今年の大学入試の数学は、旧課程です。
来年からは、新課程の大学入試になります。
数学Ⅰ・Aでは、整数の性質（初等整数論の一部）が、学習内容になります。 合同式が正式に学習内容になります。
数学Ⅲでは、行列がなくなりますが、複素数のド・モアブルの定理（複素解析学の一部）が、学習内容になります。
旧課程の受験生は、新しく学習する内容になるので、負担が大きいですね。
今日は、大学への数学の５月号を購入しました。
毎年、４月号と５月号は、大学入試の問題が掲載されているので、毎年購入しています。
高校の数学の微分積分学は、１変数の微分積分学です。
特に、積分学はリーマン積分です。
リーマン積分は、17世紀の数学です。
高校の数学は、約400年前の数学の偉人さんによって考えられた数学を学んでいます。
大学入試の問題は、大学で学ぶ内容を高校生でも分かるように誘導して出題する傾向もあるので、受験生は新しい内容を見るので、本番では困りますよね。
去年から新課程で教えている先生、学んでいる生徒では、確率・統計を重視している内容に変更がされています。
しかし、大学生向けの確率・統計の入門書を読むとほとんど、同じ内容になっています。
おそらく、社会の経済などを、統計的な見方が養っていると実社会に出ると役に立つと考えられると思います。
また、高校の数学から行列がなくなるので、大学の教授は、線形代数学の授業の講義を考えなければならないので、大変になると思います。
※高校では２×２の行列、大学ではｎ×ｎの行列（線形代数学）を扱うという意味です。
いつも、新カリキュラムに変わるとき、「行列」と「複素数」は、高校なのか、大学なのかは、移り変わりがありますね。
毎年、４月号と５月号は、大学入試の問題が掲載されているので、毎年購入しています。
高校の数学の微分積分学は、１変数の微分積分学です。
特に、積分学はリーマン積分です。
リーマン積分は、17世紀の数学です。
高校の数学は、約400年前の数学の偉人さんによって考えられた数学を学んでいます。
大学入試の問題は、大学で学ぶ内容を高校生でも分かるように誘導して出題する傾向もあるので、受験生は新しい内容を見るので、本番では困りますよね。
去年から新課程で教えている先生、学んでいる生徒では、確率・統計を重視している内容に変更がされています。
しかし、大学生向けの確率・統計の入門書を読むとほとんど、同じ内容になっています。
おそらく、社会の経済などを、統計的な見方が養っていると実社会に出ると役に立つと考えられると思います。
また、高校の数学から行列がなくなるので、大学の教授は、線形代数学の授業の講義を考えなければならないので、大変になると思います。
※高校では２×２の行列、大学ではｎ×ｎの行列（線形代数学）を扱うという意味です。
いつも、新カリキュラムに変わるとき、「行列」と「複素数」は、高校なのか、大学なのかは、移り変わりがありますね。
読売新聞のサイトより、私立大学の問題と解答が掲載されています。
同志社大学の理系数学の問題を解いて見ました。
[１]は、確率の問題。 確率は苦手なのでパスしました。
[２]は、ベクトルと「点と直線の距離」の問題。 標準的な問題でした。 (3) は間違えました。
[３]は、積分の回転体の体積と、極限の問題。 微分積分学としては、標準的な問題でした。 (4) の極限の求め方が分からず、ロピタルの定理を使いました。 それで、全問正解でした。
[４」は、パラメータ変数の微分と積分の問題です。 計算量が多くて計算ミスがありました。
解いてみて標準的な問題で面白いと思います。
同志社大学の理系数学の問題を解いて見ました。
[１]は、確率の問題。 確率は苦手なのでパスしました。
[２]は、ベクトルと「点と直線の距離」の問題。 標準的な問題でした。 (3) は間違えました。
[３]は、積分の回転体の体積と、極限の問題。 微分積分学としては、標準的な問題でした。 (4) の極限の求め方が分からず、ロピタルの定理を使いました。 それで、全問正解でした。
[４」は、パラメータ変数の微分と積分の問題です。 計算量が多くて計算ミスがありました。
解いてみて標準的な問題で面白いと思います。
移行処置を意識してでしょうか？
早稲田大学の理工学部で、「円周角の定理の逆」が出題されました。
[５]
xy - 平面上に２点A(-1, 0), B(1, 0) をとる。π/4 ≦ ∠APB ≦ π をみたす平面
上の点Ｐの全体と点A, B からなる図形をＦとする。つぎの問に答えよ。
(1) F を図示せよ。
