（1063）「少なくとも１個」について。

（01）
【高校　数学Ａ】　確率１０　余事象２ （１２分）
［練習］赤玉３個、白玉２個、黄玉４個が入った袋から３個の玉を同時にとりだすとき、少なくとも１個は赤玉が含まれる確率を求めよ。
（02）
（ⅰ）
１　　　　　（１）　　　Ｒａ∨　Ｒｂ∨　Ｒｃ　　Ａ
　２　　　　（２）　　～Ｒａ＆～Ｒｂ＆～Ｒｃ　　Ａ
１　　　　　（３）　　（Ｒａ∨Ｒｂ）∨　Ｒｃ　　１結合法則
　　４　　　（４）　　（Ｒａ∨Ｒｂ）　　　　　　Ａ
　　　５　　（５）　　　Ｒａ　　　　　　　　　　Ａ
　２　　　　（６）　　～Ｒａ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　５　　（７）　　　Ｒａ＆～Ｒａ　　　　　　４５＆Ｉ
　　　５　　（８）～（～Ｒａ＆～Ｒｂ＆～Ｒｃ）　２７ＲＡＡ
　　　　９　（９）　　　　　　　Ｒｂ　　　　　　Ａ
　２　　　　（ア）　　　　　　～Ｒｂ　　　　　　２＆Ｅ
　２　　９　（イ）　　　　　　　Ｒｂ＆～Ｒｂ　　９ア＆Ｉ
　　　　９　（ウ）～（～Ｒａ＆～Ｒｂ＆～Ｒｃ）　２イＲＡＡ
　　４　　　（エ）～（～Ｒａ＆～Ｒｂ＆～Ｒｃ）　４５８９ウ∨Ｅ
　　　　　オ（オ）　　　　　　　　　　　Ｒｃ　　Ａ
　２　　　　（カ）　　　　　　　　　　～Ｒｃ　　２＆Ｅ
　２　　　オ（キ）　　　　　　　Ｒｃ＆～Ｒｃ　　オカ＆Ｉ
　　　　　オ（ク）～（～Ｒａ＆～Ｒｂ＆～Ｒｃ）　２キＲＡＡ
１　　　　　（ケ）～（～Ｒａ＆～Ｒｂ＆～Ｒｃ）　３４エオク∨Ｅ
（ⅱ）
１　　　　（１）～（～Ｒａ＆～Ｒｂ＆～Ｒｃ）　　Ａ
　２　　　（２）～（　Ｒａ∨　Ｒｂ∨　Ｒｃ）　　Ａ
　　３　　（３）　　　Ｒａ　　　　　　　　　　　Ａ
　　３　　（４）　　　Ｒａ∨　Ｒｂ　　　　　　　３∨Ｉ
　　３　　（５）　　　Ｒａ∨　Ｒｂ∨　Ｒｃ　　　４∨Ｉ
　２３　　（６）～（　Ｒａ∨　Ｒｂ∨　Ｒｃ）＆
　　　　　　　　　（　Ｒａ∨　Ｒｂ∨　Ｒｃ）　　２５＆Ｉ
　２　　　（７）　　～Ｒａ　　　　　　　　　　　３６ＲＡＡ
　　　８　（８）　　　　　　　Ｒｂ　　　　　　　Ａ
　　　８　（９）　　　Ｒａ∨　Ｒｂ　　　　　　　８∨Ｉ
　　　８　（ア）　　　Ｒａ∨　Ｒｂ∨　Ｒｃ　　　９∨Ｉ
　２　８　（イ）～（　Ｒａ∨　Ｒｂ∨　Ｒｃ）＆
　　　　　　　　　（　Ｒａ∨　Ｒｂ∨　Ｒｃ）　　２８＆Ｉ
　２　　　（ウ）　　　　　　～Ｒｂ　　　　　　　８イＲＡＡ
　　　　エ（エ）　　　　　　　　　　　Ｒｃ　　　Ａ
　　　　エ（オ）　　　　　　　Ｒｃ∨　Ｒｃ　　　エ∨Ｉ
　　　　エ（カ）　　　Ｒａ∨　Ｒｃ∨　Ｒｃ　　　オ∨Ｉ
　２　　エ（キ）～（　Ｒａ∨　Ｒｂ∨　Ｒｃ）＆
　　　　　　　　　（　Ｒａ∨　Ｒｂ∨　Ｒｃ）　　２カ＆Ｉ
　２　　　（ク）　　　　　　　　　　～Ｒｃ　　　エキＲＡＡ
　２　　　（ケ）　　～Ｒａ＆～Ｒｂ　　　　　　　７ウ＆Ｉ
　２　　　（コ）　　～Ｒａ＆～Ｒｂ＆～Ｒｃ　　　クケ＆Ｉ
１２　　　（サ）～（～Ｒａ＆～Ｒｂ＆～Ｒｃ）＆
　　　　　　　　　（～Ｒａ＆～Ｒｂ＆～Ｒｃ）　　１コ＆Ｉ
１　　　　（シ）～～（Ｒａ∨　Ｒｂ∨　Ｒｃ）　　２サＲＡＡ
１　　　　（ス）　　（Ｒａ∨　Ｒｂ∨　Ｒｃ）　　シＤＮ
従って、
（02）により、
（03）
① 　　　Ｒａ∨　Ｒｂ∨　Ｒｃ
