（601）「命題計算」に於ける「代入」による「ド・モルガンの法則」の「拡張」。

（01）
（ⅰ）
１　　　（１）　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　３ＲＡＡ
　２　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　６ＤＮ
　　　８（８）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　８（９）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　８∨Ｉ
　２　８（ア）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２９＆Ｉ
　２　　（イ）　　　　　～～Ｑ　　　８アＲＡＡ
　２　　（ウ）　　　　　　　Ｑ　　　イＤＮ
　２　　（エ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　７ウ＆Ｉ
１２　　（オ）　　～（Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆　Ｑ）　　１エ＆Ｉ
１　　　（カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ）　　２オＲＡＡ
１　　　（キ）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　カＤＮ
（ⅱ）
１　　　（１）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　（４）　　　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　　　～Ｐ＆　Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２　　（８）　　　　　　　Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
（ⅲ）
１　　（１）～（Ｐ∨　Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　２　（３）　　Ｐ∨　Ｑ　　　２∨Ｉ
１２　（４）～（Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ∨　Ｑ）　　１３＆Ｉ
１　　（５）　～Ｐ　　　　　　２４ＲＡＡ
　　６（６）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　６（７）　　Ｐ∨　Ｑ　　　６∨Ｉ
１　６（８）～（Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ∨　Ｑ）　　１７＆Ｉ
１　　（９）　　　　～Ｑ　　　６＆ＲＡＡ
１　　（ア）　～Ｐ＆～Ｑ　　　５９＆Ｉ
（ⅳ）
１　　　（１）　　～Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　　Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
１　　　（３）　　～Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
　　４　（４）　　　Ｐ　　　　　　Ａ
１　４　（５）　　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　４　（６）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１５ＲＡＡ
１　　　（７）　　　　　～Ｑ　　　１＆Ｅ
　　　８（８）　　　　　　Ｑ　　　Ａ
１　　８（９）　　　～Ｑ＆Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　８（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１９ＲＡＡ
　２　　（イ）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　２４６８ア∨Ｅ
１２　　（ウ）　（～Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１イ＆Ｉ
１　　　（エ）～（　Ｐ∨　Ｑ）　　２ウＲＡＡ
従って、
（01）により、
（02）
① ～（Ｐ＆　Ｑ）
② 　～Ｐ∨～Ｑ
③ ～（Ｐ∨　Ｑ）
④   ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
といふ「等式（ド・モルガンの法則）」は、「命題計算」としても、「正しい」。
然るに、
（02）により、
（03）
① ～（Ｐ＆　Ｑ）
② 　～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、例へば、
Ｑ＝～Ｑ＆Ｒ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① ～｛Ｐ＆　（～Ｑ＆Ｒ）｝
② 　～Ｐ∨～（～Ｑ＆Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
（ⅱ）
１　　　　　（１）～Ｐ∨～（～Ｑ＆　Ｒ）　　Ａ
　２　　　　（２）　　　～（～Ｑ＆　Ｒ）　　Ａ
　　３　　　（３）　　　～（　Ｑ∨～Ｒ）　　Ａ
　　　４　　（４）　　　　　　Ｑ　　　　　　Ａ
　　　４　　（５）　　　　　　Ｑ∨～Ｒ　　　４∨Ｉ
　　３４　　（６）　　　～（　Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　　　　（　Ｑ∨～Ｒ）　　３５＆Ｉ
　　３　　　（７）　　　　　～Ｑ　　　　　　４６ＲＡＡ
　　　　８　（８）　　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
　　　　８　（９）　　　　　　Ｑ∨～Ｒ　　　８∨Ｉ
　　３　８　（ア）　　　～（　Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　　　　（　Ｑ∨～Ｒ）　　３９＆Ｉ
　　３　　　（イ）　　　　　　　～～Ｒ　　　８アＲＡＡ
　　３　　　（ウ）　　　　　　　　　Ｒ　　　イＤＮ
