２）　　∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆長ａ→～鼻ａｙ）｝　１ＵＥ
　３　　　（３）　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ）　　Ａ（代表的選言項）
　３　　　（４）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ　　　３＆Ｅ
　　５　　（５）∀ｙ｛兎ｙ→～象ｙ＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　５　　（６）　　　兎ｂ→～象ｂ＆∃ｘ（鼻ｘｂ）　　　　　　　　　　　　　　　１ＵＥ
　　　７　（７）　　　兎ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　５７　（８）　　　　　　～象ｂ＆∃ｘ（鼻ｘｂ）　　　　　　　　　　　　　　　６７ＭＰＰ
　　５７　（９）　　　　　　～象ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　８＆Ｅ
　　５７　（ア）　　　　　　　　　　∃ｘ（鼻ｘｂ）　　　　　　　　　　　　　　　８＆Ｅ
　　　　イ（イ）　　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ（代表的選言項）
　　　　イ（ウ）　　　　　　　　　　　～～鼻ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　　イＤＮ
　３　７　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　～（～象ｂ＆　長ａ）　　　　　　４ウＭＴＴ
　３　７　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　～～象ｂ∨～長ａ　　　　　　　エ、ド・モルガンの法則
　３　７　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ｂ→～長ａ　　　　　　　オ含意の定義
　３　７　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ａ　　　　　　　９カＭＰＰ
　３　７イ（ク）　　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ＆～長ａ　　　　　　　　　　　　イキ＆Ｉ
　３　７イ（ケ）　　　　　　　　　　∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ）　　　　　　　　　　　クＥＩ
　３５７　（コ）　　　　　　　　　　∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ）　　　　　　　　　　　アイケＥＥ
１　５７　（サ）　　　　　　　　　　∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ）　　　　　　　　　　　２３コＥＥ
１　５　　（シ）　　　兎ｂ→∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　７サＣＰ
１　５　　（ス）∀ｙ｛兎ｙ→∃ｘ（鼻ｘｙ＆～長ｘ）｝　　　　　　　　　　　　　　シＵＩ
といふ「述語計算（Predicate calculus）」を行ふこと出来ないのであれば、
① 象の鼻が長い≡∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝。
② 鼻は象が長い≡∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝。
といふ「等式」が、成立するかどうかを、知ることは、出来ない。
従って、
（13）により、
（14）
「日常言語の文から述語計算の文の翻訳のためには、一般にあたまが柔軟であることが必要である。」
としても、その前に、「述語計算（Predicate calculus）」がる出来るようにならなければ、「日常言語の文から述語計算の文の翻訳」をすることは、出来ない。
然るに、
（15）
私が知る限り、「Ｅ.Ｊ.レモン 著、武生治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年」は、「述語計算（Predicate calculus）」を「独習」する上での、「最良の教科書」である。
（16）
「Ｅ.Ｊ.レモン 著、武生治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年（の特に、１６７頁）」に出会うことが無ければ、
③ 象は鼻が長い。⇔
③ 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
といふ「等式」も、書けなかった、はずである。