（01）
３ つぎの相互導出可能性を示す結果を確立せよ。
（ｆ）∃ｘ（Ｆｘ→Ｐ）┤├ ∀ｘ（Ｆｘ）→Ｐ
（E.j.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１６３頁）
〔私による解答〕
（ⅰ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｐ） Ａ
２ （２） ∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
３（３） Ｆａ→Ｐ Ａ
２ （４） Ｆａ ２ＵＥ
２３（５） Ｐ ３４ＭＰＰ
１２ （６） Ｐ １３５ＥＥ
１ （７）∀ｘ（Ｆｘ）→Ｐ ２６ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） ∀ｘ（Ｆｘ）→Ｐ Ａ
１ （２）～∀ｘ（Ｆｘ）∨Ｐ １含意の定義
３ （３）～∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
３ （４）∃ｘ（～Ｆｘ） ３量化子の関係
５ （５） ～Ｆａ Ａ
５ （６） ～Ｆａ∨Ｐ ５∨Ｉ
５ （７） Ｆａ→Ｐ ６含意の定義
５ （８） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｐ） ７ＥＩ
３ （９） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｐ） ３５８ＥＥ
ア（ア） Ｐ Ａ
ア（イ） ～Ｆａ∨Ｐ ア∨Ｉ
ア（ウ） Ｆａ→Ｐ イ含意の定義
ア（エ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｐ） ウＥＩ
１ （オ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｐ） ２３９アエ∨Ｅ
然るに、
（02）
｛個体領域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
① ∃ｘ（Ｆｘ→ Ｐ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）→Ｐ
に於いて、
①＝② である。
といふことは、
③（Ｆａ→Ｐ）∨（Ｆｂ→Ｐ）∨（Ｆｃ→Ｐ）
④（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→Ｐ
に於いて、
③＝④ である。
といふことに、「等しい」。
然るに、
（03）
（ⅲ）
１ （１） （Ｆａ→Ｐ）∨（Ｆｂ→Ｐ）∨（Ｆｃ→Ｐ） Ａ
２ （２） （Ｆａ→Ｐ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２３ （４） ～Ｆａ ２３ＭＴＴ
２３ （５） ～Ｆａ∨～Ｆｂ ４∨Ｉ
２３ （６） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ ５∨Ｉ
２３ （７） ～（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） ６ド・モルガンの法則
２ （８） ～Ｐ→～（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） ３７ＣＰ
９ （９） （Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） Ａ
９ （ア） ～～（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） ９ＤＮ
２ ９ （イ）～～Ｐ ８アＤＮ
２ ９ （ウ） Ｐ イＤＮ
２ （エ） （Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→Ｐ ９ウＣＰ
オ （オ） （Ｆｂ→Ｐ） Ａ
カ （カ） ～Ｐ Ａ
オカ （キ） ～Ｆｂ オカＭＴＴ
オカ （ク） ～Ｆａ∨～Ｆｂ キ∨Ｉ
オカ （ケ） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ ク∨Ｉ
オカ （コ） ～（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） ケ、ド・モルガンの法則
オ （サ） ～Ｐ→～（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） カコＣＰ
シ （シ） （Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） Ａ
シ （ス） ～～（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） シＤＮ
オ シ （セ）～～Ｐ サスＭＴＴ
オ シ （ソ） Ｐ セＤＮ
オ （タ） （Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→Ｐ シソＣＰ
チ （チ） （Ｆｃ→Ｐ） Ａ
ツ （ツ） ～Ｐ Ａ
チツ （テ） ～Ｆｃ チツＭＴＴ
チツ （ト） ～Ｆｂ∨～Ｆｃ テ∨Ｉ
チツ （ナ） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ ト∨Ｉ
