（01）
１４２ ∃ｘ（Ｆｘ）├ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
２（３） Ｆａ＆Ｆａ ２２＆Ｉ
２（４） ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ） ３ＥＩ
２（５）∃ｘ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ） １２５ＥＥ
（この結果は事実上、強化して相互導出可能にすることができる。）この連式の妥当性から、
ひとつだけの対象がＦを持っているならば、∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）ということが帰結する。
言い換えると、相異なった変数 ｘとｙ を用いる場合に、そのことから、それに対応する
相異なった対象が存在するということは帰結しないのである。性質Ｆをもつ少なくとも２つ
の相異なった対象が存在する、ということを表現するためには、われわれは等号を必要とする。
すなわち、
∃ｘ∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｘ＆Ｆｙ）
― どちらもＦを持つ同一でないｘとｙが存在する。―
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎 浅野楢英雄 訳、1973年、２１０頁）
従って、
（01）により、
（02）
① ∃ｘ∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｘ＆Ｆｙ）
② 性質Ｆをもつ少なくとも２つの相異なった対象が存在する。
③ ２つ以上のＦが存在する。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（02）により、
（03）
④ ～∃ｘ∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｘ＆Ｆｙ）
⑤（２つ以上のＦが存在する）ということはない。
⑥ Ｆは１個であるか、または、Ｆは０個である。
に於いて、
④＝⑤＝⑥ である。
然るに、
（04）
（ⅳ）
１ （１） ～∃ｘ∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｘ＆Ｆｙ） Ａ
１ （２） ∀ｘ～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｘ＆Ｆｙ） １量化子の関係
１ （３） ∀ｘ∀ｙ～（ｘ≠ｙ＆Ｆｘ＆Ｆｙ） ２量化子の関係
１ （４） ∀ｙ～（ａ≠ｙ＆Ｆａ＆Ｆｙ） ３ＵＥ
１ （５） ～（ａ≠ｂ＆Ｆａ＆Ｆｂ） ４ＵＥ
１ （６） ａ＝ｂ∨ ～Ｆａ∨～Ｆｂ ５ド・モルガンの法則
１ （７） ａ＝ｂ∨（～Ｆａ∨～Ｆｂ） ６結合法則
８ （８） ａ＝ｂ Ａ
８ （９） ａ＝ｂ∨（ Ｆａ→～Ｆｂ） ８∨Ｉ
ア （ア） （～Ｆａ∨～Ｆｂ） Ａ
ア （イ） （ Ｆａ→～Ｆｂ） ア含意の定義
ア （ウ） ａ＝ｂ∨（ Ｆａ→～Ｆｂ） イ∨Ｉ
１ （エ） ａ＝ｂ∨（ Ｆａ→～Ｆｂ） １８９アウ
１ （オ） ａ≠ｂ→（ Ｆａ→～Ｆｂ） エ含意の定義
カ（カ） Ｆａ＆ａ≠ｂ Ａ
カ（キ） ａ≠ｂ カ＆Ｅ
１ カ（ク） （ Ｆａ→～Ｆｂ） オキＭＰＰ
カ（ケ） Ｆａ カ＆Ｅ
１ カ（コ） ～Ｆｂ クケＭＰＰ
１ （サ） Ｆａ＆ａ≠ｂ→～Ｆｂ カコＣＰ
１ （シ） ∀ｙ（Ｆａ＆ａ≠ｙ→～Ｆｙ） サＵＩ
１ （ス）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆ｘ≠ｙ→～Ｆｙ） シＥＩ
（ⅴ）
１ （１） ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆ｘ≠ｙ→～Ｆｙ） Ａ
２ （２） ∀ｙ（Ｆａ＆ａ≠ｙ→～Ｆｙ） Ａ
２ （３） Ｆａ＆ａ≠ｂ→～Ｆｂ ２ＵＥ
２ （４） ～（Ｆａ＆ａ≠ｂ）∨～Ｆｂ ３含意の定義
