（1２4３）「ド・モルガンの法則」としての「量化子の関係」。

（01）
（ⅰ）
１　　　（１）　～（　Ｐ∨　Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　　３∨Ｉ
１　３　（５）　～（　Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（　Ｐ∨　Ｑ）　　１４＆Ｉ
１　　　（６）　　　～Ｐ　　　　　　３５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　７（８）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　　７∨Ｉ
１　　７（９）　～（　Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（　Ｐ∨　Ｑ）　　１８＆Ｉ
１　　　（ア）　　　　　　～Ｑ　　　７９ＲＡＡ
１　　　（イ）　　　～Ｐ＆～Ｑ　　　６ア＆Ｉ
１２　　（ウ）　～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ＆～Ｑ）　　２イ＆Ｉ
１　　　（エ）～～（～Ｐ＆～Ｑ）　　２ウＲＡＡ
１　　　（オ）　　　～Ｐ＆～Ｑ　　　エＤＮ
（ⅱ）
１　　　（１）　　　～Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
１　　　（３）　　　～Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
　　４　（４）　　　　Ｐ　　　　　　Ａ
１　４　（５）　　　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　４　（６）　～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１５ＲＡＡ
１　　　（７）　　　　　　～Ｑ　　　１＆Ｅ
　　　８（８）　　　　　　　Ｑ　　　Ａ
１　　８（９）　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　８（ア）　～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１９ＲＡＡ
　２　　（イ）　～（～Ｐ＆～Ｑ）　　２４６８ア∨Ｅ
１２　　（ウ）　　（～Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１ウ＆Ｉ
１　　　（エ）　　～（Ｐ∨　Ｑ）　　２ウＲＡＡ
従って、
（01）により、
（02）
① ～（Ｐ∨　Ｑ）
②　 ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
①＝② は「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（02）により、
（03）
① ～（Ｐ∨　Ｑ）
②　 ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
Ｐ＝（Ｐ∨Ｑ）
Ｑ＝（Ｒ∨Ｓ）
といふ「代入」を行ふと、
① ～（Ｐ∨Ｑ ∨ Ｒ∨Ｓ）
② ～（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｒ∨Ｓ）
に於いて、
①＝② は「ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（04）
（ⅱ）
１（１）～（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｒ∨Ｓ）　Ａ
１（２）～（Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）～Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　２ド・モルガンの法則
１（４）　　　　　　　～（Ｒ∨Ｓ）　１＆Ｅ
１（５）　　　　　　　～Ｒ＆～Ｓ　　４ド・モルガンの法則
１（６）～Ｐ＆～Ｑ　＆～Ｒ＆～Ｓ　　３５＆Ｉ
（ⅲ）
１（１）～Ｐ＆～Ｑ　＆～Ｒ＆～Ｓ　　Ａ
１（２）～Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）～（Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　　２ド・モルガンの法則
１（４）　　　　　　　～Ｒ＆～Ｓ　　１＆Ｅ
１（５）　　　　　　　～（Ｒ∨Ｓ）　４ド・モルガンの法則
４（６）～（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｒ∨Ｓ）　３５＆Ｉ
従って、
（05）
② ～（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｒ∨Ｓ）
③ ～Ｐ＆～Ｑ　＆～Ｒ＆～Ｓ
に於いて、
②＝③ は「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（03）（05）により、
（06）
① ～（Ｐ∨Ｑ ∨     Ｒ∨Ｓ）
② ～（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｒ∨Ｓ）
③ ～Ｐ＆～Ｑ　＆～Ｒ＆～Ｓ
に於いて、
①＝②＝③ は「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（06）により、
（07）
① ～（Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ∨　Ｓ）
② 　～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ＆～Ｓ
に於いて、
①＝② は「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（08）
① ～（Ｆａ∨　Ｆｂ∨　Ｆｃ∨　Ｆｄ）
②　 ～Ｆａ＆～Ｆｂ＆～Ｆｃ＆～Ｆｄ
に於いて、
①＝② は「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（08）により、
（09）
①（ａがＦであるか、ｂがＦであるか、ｃがＦであるか、ｄがＦである）といふことはない。
②  ａはＦではなく、ｂもＦではなく、ｃもＦではなく、ｄもＦではない。
に於いて、
①＝② は「ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（10）
｛ｘの変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ、ｄ｝
であるとすると、
①（ａがＦであるか、ｂがＦであるか、ｃがＦであるか、ｄがＦである）といふことはない。
②  ａはＦではなく、ｂもＦではなく、ｃもＦではなく、ｄもＦではない。
といふことは、
①（あるｘがＦである）といふことはない。
②  すべてのｘが、Ｆではない。
といふことである。
従って、
（09）（10）により、
（11）
①（あるｘがＦである）といふことはない。
②  すべてのｘが、Ｆではない。
に於いて、
①＝② は「ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（11）により、
（12）
①（あるｘがＦである）といふことはない。
②  すべてのｘが、Ｆではない。
といふ「日本語」は、
① ～∃ｘ（Ｆｘ）
② ∀ｘ（～Ｆｘ）
といふ「述語論理式」に「相当」する。
従って、
（11）（12）により、
（13）
① ～∃ｘ（Ｆｘ）
② ∀ｘ（～Ｆｘ）
に於いて、
①＝② は「ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（14）
① ～∃ｘ（Ｆｘ）
② ∀ｘ（～Ｆｘ）
に於いて、
①＝② は「量化子の関係」である。
従って、
（14）により、
（15）
① ～∃ｘ（Ｆｘ）
② ∀ｘ（～Ｆｘ）
に於いて、
①＝② は「量化子の関係」であって、「ド・モルガンの法則」である。