チツ （ニ） ～（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） ナ、ド・モルガンの法則
チ （ヌ） ～Ｐ→～（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） ツニＣＰ
ネ（ネ） （Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） Ａ
ネ（ノ） ～～（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） ネＤＮ
チ ネ（ハ） ～～Ｐ ヌノＭＴＴ
チ ネ（ヒ） Ｐ ハＤＮ
チ （フ） （Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→Ｐ ネヒＣＰ
１ （ヘ） （Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→Ｐ １２３エオタチフ∨Ｅ
（ⅳ）
１ （１） （Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→Ｐ Ａ
１ （２）～（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）∨Ｐ Ａ
３ （３）～（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） Ａ
３ （４） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ ３ド・モルガンの法則
５ （５） ～Ｆａ Ａ
５ （６） ～Ｆａ∨Ｐ ５∨Ｉ
５ （７） Ｆａ→Ｐ ６含意の定義
５ （８） （Ｆａ→Ｐ）∨（Ｆｂ→Ｐ） ７∨Ｉ
５ （９） （Ｆａ→Ｐ）∨（Ｆｂ→Ｐ）∨（Ｆｃ→Ｐ） ８∨Ｉ
ア （ア） ～Ｆｂ Ａ
ア （イ） ～Ｆｂ∨Ｐ ア∨Ｉ
ア （ウ） Ｆｂ→Ｐ イ含意の定義
ア （エ） （Ｆａ→Ｐ）∨（Ｆｂ→Ｐ） ウ∨Ｉ
ア （オ） （Ｆａ→Ｐ）∨（Ｆｂ→Ｐ）∨（Ｆｃ→Ｐ） エ∨Ｉ
カ （カ） ～Ｆｃ Ａ
カ （キ） ～Ｆｃ∨Ｐ カ∨Ｉ
キ （ク） Ｆｃ→Ｐ キ含意の定義
キ （ケ） （Ｆｂ→Ｐ）∨（Ｆｃ→Ｐ） ク∨Ｉ
キ （コ） （Ｆａ→Ｐ）∨（Ｆｂ→Ｐ）∨（Ｆｃ→Ｐ） ケ∨I
３ （サ） （Ｆａ→Ｐ）∨（Ｆｂ→Ｐ）∨（Ｆｃ→Ｐ） ４５９アオキコ∨Ｅ
シ（シ） Ｐ Ａ
シ（ス） ～Ｆａ∨Ｐ シ∨Ｉ
シ（セ） Ｆａ→Ｐ ス含意の定義
シ（ソ） （Ｆａ→Ｐ）∨（Ｆｂ→Ｐ） セ∨Ｉ
シ（タ） （Ｆａ→Ｐ）∨（Ｆｂ→Ｐ）∨（Ｆｃ→Ｐ） ソ∨Ｉ
１ （チ） （Ｆａ→Ｐ）∨（Ｆｂ→Ｐ）∨（Ｆｃ→Ｐ） ２３サシタ∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
③（Ｆａ→Ｐ）∨（Ｆｂ→Ｐ）∨（Ｆｃ→Ｐ）
④（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→Ｐ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
｛個体領域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
① ∃ｘ（Ｆｘ→ Ｐ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）→Ｐ
に於いて、
①＝② である。
といふことは、
③（Ｆａ→Ｐ）∨（Ｆｂ→Ｐ）∨（Ｆｃ→Ｐ）
④（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→Ｐ
に於いて、
③＝④ である。
といふことに、「等しい」が故に、
① ∃ｘ（Ｆｘ→ Ｐ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）→Ｐ
③（Ｆａ→Ｐ）∨（Ｆｂ→Ｐ）∨（Ｆｃ→Ｐ）
④（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→Ｐ
に於いて、
①＝③ であって、
②＝④ であって、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
「述語論理式」は、「命題論理式」の「一種」であるが、
「述語論理式」を、「命題論理式」に、書き換へようとすると、
（ⅰ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｐ） Ａ
２ （２） ∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
３（３） Ｆａ→Ｐ Ａ
２ （４） Ｆａ ２ＵＥ
２３（５） Ｐ ３４ＭＰＰ
１２ （６） Ｐ １３５ＥＥ
１ （７）∀ｘ（Ｆｘ）→Ｐ ２６ＣＰ
で済むところが、
｛個体領域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとしても、
（ⅲ）
１ （１） （Ｆａ→Ｐ）∨（Ｆｂ→Ｐ）∨（Ｆｃ→Ｐ） Ａ
２ （２） （Ｆａ→Ｐ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２３ （４） ～Ｆａ ２３ＭＴＴ
２３ （５） ～Ｆａ∨～Ｆｂ ４∨Ｉ
２３ （６） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ ５∨Ｉ