５ （５） ～（Ｆａ＆ａ≠ｂ） Ａ
５ （６） ～Ｆａ∨ａ＝ｂ ５ド・モルガンの法則
５ （７） ～Ｆａ∨ａ＝ｂ∨～Ｆｂ ６∨Ｉ
８（８） ～Ｆｂ Ａ
８（９） ａ＝ｂ∨～Ｆｂ ８∨Ｉ
８（ア） ～Ｆａ∨ａ＝ｂ∨～Ｆｂ ９∨Ｉ
２ （イ） ～Ｆａ∨ａ＝ｂ∨～Ｆｂ ２５７８ア∨Ｅ
２ （ウ） ∀ｙ（～Ｆａ∨ａ＝ｙ∨～Ｆｙ） イＵＩ
２ （エ）∃ｘ∀ｙ（～Ｆｘ∨ｘ＝ｙ∨～Ｆｙ） ウＥＩ
１ （オ）∃ｘ∀ｙ（～Ｆｘ∨ｘ＝ｙ∨～Ｆｙ） １２エＥＥ
従って、
（04）により、
（05）
④ ～∃ｘ∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｘ＆Ｆｙ）
⑤ ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆ｘ≠ｙ→ ～Ｆｙ）
⑥ ∃ｘ∀ｙ（～Ｆｘ∨ｘ＝ｙ∨～Ｆｙ）
に於いて、
④ ならば、⑤ であり、
⑤ ならば、⑥ である。
従って、
（05）により、
（06）
④（２つ以上のＦが存在する）ということはない。
⑤ あるｘとすべてのｙについて、（ｘがＦであって、ｘがｙでないならば、ｙはＦではない）。
⑥ あるｘとすべてのｙについて、（ｘはＦでないか、ｘはｙであるか、ｙはＦでない）。
に於いて、
④ ならば、⑤ であり、
⑤ ならば、⑥ である。
従って、
（06）により、
（07）
④（２つ以上のＦが存在する）ということはない。
⑤ Ｆが存在するならば、１つだけである。
⑥ Ｆは存在しないかも知れない。
に於いて、
④ ならば、⑤ であり、
⑤ ならば、⑥ である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
④ ∃ｘ∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｘ＆Ｆｙ）
⑤ ～∃ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆ｘ≠ｙ→ ～Ｆｙ）
⑥ ～∃ｘ∀ｙ（～Ｆｘ∨ｘ＝ｙ∨～Ｆｙ）
に於いて、すなわち、
④（２つ以上のＦが存在する）。
⑤（Ｆが存在するならば、１つだけである）ということはない。
⑥（Ｆは存在しないかも知れない）ということはない。
に於いて、
④ ならば、⑤ であり、
⑤ ならば、⑥ である。
従って、
（08）により、
（09）
④ ２つ以上のＦが存在する。
⑤ Ｆは存在するし、Ｆが１つだけであるということはない。
に於いて、
④ ならば、⑤ である。
すなわち、
∃ｘ∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｘ＆Ｆｙ）
― どちらもＦを持つ同一でないｘとｙが存在する。―
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎 浅野楢英雄 訳、1973年、２１０頁）
従って、
（01）により、
（02）
① ∃ｘ∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｘ＆Ｆｙ）
② 性質Ｆをもつ少なくとも２つの相異なった対象が存在する。
③ ２つ以上のＦが存在する。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（02）により、
（03）
④ ～∃ｘ∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｘ＆Ｆｙ）
⑤（２つ以上のＦが存在する）ということはない。
⑥ Ｆは１個であるか、または、Ｆは０個である。
に於いて、
④＝⑤＝⑥ である。
然るに、
（04）
（ⅳ）
１ （１） ～∃ｘ∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｘ＆Ｆｙ） Ａ
１ （２） ∀ｘ～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｘ＆Ｆｙ） １量化子の関係