(2) F を x軸 のまわりに１回転して得られる立体の体積を求めよ。
[５]の(1) が「円周角の定理の逆」を使う問題です。
来年からは、中学生で「円周角の定理の逆」を学習します。
大学入試にも移行処置は影響を与えているようですね！
早稲田大学の理工学部で、「円周角の定理の逆」が出題されました。
[５]
xy - 平面上に２点A(-1, 0), B(1, 0) をとる。π/4 ≦ ∠APB ≦ π をみたす平面
上の点Ｐの全体と点A, B からなる図形をＦとする。つぎの問に答えよ。
(1) F を図示せよ。
(2) F を x軸 のまわりに１回転して得られる立体の体積を求めよ。
[５]の(1) が「円周角の定理の逆」を使う問題です。
来年からは、中学生で「円周角の定理の逆」を学習します。
大学入試にも移行処置は影響を与えているようですね！
京大の入試問題が、Yahooの掲示板に投稿されて、予備校生が逮捕されました。
カンニングは悪い事です。
私は、家庭教師として、指導する立場として、考えさせられる事がありました。
高校生に、どのように数学を教えればよいのか？
私の場合は、文系の方、理系の方と、指導の方法は違うという認識を持っています。
さらには、理系の方でも、数学科と数学科以外の方でも、指導の方法は違うという認識を持っています。
さて、京大の第３問、第４問の問題を解説したいと思います。
※数学Ⅱが学習済みを前提に説明をしています。
難しい式は、置いておいて、大まかな問題の流れを知りたい方は次のタイトルの
＜（一般の方向け）問題の大まかな流れ＞
から読んでください。
＜第３問＞
実数 a が変化するとき、３次関数 y = x3 - 4x2 + 6x と直線 y = x + a のグラフの交点の個数はどのように変化するか、a の値によって分類せよ。
＜解説＞
x （x の関数） と a を分けるように考えるのが一般的です。
x3 - 4x2 + 6x = x + a
⇔ x3 - 4x2 + 5x = a
※文字定数a と、x の関数を分けることが出来た。
※初めの式を変形して、変形後の式でも、求める交点の個数が同じこと
初めの式は、y = x3 - 4x2 + 6x と y = x + a
変形後の式は、y = x3 - 4x2 + 5x と y = a
f(x) = x3 - 4x2 + 5x とおくと
y = f(x) と y = a の交点の個数を求めることと、同じである。
y = f(x) のグラフより
f(x) = x3 - 4x2 + 5x
＜微分の公式＞
y = xn ⇒ y' = n・xn - 1 (n は自然数)
y = a・xn ⇒ y' = an・xn - 1 (n は自然数)
＜因数分解の公式＞
acx2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d)
組み立て除法を使う。
f'(x) = 3x2 - 8x + 5 = (x - 1)(3x - 5)
f'(x) = 0 ⇔ x = 1, 5/3
＜増減表の書き方＞
増減表は、y = f(x), y' = f'(x) よりグラフが書けるようにすること
増減表は、（ブログなので、ちょっと特殊な書き方をします）
f(x) | ↑ f(1) ↓ f(5/3) ↑ より
f(x) = x3 - 4x2 + 5x
f(1) = 1 - 4 + 5 = 2 ∴ f(1) = 2
3x2 - 8x + 5 = 0 ⇔ x2 = (8/3)・x - 5/3
f(x) = x・((8/3)x - 5/3) - 4((8/3)x - 5/3) + 5x
= (8/3)x2 - (5/3)x - (32/3)x + 20/3 + (15/3)x
= (8/3)((8/3)x - 5/3) - (22/3)x + 20/3
= (64/9)x - 40/9 - (66/9)x + 60/9
=-(2/9)x + 20/9
※次数下げと言われる方法です。 これだと、計算ミスが少ないです。
f(5/3) = -(2/9)・(5/3) + 20/9 = -10/27 + 60/27 = 50/27 ∴f(5/3) = 50/27
よって、増減表は
f(x) | ↑ 2 ↓ 50/27 ↑ より
１個 (a ＜ 50/27 または 2 ＜ a)
２個 (a = 50/27 または a = 2)
３個 (50/27 ＜ a ＜ 2)
..... Ans
＜第３問のまとめ＞
１）初めの式を変形して、変形後の式でも、求める交点の個数が同じこと
