（01）
｛ａ、ｂ｝を｛ｘの、変域｝とし、
｛ａ、ｂ｝は｛２人の個人｝であるとする。
従って、
（01）により、
（02）
① ∃ｘ（Ｆｘ）⇔（Ｆａ∨Ｆｂ）⇔（ａはＦであるか、または、ｂはＦであるか、または、その両方である。）
従って、
（02）により、
（03）
② ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）⇔（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）
従って、
（03）により、
（04）
③ ～∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）⇔～｛（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）｝
然るに、
（05）
（ⅲ）
１ （１）～∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） Ａ
２（２） Ｆａ＆Ｇａ Ａ
２（３） ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） ２ＥＩ
１２（４）～∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）＆
∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） １３＆Ｉ
１ （５） ～（Ｆａ＆Ｇａ） ２４ＲＡＡ
１ （６）∀ｘ～（Ｆｘ＆Ｇｘ） ５ＵＩ
（ⅳ）
１ （１） ∀ｘ～（Ｆｘ＆Ｇｘ） Ａ
２ （２） ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） Ａ
３（３） （Ｆａ＆Ｇａ） Ａ
１ （４） ～（Ｆａ＆Ｇａ） １ＵＥ
１ ３（５） （Ｆａ＆Ｇａ）＆
～（Ｆａ＆Ｇａ） ３４＆Ｉ
３（６）～∀ｘ～（Ｆｘ＆Ｇｘ） １５ＲＡＡ
２ （７）～∀ｘ～（Ｆｘ＆Ｇｘ） ２３６ＥＥ
１２ （８） ∀ｘ～（Ｆｘ＆Ｇｘ）＆
～∀ｘ～（Ｆｘ＆Ｇｘ） １７＆Ｉ
１ （９） ～∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） ２８ＲＡＡ
従って、
（05）により、
（06）
③ ～∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）⇔（Ｆであって、Ｇである所のｘは）存在しない。
④ ∀ｘ～（Ｆｘ＆Ｇｘ）⇔すべてのｘについて（Ｆであって、Ｇである）ということはない。
に於いて、
③＝④ は「量化子の関係」である。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
③ ～∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）⇔～｛（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）｝
④ ∀ｘ～（Ｆｘ＆Ｇｘ）⇔～｛（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）｝
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（08）
（ⅲ）
１（１）～∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） Ａ
１（２）∀ｘ～（Ｆｘ＆Ｇｘ） １量化子の関係
１（３） ～（Ｆａ＆Ｇａ） ２ＵＥ
１（４） ～Ｆａ∨～Ｇａ ３ド・モルガンの法則
１（５） Ｆａ→～Ｇａ ４含意の定義
１（６）∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ） ５ＵＩ
（ⅳ）
１（１）∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ） Ａ
１（２） Ｆａ→～Ｇａ １ＵＥ
１（３） ～Ｆａ∨～Ｇａ ２含意の定義
１（４） ～（Ｆａ＆Ｇａ） ３ド・モルガンの法則