　　３　　　（エ）　　　　　～Ｑ＆　Ｒ　　　７ウ＆Ｉ
　２３　　　（カ）　　　～（～Ｑ＆　Ｒ）＆
　　　　　　　　　　　　　（～Ｑ＆　Ｒ）　　２エ＆Ｉ
　２　　　　（キ）　　～～（　Ｑ∨～Ｒ）　　３カＲＡＡ
　２　　　　（ク）　　　　（　Ｑ∨～Ｒ）　　キＤＮ
　２　　　　（ケ）～Ｐ∨　（　Ｑ∨～Ｒ）　　２ク∨Ｉ
　　　　　コ（コ）～Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　コ（サ）～Ｐ∨　（　Ｑ∨～Ｒ）　　コ∨Ｉ
１　　　　　（シ）～Ｐ∨　（　Ｑ∨～Ｒ）　　１３ケコサ∨Ｅ
（ⅲ）
１　　　　　（１）　～Ｐ∨（　Ｑ∨～Ｒ）　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆（～Ｑ＆　Ｒ）　　Ａ
　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ　
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　　　　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～｛Ｐ＆（～Ｑ＆　Ｒ）｝　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　　Ｑ∨～Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　　～Ｑ＆　Ｒ　　　２＆Ｅ
　　　　９　（９）　　　　　　Ｑ　　　　　　Ａ
　２　　　　（ア）　　　　　～Ｑ　　　　　　８＆Ｅ
　２　　９　（イ）　　　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　９ア＆Ｉ
　　　　９　（ウ）～｛Ｐ＆（～Ｑ＆　Ｒ）｝　２イＲＡＡ
　　　　　エ（エ）　　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（オ）　　　　　　　　　Ｒ　　　８＆Ｅ
　２　　　エ（カ）　　　　　　～Ｒ＆Ｒ　　　エオ＆Ｉ
　　　　　エ（キ）～｛Ｐ＆（～Ｑ＆　Ｒ）｝　２カＲＡＡ
　　　７　　（ク）～｛Ｐ＆（～Ｑ＆　Ｒ）｝　７９ウエキ∨Ｅ
１　　　　　（ケ）～｛Ｐ＆（～Ｑ＆　Ｒ）｝　１３６７ク∨Ｅ
従って、
（03）（04）により、
（05）
① ～｛Ｐ＆　（～Ｑ＆Ｒ）｝
② 　～Ｐ∨～（～Ｑ＆Ｒ）
③ 　～Ｐ∨　（Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（05）により、
（06）
「番号」を付け直すと、
① ～｛Ｐ＆（～Ｑ＆Ｒ）｝
② 　～Ｐ∨（Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（06）により、
（07）
「結合法則」により、
① ～（Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ）
② 　～Ｐ∨　Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（02）により、
（08）
③ ～（Ｐ∨　Ｑ）
④   ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、例へば、
Ｑ＝～Ｑ∨Ｒ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
③ ～｛Ｐ∨　（～Ｑ∨Ｒ）｝
④   ～Ｐ＆～（～Ｑ∨Ｒ）
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（09）
（ⅳ）
１　　（１）～Ｐ＆～（～Ｑ∨　Ｒ）　　Ａ
１　　（２）～Ｐ　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　（３）　　　～（～Ｑ∨　Ｒ）　　１＆Ｅ
　４　（４）　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　４　（５）　　　　　～Ｑ∨　Ｒ　　　４∨Ｉ
１４　（６）　　　～（～Ｑ∨　Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｑ∨　Ｒ）　　３５＆Ｉ
１　　（７）　　　　～～Ｑ　　　　　　４６ＲＡＡ
１　　（８）　　　　　　Ｑ　　　　　　７ＤＮ
　　９（９）　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ
　　９（ア）　　　　　～Ｑ∨　Ｒ　　　９∨Ｉ
１　９（イ）　　　～（～Ｑ∨　Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｑ∨　Ｒ）　　３ア＆Ｉ
１　　（ウ）　　　　　　　　～Ｒ　　　９イＲＡＡ
１　　（エ）　　　　　　Ｑ＆～Ｒ　　　８ウ＆Ｉ
１　　（オ）～Ｐ＆　　　Ｑ＆～Ｒ　　　２エ＆Ｉ
（ⅴ）
１　　　（１）～Ｐ＆　　　Ｑ＆～Ｒ　　　Ａ
１　　　（２）～Ｐ　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　　（３）　　　　　　Ｑ＆～Ｒ　　　１＆Ｅ
　４　　（４）　　　　　～Ｑ∨　Ｒ　　　Ａ
１　　　（５）　　　　　　Ｑ　　　　　　３＆Ｅ
　　６　（６）　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
１　６　（７）　　　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　５６＆Ｉ
　　６　（８）　　　　～（Ｑ＆～Ｒ）　　３７ＲＡＡ
　　　９（９）　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ
１　　　（ア）　　　　　　　　～Ｒ　　　３＆Ｅ
１　　９（イ）　　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　　９ア＆Ｉ
　　　９（ウ）　　　　～（Ｑ＆～Ｒ）　　３イＲＡＡ
　４　　（エ）　　　　～（Ｑ＆～Ｒ）　　４６８９ウ∨Ｅ
１４　　（オ）　　　　　（Ｑ＆～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　　～（Ｑ＆～Ｒ）　　３エ＆Ｉ
１　　　（カ）　　　～（～Ｑ∨　Ｒ）　　４オＲＡＡ