② ～（～Ｒａ＆～Ｒｂ＆～Ｒｃ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（03）により、
（04）
Ｒ＝赤い。
であるとして、
① ａは赤いか、または、ｂは赤いか、または、ｃは赤い。
②（ａが赤くなく、その上、ｂも赤くなく、ｃも赤くない）といふことは無い。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
｛すべてのｘ｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
とすると、
① ａは赤いか、または、ｂは赤いか、または、ｃは赤い。
②（すべてのｘが、赤くない）といふことは無い。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（06）
① ａは赤いか、または、ｂは赤いか、または、ｃは赤い。
②（すべてのｘが、赤くない）といふことは無い。
に於いて、
①＝② である。
といふことは、
① 少なくとも、１つ以上のｘは赤い。
②（すべてのｘが、赤くない）といふことは無い。
に於いて、
①＝② である。
といふことである。
然るに、
（07）
① 少なくとも、１つ以上のｘは赤い。
②（すべてのｘが、赤くない）といふことは無い。
に於いて、
①＝② である。
といふことは、
① あるｘは赤い。
②（すべてのｘが、赤くない）といふことは無い。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（08）
（ⅰ）
１　　（１）　∃ｘ（　Ｒｘ）　Ａ
　２　（２）　∀ｘ（～Ｒｘ）　Ａ
　　３（３）　　　　　Ｒａ　　Ａ
　２　（４）　　　　～Ｒａ　　２ＵＥ
　２３（５）　Ｒａ＆～Ｒａ　　３４＆Ｉ
　　３（６）～∀ｘ（～Ｒｘ）　２５ＲＡＡ
１　　（７）～∀ｘ（～Ｒｘ）　１３６ＥＥ
１２　（８）　∀ｘ（～Ｒｘ）＆
　　　　　　～∀ｘ（～Ｒｘ）　２７＆Ｉ
１　　（９）～∀ｘ（～Ｒｘ）　２８ＲＡＡ
（ⅱ）
１　　（１）　～∀ｘ（～Ｒｘ）　　Ａ
　２　（２）　～∃ｘ（　Ｒｘ）　　Ａ
　　３（３）　　　　　　Ｒａ　　　Ａ
　　３（４）　　∃ｘ（　Ｒｘ）　　３ＥＩ
　２３（５）　～∃ｘ（　Ｒｘ）＆
　　　　　　　　∃ｘ（　Ｒｘ）　　２４＆Ｉ
　２　（６）　　　　　～Ｒａ　　　３ＲＡＡ
　２　（７）　　∀ｘ（～Ｒｘ）　　６ＵＩ
１２　（８）　～∀ｘ（～Ｒｘ）＆
　　　　　　　　∀ｘ（～Ｒｘ）　　１７＆Ｉ
１　　（９）～～∃ｘ（　Ｒｘ）　　２８ＲＡＡ
１　　（ア）　　∃ｘ（　Ｒｘ）　　９ＤＮ
従って、
（08）により、
（09）
① 　∃ｘ（　Ｒｘ）
② ～∀ｘ（～Ｒｘ）
に於いて、
①＝② である（量化子の関係）。
然るに、
（10）
① 　∃ｘ（　Ｒｘ）
② ～∀ｘ（～Ｒｘ）
といふ「述語論理式」は、
① あるｘは赤い。
②（すべてのｘが、赤くない）といふことは無い。
といふ「意味」である。
従って、
（01）～（10）により、
（11）
① 少なくとも、１つ以上のｘは赤い。
②（すべてのｘが、赤くない）といふことは無い。
に於いて、
①＝② である。
といふことは、「述語論理」として、「正しい」。
然るに、
（12） 

① 少なくとも、１つ以上のｘは赤い。
②（すべてのｘが、赤くない）といふことは無い。
に於いて、
①＝② である。
といふことは、「述語論理」以前に、「常識」として「正しい」。