(01)
(ⅰ)
1 (1) P& Q A
2 (2) P→~Q A
1 (3) P 1&E
12 (4) ~Q 23MPP
2 (5) Q 1&E
12 (6) ~Q&Q 45&I
1 (7) ~(P→~Q) 26RAA
(ⅱ)
1 (1) ~(P→~Q) A
2 (2) ~(P& Q) A
3 (3) P A
4(4) Q A
34(5) P& Q 34&I
234(6) ~(P& Q)&
(P& Q) 25&I
23 (7) ~Q 46RAA
2 (8) P→~Q 37CP
12 (9) ~(P→~Q)&
(P→~Q) 28&I
1 (ア)~~(P& Q) 29RAA
1 (イ) P& Q アDN
従って、
(01)により、
(02)
① P& Q
② ~(P→~Q)
に於いて、
①=② であるが、
この「等式」を、『連言の定義(Df.&)』とする。
(03)
① 象は鼻は長い。
② 象以外は鼻は長くない。
③ 象は鼻以外は長くない。
であるとして、
④ 象が鼻が長い=①+②+③ である。とする。
従って、
(03)により、
(04)
④ 象が鼻が長い。⇔
④ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&~象x→~∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
従って、
(04)により、
(05)
⑤ 象が鼻が長い。とは言へない。⇔
⑤ ~∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&~象x→~∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
然るに、
(06)
1 (1) ~∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&~象x→~∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)} A
1 (2) ∃x~{象x→∃y(鼻yx&長y)&~象x→~∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)} 1量化子の関係
3 (3) ~{象a→∃y(鼻ya&長y)&~象a→~∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)} A
3 (4) ~{象a→∃y(鼻ya&長y)}∨~{~象a→~∃y(鼻ya&長y}∨~∀z(~鼻za→~長z)} 3ド・モルガンの法則
5 (5) ~{象a→∃y(鼻ya&長y)} A
5 (6) 象&~∃y(鼻ya&長y) 5連言の定義
5 (7) 象a 6&E
5 (8) ~∃y(鼻ya&長y) 6&E
5 (9) ∀y~(鼻ya&長y) 8量化子の関係
5 (ア) ~(鼻ba&長b) 9UE
5 (イ) ~鼻ab∨~長b ア、ド・モルガンの法則
5 (ウ) 鼻ba→~長b イ含意の定義
5 (エ) ∀y(鼻ya→~長y) ウUI
5 (オ) 象a&∀y(鼻ya→~長y) 7エ&I
5 (カ) 象a&∀y(鼻ya→~長y)∨~象a&∃y(鼻ya&長y) オ∨I
5 (キ) 象a&∀y(鼻ya→~長y)∨~象a&∃y(鼻ya&長y)∨∃z(~鼻za&長z) カ∨I
ク (ク) ~{~象a→~∃y(鼻ya&長y} A
ク (ケ) ~象a& ∃y(鼻ya&長y) ク連言の定義
ク (コ) 象a&∀y(鼻ya→~長y)∨~象a&∃y(鼻ya&長y) ケ∨I
ク (サ) 象a&∀y(鼻ya→~長y)∨~象a&∃y(鼻ya&長y)∨∃z(~鼻za&長z) コ∨I
シ (シ) ~∀z(~鼻za→~長z) A
シ (ス) ∃z~(~鼻za→~長z) サ量化子の関係
セ(セ) ~(~鼻ca→~長c) A
セ(ソ) ~鼻ca& 長c ス連言の定義
セ(タ) ∃z(~鼻za& 長z) セEI
シ (チ) ∃z(~鼻za& 長z) サスソEE
シ (ツ) ~象a&∃y(鼻ya&長y)∨∃z(~鼻za&長z) チ∨I
シ (テ) 象a&∀y(鼻ya→~長y)∨~象a&∃y(鼻ya&長y)∨∃z(~鼻za&長z) ツ∨I
3 (ト) 象a&∀y(鼻ya→~長y)∨~象a&∃y(鼻ya&長y)∨∃z(~鼻za&長z) 45キクサシテ∨E
3 (ナ)∃x{象x&∀y(鼻yx→~長y)∨~象x&∃y(鼻yx&長y)∨∃z(~鼻zx&長z)} トEI
1 (ニ)∃x{象x&∀y(鼻yx→~長y)∨~象x&∃y(鼻yx&長y)∨∃z(~鼻zx&長z)} 23ナEE
1 (〃)あるxについて、
xは象であって、すべてのyについてyがxの鼻であるならば、yは長くないか、
xは象でなくて、あるyはxの鼻であって、長いか、
あるzはxの鼻ではなくて、zは長い。
従って、
(05)(06)により、
(07)
⑤ 象が鼻が長い。とは言へない。⇔
⑤ ~∀x{象x→∃y(鼻yx& 長y)&~象x→~∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}⇔
⑤ ∃x{象x&∀y(鼻yx→~長y)∨~象x& ∃y(鼻yx&長y)∨∃z(~鼻zx& 長z)}⇔
⑤{あるxは象であるが鼻は長くない}か、{あるxは象ではないが鼻が長い}か、{あるzはx(象)の鼻以外(例へば、耳)であるが長い}。
従って、
(07)により、
(08)
⑥ 象が鼻が長い。⇔
⑥ ∀x{象x→∃y(鼻yx& 長y)&~象x→~∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}⇔
⑥ ~∃x{象x&∀y(鼻yx→~長y)∨~象x& ∃y(鼻yx&長y)∨∃z(~鼻zx& 長z)}⇔
⑥{鼻が長くない象がゐる}か、{象ではないが鼻が長い動物がゐる}か、{象は鼻以外も長い}か、と言へば、さのやうなことは無い。