１（５）∀ｘ～（Ｆｘ＆Ｇｘ） ４ＵＩ
１（６）～∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） ５量化子の関係
従って、
（08）により、
（09）
③ ～∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
④ ∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ）
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
③ ～∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）⇔～∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）⇔～｛（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）｝
④ ∀ｘ～（Ｆｘ＆Ｇｘ）⇔∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ）⇔～｛（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）｝
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（11）
（ⅲ）
１（１）～｛（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）｝ Ａ
１（２）～（Ｆａ＆Ｇａ）＆～（Ｆｂ＆Ｇｂ） １ド・モルガンの法則
１（３）～（Ｆａ＆Ｇａ） ２＆Ｅ
１（４）～Ｆａ∨～Ｇａ ３ド・モルガンの法則
１（５） Ｆａ→～Ｇａ ４含意の定義
１（６） ～（Ｆｂ＆Ｇｂ） ２＆Ｅ
１（７） ～Ｆｂ∨～Ｇｂ ６ド・モルガンの法則
１（８） Ｆｂ→～Ｇｂ ７含意の定義
１（９）（Ｆａ→～Ｇａ）＆（Ｆｂ→～Ｇｂ） ５８＆Ｉ
（ⅳ）
１（１）（Ｆａ→～Ｇａ）＆（Ｆｂ→～Ｇｂ） Ａ
１（２） （Ｆａ→～Ｇａ） １＆Ｅ
１（３） ～Ｆａ∨～Ｇａ ２含意の定義
１（４） ～（Ｆａ＆Ｇｂ） ３ド・モルガンの法則
１（５） （Ｆｂ→～Ｇｂ） １＆Ｅ
１（６） ～Ｆｂ∨～Ｇｂ ４含意の定義
１（７） ～（Ｆｂ＆Ｇｂ） ６ド・モルガンの法則
１（８） ～（Ｆａ＆Ｇｂ）＆～（Ｆｂ＆Ｇｂ） ４７＆Ｉ
１（９）～｛（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）｝ ８ド・モルガンの法則
従って、
（11）により、
（12）
③ ～｛（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）｝
④ （Ｆａ→～Ｇａ）＆（Ｆｂ→～Ｇｂ）
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
③ ～∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）⇔～∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）⇔～｛（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）｝⇔（Ｆａ→～Ｇａ）＆（Ｆｂ→～Ｇｂ）
④ ∀ｘ～（Ｆｘ＆Ｇｘ）⇔∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ）⇔～｛（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）｝⇔（Ｆａ→～Ｇａ）＆（Ｆｂ→～Ｇｂ）
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（14）
Ｆ＝フランス人である。
Ｇ＝学生である。
として、
③（Ｆａ→～Ｇａ）＆（Ｆｂ→～Ｇｂ）⇔（ａがフランス人であるならば、ａは学生ではない。）＆（ｂがフランス人であるならば、ｂは学生ではない。）