１　　　（キ）～Ｐ＆～（～Ｑ∨　Ｒ）　　２カ＆Ｉ
従って、
（09）により、
（10）
④ ～Ｐ＆～（～Ｑ∨　Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆　　　Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
④＝⑤ である。
従って、
（08）（10）により、
（11）
③ ～｛Ｐ∨　（～Ｑ∨　Ｒ）｝
④   ～Ｐ＆～（～Ｑ∨　Ｒ）
⑤ 　～Ｐ＆　　　Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
③＝④＝⑤ である。
従って、
（11）により、
（12）
「番号」を付け直すと、
③ ～｛Ｐ∨（～Ｑ∨　Ｒ）｝
④ 　～Ｐ＆　　Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（12）により、
（13）
「結合法則」により、
③ ～（Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）
④ 　～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（07）（13）により、
（14）
① ～（Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ）
② 　～Ｐ∨　Ｑ∨～Ｒ）
③ ～（Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）
④ 　～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（14）により、
（15）
① ～（Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ）
② 　～Ｐ∨　Ｑ∨～Ｒ）
③ ～（Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）
④ 　～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① ～（Ｐ＆～～Ｑ＆　Ｒ）
② 　～Ｐ∨　～Ｑ∨～Ｒ）
③ ～（Ｐ∨～～Ｑ∨　Ｒ）
④ 　～Ｐ＆　～Ｑ＆～Ｒ
従って、
（14）（15）により、
（16）
「二重否定（ＤＮ）」により、
① ～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）
② 　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
③ ～（Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）
④ 　～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（02）（16）により、
（17）
① ～（Ｐ＆　Ｑ）
② 　～Ｐ∨～Ｑ
③ ～（Ｐ∨　Ｑ）
④   ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であって、
① ～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）
② 　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
③ ～（Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）
④ 　～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（18）
「以前」に、「別の計算」で「証明」した通り、
① ～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ＆　Ｓ）
② 　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ＆～Ｓ）
③ ～（Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ＆　Ｓ）
④ 　～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ＆～Ｓ）
であっても、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（19）
ここではいろいろな演算（ド・モルガンの法則など）を説明するのに、もっぱら二つの集合についてやったが、これらの性質はすべて任意の有限個の集合について成立するということである。
（川尻信夫、「集合」の話、1972年、６１頁改）
従って、
（18）（19）により、
（20）
「（命題計算の）ド・モルガンの法則」と、「（集合論の）ド・モルガンの法則」は、「（実質的に）同じ」である。
然るに、
（21）
クラスの理論は命題計算よりも難しいものではなく、また以下に見られる通り、それに密接な類似性をもっている。
（E.j.レモン 著、竹尾治一郎・楢英 訳、1973年、２５９頁）
（22）
クラス（集合論)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
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集合論及びその応用としての数学におけるクラスまたは類（るい、英: class）は、集合(または、しばしば別の数学的対象)の集まりで、それに属する全ての元が共通にもつ性質によって紛れなく定義されるものである。「クラス」の正確な定義は、議論の基礎となる文脈に依存する。例えば、ツエルメロ＝フレンケル集合論（ZF）ではクラスは厳密には存在しないが、他の集合論（たとえば、ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論（NBG)）では、「クラス」の概念は公理化されている（NBG の例だと、別の量（entity) の要素にならないような量としてクラスが定義される）。
従って、
（20）（21）（22）により、
（23）
「（命題計算の）ド・モルガンの法則」と、「（クラス理論の）ド・モルガンの法則」は、「（実質的に）同じ」である。
といふことに、なりそうであるが、私には、「集合」と「クラス」が「どう違ふ」のかが、分からない。