２３ （７） ～（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） ６ド・モルガンの法則
２ （８） ～Ｐ→～（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） ３７ＣＰ
９ （９） （Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） Ａ
９ （ア） ～～（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） ９ＤＮ
２ ９ （イ）～～Ｐ ８アＤＮ
２ ９ （ウ） Ｐ イＤＮ
２ （エ） （Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→Ｐ ９ウＣＰ
オ （オ） （Ｆｂ→Ｐ） Ａ
カ （カ） ～Ｐ Ａ
オカ （キ） ～Ｆｂ オカＭＴＴ
オカ （ク） ～Ｆａ∨～Ｆｂ キ∨Ｉ
オカ （ケ） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ ク∨Ｉ
オカ （コ） ～（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） ケ、ド・モルガンの法則
オ （サ） ～Ｐ→～（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） カコＣＰ
シ （シ） （Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） Ａ
シ （ス） ～～（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） シＤＮ
オ シ （セ）～～Ｐ サスＭＴＴ
オ シ （ソ） Ｐ セＤＮ
オ （タ） （Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→Ｐ シソＣＰ
チ （チ） （Ｆｃ→Ｐ） Ａ
ツ （ツ） ～Ｐ Ａ
チツ （テ） ～Ｆｃ チツＭＴＴ
チツ （ト） ～Ｆｂ∨～Ｆｃ テ∨Ｉ
チツ （ナ） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ ト∨Ｉ
チツ （ニ） ～（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） ナ、ド・モルガンの法則
チ （ヌ） ～Ｐ→～（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） ツニＣＰ
ネ（ネ） （Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） Ａ
ネ（ノ） ～～（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） ネＤＮ
チ ネ（ハ） ～～Ｐ ヌノＭＴＴ
チ ネ（ヒ） Ｐ ハＤＮ
チ （フ） （Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→Ｐ ネヒＣＰ
１ （ヘ） （Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→Ｐ １２３エオタチフ∨Ｅ
のやうに「計算」が「長く」なってしまひ、「同じ計算の繰り返し」が、「途中で、嫌になる」。
然るに、
（07）
① ∃ｘ（Ｆｘ→ Ｐ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）→Ｐ
といふ「述語論理式」を、
③（Ｆａ→Ｐ）∨（Ｆｂ→Ｐ）∨（Ｆｃ→Ｐ）
④（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→Ｐ
といふ「命題論理式」に「書き換へる」ならば、
① ∃ｘ（Ｆｘ→ Ｐ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）→Ｐ
といふ「述語論理式」の「意味」を、「完璧に、把握」することが、出来る。
然るに、
（08）
｛ｘの変域｝｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
③（Ｆａ→Ｐ）∨（Ｆｂ→Ｐ）∨（Ｆｃ→Ｐ）
④（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→Ｐ
に於いて、
③ は「任意のｘについて、ｘがＦならば、Ｐである。」
④ は「全てのｘについて、ｘがＦならば、Ｐである。」
といふ風に、「読むこと」が出来る。
然るに、
（09）
I like all teachers at school.
（私は学校のすべての先生が好きです。）
I like every teacher at school.
（私は学校のどの先生も好きです。）
ニュアンスを意識して日本語にすると、こんな感じでしょうか。この文章はどちらも学校の先生が全員好きであることを表しています。
（「全て」を意味する「all」と「every」の違いとは？https://nativecamp.net）
然るに、
（08）（09）により、
（10）
③ 任意の
④ 全ての
の「違ひ」は、
③ ｅｖｅｒｙ
④ ａｌｌ
の「違ひ」であると、思はれる。