２）微分の公式
３）因数分解の公式
４）増減表が書けること
５）増減表より y = a の個数が分かること
以上の５点が問題を解くための必要な知識になります。
＜第４問＞
xy 平面上で、連立不等式
x ≦ |2| ・・・①
y ≧ x ・・・②
y ≦ |(3/4)x2 - 3| - 2 ・・・③
を満たす領域の面積を求めよ。
＜解答＞
＜絶対値について＞
絶対値は、数の大きさを表す
0 ≦ a のとき、x ≦ |a| ⇔ -a ≦ x ≦ a
①より
x ≦ 2 ⇔ -2 ≦ x ≦ 2
③より
y = |(3/4)x2 - 3| - 2 を考える。
＜絶対値の関数について＞
|f(x)| とは
f(x) ≧ 0 のときの x の範囲（範囲①） ⇔ y = f(x)：①の範囲
f(x) ＜ 0 のときの x の負の範囲（範囲②） ⇔ y = -f(x)：②の範囲
(3/4)x2 - 3 = 0 を解くと
⇔ (3/4)x2 = 3
⇔ x2 = 4
⇔ x = -2, 2
() (3/4)x2 - 3 ≧ 0 ⇔ x ≦ -2 かつ 2 ≦ x
() (3/4)x2 - 3 ＜ 0 ⇔ -2 ＜ x ＜ 2
よって
() x ≦ -2 かつ 2 ≦ x のとき
y = |(3/4)x2 - 3| - 2
y = (3/4)x2 - 3 - 2
y = (3/4)x2 - 5
() -2 ＜ x ＜ 2 のとき
y = |(3/4)x2 - 3| - 2
y = -((3/4)x2 - 3) - 2
y = -(3/4)x2 + 1
①、②、()、()より、グラフは次のようになります。
＜因数分解の公式＞
acx2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d)
組み立て除法を使う。
②と() の交点は、
x = -(3/4)x2 + 1
⇔ (3/4)x2 + x - 1 = 0
⇔ 3x2 - 4x + 4 = 0
⇔ (x + 2)(3x - 2) = 0
⇔ x = -2, 2/3
＜２次方程式の解と係数の関係＞
ax2 + bx + c = 0 の解を、α、β（α≦β）とおくと ※数学Ⅱなので、α、βは実数として、不等式を書いています。
ax2 + bx + c = a(x - α)(x - β) と書ける
α + β = -b/a, α・β = c/a が成り立つ
＜２次関数と直線の交点の関係＞
y = ax2 + bx + c と y = mx + n の交点を、α、β（α≦β）とおくと
ax2 + bx + c = mx + n ⇔ ax2 + (b - m)x + (c - n) = 0 ⇔ a(x - α)(x - β)
上記の２次方程式の解と係数の関係より、解と交点が同じことを意味します。
＜積分の定積分の公式＞
∫ [β → α] a(x - α)(x - β)dx = |a|(α - β)3/6
次の積分の公式は、使わないが基礎知識として必要
∫ xndx = xn + 1/(n + 1) + C (n ≠ -1、C は積分定数)
求める領域を、面積 S とすると
S = ∫ [-2 → 2/3] {-(3/4)x2 + 1}dx - ∫ [-2 → 2/3] xdx
= ∫ [-2 → 2/3] {-(3/4)x2 -x + 1}dx
※解と係数の関係より
= ∫ [-2 → 2/3] {-(3/4)(x + 2)(x - 2/3)}dx
※積分の定積分の公式より
= |-3/4|(2/3 - (-2))3/6
= (3/4)・(8/3)3/6
= 64/27 ..... Ans
＜第４問のまとめ＞
１）絶対値についての理解
２）絶対値の関数についての理解
３）解と係数の関係について
４）積分の定積分の公式
以上の４点が問題を解くための必要な知識になります。
＜（一般の方向け）問題の大まかな流れ＞
とりあえず、難しい式はありますが、大まかな流れを説明したいと思います。
＜第３問＞
実数 a が変化するとき、３次関数 y = x3 - 4x2 + 6x と直線 y = x + a のグラフの交点の個数はどのように変化するか、a の値によって分類せよ。
（第３問の説明）
第３問は、２つのグラフから、変数a によって、交わる個数が異なるので、変数a は、どんな時に、交わる個数が異なるのか？
その時の変数a の条件を求めてくださいという問題です。
（解説）
まずは、式変形をします。
y = x3 - 4x2 + 6x と y = x + a
⇔