④（Ｆａ→～Ｇａ）＆（Ｆｂ→～Ｇｂ）⇔（ａがフランス人であるならば、ａは学生ではない。）＆（ｂがフランス人であるならば、ｂは学生ではない。）
然るに、
（01）（14）により、
（15）
｛ａ、ｂ｝を｛ｘの、変域｝とし、
｛ａ、ｂ｝は｛２人の個人｝であるとして、
③（ａがフランス人であるならば、ａは学生ではない。）＆（ｂがフランス人であるならば、ｂは学生ではない。）
④（ｂがフランス人であるならば、ｂは学生ではない。）＆（ａがフランス人であるならば、ａは学生ではない。）
ということは、
③（すべてのフランス人は学生ではない。）
④（すべてのフランス人は学生ではない。）
ということに、他ならない。
従って、
（13）（14）（15）により、
（16）
｛ａ、ｂ｝を｛ｘの、変域｝とし、
｛ａ、ｂ｝は｛２人の個人｝であるとして、
③ ～∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）⇔～∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）⇔～｛（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）｝⇔（Ｆａ→～Ｇａ）＆（Ｆｂ→～Ｇｂ）⇔（すべてのフランス人は学生ではない。）
④ ∀ｘ～（Ｆｘ＆Ｇｘ）⇔∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ）⇔～｛（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）｝⇔（Ｆａ→～Ｇａ）＆（Ｆｂ→～Ｇｂ）⇔（すべてのフランス人は学生ではない。）
という「等式」が、成立する。
然るに、
（16）により、
（17）
｛ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ、ｆ、ｇ、ｈ、ｉ、ｊ｝を｛ｘの、変域｝とし、
｛ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ、ｆ、ｇ、ｈ、ｉ、ｊ｝は｛十人の個人｝である。
としても、
③ ～∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）⇔（すべてのフランス人は学生ではない。）
④ ∀ｘ～（Ｆｘ＆Ｇｘ）⇔（すべてのフランス人は学生ではない。）
という「等式」が、成立する。
然るに、
（18）
（ⅲ）
１（１）～｛（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）｝ Ａ
１（２）～（Ｆａ＆Ｇａ）＆～（Ｆｂ＆Ｇｂ） １ド・モルガンの法則
１（３）～（Ｆａ＆Ｇａ） ２＆Ｅ
１（４）～Ｆａ∨～Ｇａ ３ド・モルガンの法則
１（５） Ｆａ→～Ｇａ ４含意の定義
１（６） ～（Ｆｂ＆Ｇｂ） ２＆Ｅ
１（７） ～Ｆｂ∨～Ｇｂ ６ド・モルガンの法則
１（８） Ｆｂ→～Ｇｂ ７含意の定義
１（９）（Ｆａ→～Ｇａ）＆（Ｆｂ→～Ｇｂ） ５８＆Ｉ
（ⅳ）
１（１）（Ｆａ→～Ｇａ）＆（Ｆｂ→～Ｇｂ） Ａ
１（２） （Ｆａ→～Ｇａ） １＆Ｅ
１（３） ～Ｆａ∨～Ｇａ ２含意の定義
１（４） ～（Ｆａ＆Ｇｂ） ３ド・モルガンの法則
１（５） （Ｆｂ→～Ｇｂ） １＆Ｅ
１（６） ～Ｆｂ∨～Ｇｂ ４含意の定義
１（７） ～（Ｆｂ＆Ｇｂ） ６ド・モルガンの法則
１（８） ～（Ｆａ＆Ｇｂ）＆～（Ｆｂ＆Ｇｂ） ４７＆Ｉ
１（９）～｛（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）｝ ８ド・モルガンの法則
という「計算」を、｛ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ、ｆ、ｇ、ｈ、ｉ、ｊ｝という｛十人分｝で書くのは、「大変」であるし、｛十万人分｝で書くことは、「現実的」ではない。
従って、
（18）により、
（19）
（ⅲ）
１（１）～｛（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）｝ Ａ
１（２）～（Ｆａ＆Ｇａ）＆～（Ｆｂ＆Ｇｂ） １ド・モルガンの法則
１（３）～（Ｆａ＆Ｇａ） ２＆Ｅ