１ （３） ∀ｘ∀ｙ～（ｘ≠ｙ＆Ｆｘ＆Ｆｙ） ２量化子の関係
１ （４） ∀ｙ～（ａ≠ｙ＆Ｆａ＆Ｆｙ） ３ＵＥ
１ （５） ～（ａ≠ｂ＆Ｆａ＆Ｆｂ） ４ＵＥ
１ （６） ａ＝ｂ∨ ～Ｆａ∨～Ｆｂ ５ド・モルガンの法則
１ （７） ａ＝ｂ∨（～Ｆａ∨～Ｆｂ） ６結合法則
８ （８） ａ＝ｂ Ａ
８ （９） ａ＝ｂ∨（ Ｆａ→～Ｆｂ） ８∨Ｉ
ア （ア） （～Ｆａ∨～Ｆｂ） Ａ
ア （イ） （ Ｆａ→～Ｆｂ） ア含意の定義
ア （ウ） ａ＝ｂ∨（ Ｆａ→～Ｆｂ） イ∨Ｉ
１ （エ） ａ＝ｂ∨（ Ｆａ→～Ｆｂ） １８９アウ
１ （オ） ａ≠ｂ→（ Ｆａ→～Ｆｂ） エ含意の定義
カ（カ） Ｆａ＆ａ≠ｂ Ａ
カ（キ） ａ≠ｂ カ＆Ｅ
１ カ（ク） （ Ｆａ→～Ｆｂ） オキＭＰＰ
カ（ケ） Ｆａ カ＆Ｅ
１ カ（コ） ～Ｆｂ クケＭＰＰ
１ （サ） Ｆａ＆ａ≠ｂ→～Ｆｂ カコＣＰ
１ （シ） ∀ｙ（Ｆａ＆ａ≠ｙ→～Ｆｙ） サＵＩ
１ （ス）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆ｘ≠ｙ→～Ｆｙ） シＥＩ
（ⅴ）
１ （１） ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆ｘ≠ｙ→～Ｆｙ） Ａ
２ （２） ∀ｙ（Ｆａ＆ａ≠ｙ→～Ｆｙ） Ａ
２ （３） Ｆａ＆ａ≠ｂ→～Ｆｂ ２ＵＥ
２ （４） ～（Ｆａ＆ａ≠ｂ）∨～Ｆｂ ３含意の定義
５ （５） ～（Ｆａ＆ａ≠ｂ） Ａ
５ （６） ～Ｆａ∨ａ＝ｂ ５ド・モルガンの法則
５ （７） ～Ｆａ∨ａ＝ｂ∨～Ｆｂ ６∨Ｉ
８（８） ～Ｆｂ Ａ
８（９） ａ＝ｂ∨～Ｆｂ ８∨Ｉ
８（ア） ～Ｆａ∨ａ＝ｂ∨～Ｆｂ ９∨Ｉ
２ （イ） ～Ｆａ∨ａ＝ｂ∨～Ｆｂ ２５７８ア∨Ｅ
２ （ウ） ∀ｙ（～Ｆａ∨ａ＝ｙ∨～Ｆｙ） イＵＩ
２ （エ）∃ｘ∀ｙ（～Ｆｘ∨ｘ＝ｙ∨～Ｆｙ） ウＥＩ
１ （オ）∃ｘ∀ｙ（～Ｆｘ∨ｘ＝ｙ∨～Ｆｙ） １２エＥＥ
従って、
（04）により、
（05）
④ ～∃ｘ∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｘ＆Ｆｙ）
⑤ ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆ｘ≠ｙ→ ～Ｆｙ）
⑥ ∃ｘ∀ｙ（～Ｆｘ∨ｘ＝ｙ∨～Ｆｙ）
に於いて、
④ ならば、⑤ であり、
⑤ ならば、⑥ である。
従って、
（05）により、
（06）
④（２つ以上のＦが存在する）ということはない。
⑤ あるｘとすべてのｙについて、（ｘがＦであって、ｘがｙでないならば、ｙはＦではない）。
⑥ あるｘとすべてのｙについて、（ｘはＦでないか、ｘはｙであるか、ｙはＦでない）。
に於いて、
④ ならば、⑤ であり、
⑤ ならば、⑥ である。
従って、
（06）により、
（07）
④（２つ以上のＦが存在する）ということはない。
⑤ Ｆが存在するならば、１つだけである。
⑥ Ｆは存在しないかも知れない。
に於いて、
④ ならば、⑤ であり、
⑤ ならば、⑥ である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
④ ∃ｘ∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｘ＆Ｆｙ）
⑤ ～∃ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆ｘ≠ｙ→ ～Ｆｙ）
⑥ ～∃ｘ∀ｙ（～Ｆｘ∨ｘ＝ｙ∨～Ｆｙ）
に於いて、すなわち、
④（２つ以上のＦが存在する）。
⑤（Ｆが存在するならば、１つだけである）ということはない。
⑥（Ｆは存在しないかも知れない）ということはない。
に於いて、
④ ならば、⑤ であり、
⑤ ならば、⑥ である。
従って、
（08）により、
（09）
④ ２つ以上のＦが存在する。
⑤ Ｆは存在するし、Ｆが１つだけであるということはない。
に於いて、
④ ならば、⑤ である。