y = x3 - 4x2 + 5x と y = a
y = x3 - 4x2 + 5x のグラフの性質を微分法で調べます。
調べた結果が、増減表より分かります。
次の１）⇒２）⇒３）の順番です。
１）微分法
f(x) = x3 - 4x2 + 5x
f'(x) = 3x2 - 8x + 5
f'(x) よりグラフの凹凸が分かります。
グラフの凹凸より増減表が書けます。
２）増減表
f(1) = 2
f(5/3) = 50/27 より
f(x) | ↑ f(1) ↓ f(5/3) ↑ より
f(x) | ↑ 2 ↓ 50/27 ↑ より
１）、２）のグラフの性質より
３）増減表より個数が分かります。
a が１個、２個、３個と分かれることが分かります。
＜第４問＞
xy 平面上で、連立不等式
x ≦ |2| ・・・①
y ≧ x ・・・②
y ≦ |(3/4)x2 - 3| - 2 ・・・③
を満たす領域の面積を求めよ。
（第４問の説明）
不等式で表現することによって、領域がある面積になります。
その時の面積を求めます。
（解説）
絶対値の理解が必要ですが、次のグラフになります。
x = -2 ⇒ x = 2/3 の範囲の２つのグラフ、y = -(3/4)x2 + 1 と y = x の間にある領域の面積を求めます。
グラフの面積の領域を求める場合に、積分の定積分の公式を使います。
S = ∫ [-2 → 2/3] {-(3/4)x2 + 1}dx - ∫ [-2 → 2/3] xdx
S = 64/27
不等式から、ある領域が分かります。
グラフで領域を表すので、その領域の面積を、積分で求めます。
さて、京大の文系数学を「普通の解説」と「一般向けの解説」をしました。
このような数学が、社会ではどんなことに役に立つのかが分かりませんね。
社会に役に立たないなら、勉強をしない方がいいと思います。
実際に、文系の方ならば、高校で数学を学習したら、社会人になって使う機会は、ほとんどないと思います。
科学の発展している分野からすると、文系の数学は、基礎の基礎の程度しかありません。
重力の落下の速度を求める場合には、微分法の理論が必要になります。
ケプラーの法則（第２法則）のときに、太陽と惑星の関係を調べるとき、惑星の速度と、移動した時の面積が等しいという関係が成立します。
この時の面積を求める時に、積分を使います。
すごく、平たくにいうと、ロケットを打ち上げるのに、微分法、積分法の数学を使うということになります。
最近は、GPS の機能を色々な場面で目にすることがありますが、科学の発展に役に立っています。
GPS の衛星などを打ち上げるまでの理論では、微分法、積分法の理論が見えない部分で使われていると思います。
なので、文系数学のすごい発展の理論が、現在の科学の発展の一部だと考えれば、良いと思います。
カンニングは悪い事です。
私は、家庭教師として、指導する立場として、考えさせられる事がありました。
高校生に、どのように数学を教えればよいのか？
私の場合は、文系の方、理系の方と、指導の方法は違うという認識を持っています。
さらには、理系の方でも、数学科と数学科以外の方でも、指導の方法は違うという認識を持っています。
さて、京大の第３問、第４問の問題を解説したいと思います。
※数学Ⅱが学習済みを前提に説明をしています。
難しい式は、置いておいて、大まかな問題の流れを知りたい方は次のタイトルの
＜（一般の方向け）問題の大まかな流れ＞
から読んでください。
＜第３問＞
実数 a が変化するとき、３次関数 y = x3 - 4x2 + 6x と直線 y = x + a のグラフの交点の個数はどのように変化するか、a の値によって分類せよ。
＜解説＞
x （x の関数） と a を分けるように考えるのが一般的です。
x3 - 4x2 + 6x = x + a
⇔ x3 - 4x2 + 5x = a
※文字定数a と、x の関数を分けることが出来た。
※初めの式を変形して、変形後の式でも、求める交点の個数が同じこと
初めの式は、y = x3 - 4x2 + 6x と y = x + a
変形後の式は、y = x3 - 4x2 + 5x と y = a
f(x) = x3 - 4x2 + 5x とおくと
y = f(x) と y = a の交点の個数を求めることと、同じである。
y = f(x) のグラフより
f(x) = x3 - 4x2 + 5x
＜微分の公式＞
y = xn ⇒ y' = n・xn - 1 (n は自然数)