１（４）～Ｆａ∨～Ｇａ ３ド・モルガンの法則
１（５） Ｆａ→～Ｇａ ４含意の定義
１（６） ～（Ｆｂ＆Ｇｂ） ２＆Ｅ
１（７） ～Ｆｂ∨～Ｇｂ ６ド・モルガンの法則
１（８） Ｆｂ→～Ｇｂ ７含意の定義
１（９）（Ｆａ→～Ｇａ）＆（Ｆｂ→～Ｇｂ） ５８＆Ｉ
（ⅳ）
１（１）（Ｆａ→～Ｇａ）＆（Ｆｂ→～Ｇｂ） Ａ
１（２） （Ｆａ→～Ｇａ） １＆Ｅ
１（３） ～Ｆａ∨～Ｇａ ２含意の定義
１（４） ～（Ｆａ＆Ｇｂ） ３ド・モルガンの法則
１（５） （Ｆｂ→～Ｇｂ） １＆Ｅ
１（６） ～Ｆｂ∨～Ｇｂ ４含意の定義
１（７） ～（Ｆｂ＆Ｇｂ） ６ド・モルガンの法則
１（８） ～（Ｆａ＆Ｇｂ）＆～（Ｆｂ＆Ｇｂ） ４７＆Ｉ
１（９）～｛（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）｝ ８ド・モルガンの法則
という「計算」を、｛十人分｝書くのは、「大変」であるし、｛十万人分｝書くわけには、行かないため、
（ⅲ）
１（１）～∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） Ａ
１（２）∀ｘ～（Ｆｘ＆Ｇｘ） １量化子の関係
１（３） ～（Ｆａ＆Ｇａ） ２ＵＥ
１（４） ～Ｆａ∨～Ｇａ ３ド・モルガンの法則
１（５） Ｆａ→～Ｇａ ４含意の定義
１（６）∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ） ５ＵＩ
（ⅳ）
１（１）∀ｘ（Ｆｘ→～Ｇｘ） Ａ
１（２） Ｆａ→～Ｇａ １ＵＥ
１（３） ～Ｆａ∨～Ｇａ ２含意の定義
１（４） ～（Ｆａ＆Ｇａ） ３ド・モルガンの法則
１（５）∀ｘ～（Ｆｘ＆Ｇｘ） ４ＵＩ
１（６）～∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） ５量化子の関係
という「述語計算」を、「必要」とする。
然るに、
（20）
（ⅲ）
１（１）～｛（Ｆ＆Ｇ）∨（Ｈ＆Ｉ）｝ Ａ
１（２）～（Ｆ＆Ｇ）＆～（Ｈ＆Ｉ） １ド・モルガンの法則
１（３）～（Ｆ＆Ｇ） ２＆Ｅ
１（４）～Ｆ∨～Ｇ ３ド・モルガンの法則
１（５） Ｆ→～Ｇ ４含意の定義
１（６） ～（Ｈ＆Ｉ） ２＆Ｅ
１（７） ～Ｈ∨～Ｉ ６ド・モルガンの法則
１（８） Ｈ→～Ｉ ７含意の定義
１（９）（Ｆ→～Ｇ）＆（Ｈ→～Ｉ） ５８＆Ｉ
（ⅳ）
１（１）（Ｆ→～Ｇ）＆（Ｈ→～Ｉ） Ａ
１（２）（Ｆ→～Ｇ） １＆Ｅ
１（３）～Ｆ∨～Ｇ ２含意の定義
１（４）～（Ｆ＆Ｉ） ３ド・モルガンの法則
１（５） （Ｈ→～Ｉ） １＆Ｅ
１（６） ～Ｈ∨～Ｉ ４含意の定義
１（７） ～（Ｈ＆Ｉ） ６ド・モルガンの法則
１（８） ～（Ｆ＆Ｉ）＆～（Ｈ＆Ｉ） ４７＆Ｉ
１（９）～｛（Ｆ＆Ｇ）∨（Ｈ＆Ｉ）｝ ８ド・モルガンの法則
従って、
（18）（19）（20）により、
（21）
（ⅲ）
１（１）～｛（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）｝ Ａ
１（２）～（Ｆａ＆Ｇａ）＆～（Ｆｂ＆Ｇｂ） １ド・モルガンの法則
１（３）～（Ｆａ＆Ｇａ） ２＆Ｅ
１（４）～Ｆａ∨～Ｇａ ３ド・モルガンの法則
１（５） Ｆａ→～Ｇａ ４含意の定義
１（６） ～（Ｆｂ＆Ｇｂ） ２＆Ｅ
１（７） ～Ｆｂ∨～Ｇｂ ６ド・モルガンの法則
１（８） Ｆｂ→～Ｇｂ ７含意の定義
１（９）（Ｆａ→～Ｇａ）＆（Ｆｂ→～Ｇｂ） ５８＆Ｉ
（ⅳ）
１（１）（Ｆａ→～Ｇａ）＆（Ｆｂ→～Ｇｂ） Ａ
１（２） （Ｆａ→～Ｇａ） １＆Ｅ
１（３） ～Ｆａ∨～Ｇａ ２含意の定義
１（４） ～（Ｆａ＆Ｇｂ） ３ド・モルガンの法則
１（５） （Ｆｂ→～Ｇｂ） １＆Ｅ
１（６） ～Ｆｂ∨～Ｇｂ ４含意の定義
１（７） ～（Ｆｂ＆Ｇｂ） ６ド・モルガンの法則
１（８） ～（Ｆａ＆Ｇｂ）＆～（Ｆｂ＆Ｇｂ） ４７＆Ｉ
１（９）～｛（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）｝ ８ド・モルガンの法則
という「計算」を、｛十万人分｝書くことは、「原理的」には、「可能」であるため、「述語計算」は、「命題計算」に、「置き換える」ことが出来る。