y = a・xn ⇒ y' = an・xn - 1 (n は自然数)
＜因数分解の公式＞
acx2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d)
組み立て除法を使う。
f'(x) = 3x2 - 8x + 5 = (x - 1)(3x - 5)
f'(x) = 0 ⇔ x = 1, 5/3
＜増減表の書き方＞
増減表は、y = f(x), y' = f'(x) よりグラフが書けるようにすること
増減表は、（ブログなので、ちょっと特殊な書き方をします）
f(x) | ↑ f(1) ↓ f(5/3) ↑ より
f(x) = x3 - 4x2 + 5x
f(1) = 1 - 4 + 5 = 2 ∴ f(1) = 2
3x2 - 8x + 5 = 0 ⇔ x2 = (8/3)・x - 5/3
f(x) = x・((8/3)x - 5/3) - 4((8/3)x - 5/3) + 5x
= (8/3)x2 - (5/3)x - (32/3)x + 20/3 + (15/3)x
= (8/3)((8/3)x - 5/3) - (22/3)x + 20/3
= (64/9)x - 40/9 - (66/9)x + 60/9
=-(2/9)x + 20/9
※次数下げと言われる方法です。 これだと、計算ミスが少ないです。
f(5/3) = -(2/9)・(5/3) + 20/9 = -10/27 + 60/27 = 50/27 ∴f(5/3) = 50/27
よって、増減表は
f(x) | ↑ 2 ↓ 50/27 ↑ より
１個 (a ＜ 50/27 または 2 ＜ a)
２個 (a = 50/27 または a = 2)
３個 (50/27 ＜ a ＜ 2)
..... Ans
＜第３問のまとめ＞
１）初めの式を変形して、変形後の式でも、求める交点の個数が同じこと
２）微分の公式
３）因数分解の公式
４）増減表が書けること
５）増減表より y = a の個数が分かること
以上の５点が問題を解くための必要な知識になります。
＜第４問＞
xy 平面上で、連立不等式
x ≦ |2| ・・・①
y ≧ x ・・・②
y ≦ |(3/4)x2 - 3| - 2 ・・・③
を満たす領域の面積を求めよ。
＜解答＞
＜絶対値について＞
絶対値は、数の大きさを表す
0 ≦ a のとき、x ≦ |a| ⇔ -a ≦ x ≦ a
①より
x ≦ 2 ⇔ -2 ≦ x ≦ 2
③より
y = |(3/4)x2 - 3| - 2 を考える。
＜絶対値の関数について＞
|f(x)| とは
f(x) ≧ 0 のときの x の範囲（範囲①） ⇔ y = f(x)：①の範囲
f(x) ＜ 0 のときの x の負の範囲（範囲②） ⇔ y = -f(x)：②の範囲
(3/4)x2 - 3 = 0 を解くと
⇔ (3/4)x2 = 3
⇔ x2 = 4
⇔ x = -2, 2
() (3/4)x2 - 3 ≧ 0 ⇔ x ≦ -2 かつ 2 ≦ x
() (3/4)x2 - 3 ＜ 0 ⇔ -2 ＜ x ＜ 2
よって
() x ≦ -2 かつ 2 ≦ x のとき
y = |(3/4)x2 - 3| - 2
y = (3/4)x2 - 3 - 2
y = (3/4)x2 - 5
() -2 ＜ x ＜ 2 のとき
y = |(3/4)x2 - 3| - 2
y = -((3/4)x2 - 3) - 2
y = -(3/4)x2 + 1
①、②、()、()より、グラフは次のようになります。
＜因数分解の公式＞
acx2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d)
組み立て除法を使う。
②と() の交点は、
x = -(3/4)x2 + 1
⇔ (3/4)x2 + x - 1 = 0
⇔ 3x2 - 4x + 4 = 0
⇔ (x + 2)(3x - 2) = 0
⇔ x = -2, 2/3
＜２次方程式の解と係数の関係＞
ax2 + bx + c = 0 の解を、α、β（α≦β）とおくと ※数学Ⅱなので、α、βは実数として、不等式を書いています。
ax2 + bx + c = a(x - α)(x - β) と書ける
α + β = -b/a, α・β = c/a が成り立つ
＜２次関数と直線の交点の関係＞
y = ax2 + bx + c と y = mx + n の交点を、α、β（α≦β）とおくと
ax2 + bx + c = mx + n ⇔ ax2 + (b - m)x + (c - n) = 0 ⇔ a(x - α)(x - β)
上記の２次方程式の解と係数の関係より、解と交点が同じことを意味します。
＜積分の定積分の公式＞
∫ [β → α] a(x - α)(x - β)dx = |a|(α - β)3/6
次の積分の公式は、使わないが基礎知識として必要
∫ xndx = xn + 1/(n + 1) + C (n ≠ -1、C は積分定数)
求める領域を、面積 S とすると
S = ∫ [-2 → 2/3] {-(3/4)x2 + 1}dx - ∫ [-2 → 2/3] xdx
= ∫ [-2 → 2/3] {-(3/4)x2 -x + 1}dx
※解と係数の関係より
= ∫ [-2 → 2/3] {-(3/4)(x + 2)(x - 2/3)}dx
※積分の定積分の公式より
= |-3/4|(2/3 - (-2))3/6
= (3/4)・(8/3)3/6
= 64/27 ..... Ans
＜第４問のまとめ＞
１）絶対値についての理解
２）絶対値の関数についての理解
３）解と係数の関係について
４）積分の定積分の公式
以上の４点が問題を解くための必要な知識になります。
＜（一般の方向け）問題の大まかな流れ＞
とりあえず、難しい式はありますが、大まかな流れを説明したいと思います。
＜第３問＞
実数 a が変化するとき、３次関数 y = x3 - 4x2 + 6x と直線 y = x + a のグラフの交点の個数はどのように変化するか、a の値によって分類せよ。
（第３問の説明）
第３問は、２つのグラフから、変数a によって、交わる個数が異なるので、変数a は、どんな時に、交わる個数が異なるのか？
その時の変数a の条件を求めてくださいという問題です。
（解説）
まずは、式変形をします。
y = x3 - 4x2 + 6x と y = x + a
⇔
y = x3 - 4x2 + 5x と y = a
y = x3 - 4x2 + 5x のグラフの性質を微分法で調べます。
調べた結果が、増減表より分かります。
次の１）⇒２）⇒３）の順番です。
１）微分法
f(x) = x3 - 4x2 + 5x
f'(x) = 3x2 - 8x + 5
f'(x) よりグラフの凹凸が分かります。
グラフの凹凸より増減表が書けます。
２）増減表
f(1) = 2
f(5/3) = 50/27 より
f(x) | ↑ f(1) ↓ f(5/3) ↑ より
f(x) | ↑ 2 ↓ 50/27 ↑ より
１）、２）のグラフの性質より
３）増減表より個数が分かります。
a が１個、２個、３個と分かれることが分かります。
＜第４問＞
xy 平面上で、連立不等式
x ≦ |2| ・・・①
y ≧ x ・・・②
y ≦ |(3/4)x2 - 3| - 2 ・・・③
を満たす領域の面積を求めよ。
（第４問の説明）
不等式で表現することによって、領域がある面積になります。
その時の面積を求めます。
（解説）
絶対値の理解が必要ですが、次のグラフになります。
x = -2 ⇒ x = 2/3 の範囲の２つのグラフ、y = -(3/4)x2 + 1 と y = x の間にある領域の面積を求めます。
グラフの面積の領域を求める場合に、積分の定積分の公式を使います。
S = ∫ [-2 → 2/3] {-(3/4)x2 + 1}dx - ∫ [-2 → 2/3] xdx
S = 64/27
不等式から、ある領域が分かります。
グラフで領域を表すので、その領域の面積を、積分で求めます。
さて、京大の文系数学を「普通の解説」と「一般向けの解説」をしました。
このような数学が、社会ではどんなことに役に立つのかが分かりませんね。
社会に役に立たないなら、勉強をしない方がいいと思います。
実際に、文系の方ならば、高校で数学を学習したら、社会人になって使う機会は、ほとんどないと思います。
科学の発展している分野からすると、文系の数学は、基礎の基礎の程度しかありません。
重力の落下の速度を求める場合には、微分法の理論が必要になります。
ケプラーの法則（第２法則）のときに、太陽と惑星の関係を調べるとき、惑星の速度と、移動した時の面積が等しいという関係が成立します。
この時の面積を求める時に、積分を使います。
すごく、平たくにいうと、ロケットを打ち上げるのに、微分法、積分法の数学を使うということになります。
最近は、GPS の機能を色々な場面で目にすることがありますが、科学の発展に役に立っています。
GPS の衛星などを打ち上げるまでの理論では、微分法、積分法の理論が見えない部分で使われていると思います。
なので、文系数学のすごい発展の理論が、現在の科学の発展の一部だと考えれば、良いと思います。
センター入試の数学の解説です。
数学Ⅰ・A
第１問（数式・集合と論理）
第２問（２次関数）
第３問（三角比・平面図形）
数学Ⅱ・B
第１問（三角関数と指数・対数関数）
第２問（微分法・積分法）
第３問（数列）
第４問（空間ベクトル）
数学Ⅰ・A
第１問（数式・集合と論理）
第２問（２次関数）
第３問（三角比・平面図形）
数学Ⅱ・B
第１問（三角関数と指数・対数関数）
第２問（微分法・積分法）
第３問（数列）
第４問（空間ベクトル）
＜第４問＞
四角錐OABCD において、三角形OBC と 三角形OAD は合同で、OB = 1、BC = 2、OC = √3 であり。
底面の四角形ABCD は長方形である。
AB = 2r とおき、OA = a、OB = b、OC = cとおく。
＜条件より＞
△OBC ≡ △OAD より
OA = OB = 1
OC = OD = √3
長方形ABCDより
AD = BC = 2
AB = CD = 2r
OD を、a、b、c を用いて表すと
OD = OB + BD
OD = OB + BA + BC
OD = OB + (OA - OB) + (OC - OB)
OD = OA - OB + OC
OD = a - b + c ・・・（ア・イ）
である。
OD を 1 : 2 に内分する点をL とすると
OL = OD/3 = a/3 - b/3 + c/3
AL = OL - OA
AL = (a/3 - b/3 + c/3) - a
AL = -2a/3 - b/3 + c/3 ・・・（ウ・エ・オ・カ）
となる。
さらに辺OB の中点をM、３点A、L、M の定める平面をαとし、平面α と辺OC との交点を N とする。
OM = b/2
点N は平面α上にあることから、AN は実数s、t を用いてAN = sAL + tAM と表されるので、
AN = sAL + tAM
⇔ (ON - OA) = s(OL - OA) + t(OM - OA)
⇔ ON = OA + sOL - sOA + tOM - tOA
⇔ ON = a + s(a/3 - b/3 + c/3) - sa + tb/2 - ta
⇔ ON = (1 - 2s/3 - t)a + (-s/3 + t/2)b + sc/3 ・・・（キ・ク・ケ・コ・サ・シ）
となる。
一方、点N は辺OC 上にある。
これらから、ON = (1 - 2s/3 - t)a + (-s/3 + t/2)b + sc/3
1 - 2s/3 - t = 0 ⇔ 3 - 2s - 3t = 0 ・・・①
-s/3 + t/2 ⇔ -2s + 3t = 0 ・・・②
① + ② より
3 - 4s = 0 ⇔ s = 3/4
より
ON = (3/4)・(c/3) = c/4 = (1/4)c ・・・（ス・セ）
となる。
また、
|AB|2 = (2r)2
⇔ |OB - OA|2 = 4r2
⇔ |OB|2 - 2OB・OA + |OA|2 = 4r2
⇔ 1 - 2a・b + 1 = 4r2
⇔ 2a・b = 2 - 4r2
⇔ a・b = 1 - 2r2 ・・・（ソ・タ）
|BC|2 = 22
⇔ |OC - OB|2 = 4
⇔ |OC|2 - 2OC・OB + |OB|2 = 4
⇔ 3 - 2b・c + 1 = 4
⇔ 2a・b = 0
⇔ a・b = 0 ・・・（チ）
|CA|2 = (√((2r)2 + 22)2
⇔ |OA - OC|2 = 4r2 + 4
⇔ |OA|2 - 2OA・OC + |OC|2 = 4r2 + 4
⇔ 1 - 2a・c + 3 = 4r2 + 4
⇔ 2a・b = -4r2
⇔ a・b = -2r2 ・・・（ツ・テ）
である。
よって、AM、MNを計算すると
AM・MN = (OM - OA)・(ON - OM)
AM・MN = (b/2 - a)・(c/4 - b/2)
AM・MN = (1/8)・(b - 2a)・(c - 2b)
AM・MN = (1/8)・(b・c - 2|b|2 - 2a・c - 4a・b)
AM・MN = (1/8)・(0 - 2 + 4r2 + (4 - 8r2))
AM・MN = (1/8)・(2 - 4r2)
AM・MN = 0 より
2 - 4r2 = 0 ⇔ r2 = 1/2
r ＞ 0 より r = 1/(√2)
AB = 2r = 2/(√2) = √2 ・・・（ト）
のとき、直線AM と直線MN は垂直になることがわかる。
四角錐OABCD において、三角形OBC と 三角形OAD は合同で、OB = 1、BC = 2、OC = √3 であり。
底面の四角形ABCD は長方形である。
AB = 2r とおき、OA = a、OB = b、OC = cとおく。
＜条件より＞
△OBC ≡ △OAD より
OA = OB = 1
OC = OD = √3
長方形ABCDより
AD = BC = 2
AB = CD = 2r
OD を、a、b、c を用いて表すと
OD = OB + BD
OD = OB + BA + BC
OD = OB + (OA - OB) + (OC - OB)
OD = OA - OB + OC
OD = a - b + c ・・・（ア・イ）
である。
OD を 1 : 2 に内分する点をL とすると
OL = OD/3 = a/3 - b/3 + c/3
AL = OL - OA
AL = (a/3 - b/3 + c/3) - a
AL = -2a/3 - b/3 + c/3 ・・・（ウ・エ・オ・カ）
となる。
さらに辺OB の中点をM、３点A、L、M の定める平面をαとし、平面α と辺OC との交点を N とする。
OM = b/2
点N は平面α上にあることから、AN は実数s、t を用いてAN = sAL + tAM と表されるので、
AN = sAL + tAM
⇔ (ON - OA) = s(OL - OA) + t(OM - OA)
⇔ ON = OA + sOL - sOA + tOM - tOA
⇔ ON = a + s(a/3 - b/3 + c/3) - sa + tb/2 - ta
⇔ ON = (1 - 2s/3 - t)a + (-s/3 + t/2)b + sc/3 ・・・（キ・ク・ケ・コ・サ・シ）
となる。
一方、点N は辺OC 上にある。
これらから、ON = (1 - 2s/3 - t)a + (-s/3 + t/2)b + sc/3
1 - 2s/3 - t = 0 ⇔ 3 - 2s - 3t = 0 ・・・①
-s/3 + t/2 ⇔ -2s + 3t = 0 ・・・②
① + ② より
3 - 4s = 0 ⇔ s = 3/4
より
ON = (3/4)・(c/3) = c/4 = (1/4)c ・・・（ス・セ）
となる。
また、
|AB|2 = (2r)2
⇔ |OB - OA|2 = 4r2
⇔ |OB|2 - 2OB・OA + |OA|2 = 4r2
⇔ 1 - 2a・b + 1 = 4r2
⇔ 2a・b = 2 - 4r2
⇔ a・b = 1 - 2r2 ・・・（ソ・タ）
|BC|2 = 22
⇔ |OC - OB|2 = 4
⇔ |OC|2 - 2OC・OB + |OB|2 = 4
⇔ 3 - 2b・c + 1 = 4
⇔ 2a・b = 0
⇔ a・b = 0 ・・・（チ）
|CA|2 = (√((2r)2 + 22)2
⇔ |OA - OC|2 = 4r2 + 4
⇔ |OA|2 - 2OA・OC + |OC|2 = 4r2 + 4
⇔ 1 - 2a・c + 3 = 4r2 + 4
⇔ 2a・b = -4r2
⇔ a・b = -2r2 ・・・（ツ・テ）
である。
よって、AM、MNを計算すると
AM・MN = (OM - OA)・(ON - OM)
AM・MN = (b/2 - a)・(c/4 - b/2)
AM・MN = (1/8)・(b - 2a)・(c - 2b)
AM・MN = (1/8)・(b・c - 2|b|2 - 2a・c - 4a・b)
AM・MN = (1/8)・(0 - 2 + 4r2 + (4 - 8r2))
AM・MN = (1/8)・(2 - 4r2)
AM・MN = 0 より
2 - 4r2 = 0 ⇔ r2 = 1/2
r ＞ 0 より r = 1/(√2)
AB = 2r = 2/(√2) = √2 ・・・（ト）
のとき、直線AM と直線MN は垂直になることがわかる。
＜第３問＞
数直線上で点P に実数a が対応しているとき、a を点P の座標といい、座標が a である点P を P(a) で表す。
数直線上に点P1(1)、P2(2) をとる。
線分P1P2を 3:1 に内分する点を P3とする。
一般に、自然数n に対して、線分PnPn + 1 を 3:1 に内分する点を Pn + 2とする。
点Pn の座標を xn とする。
x1 = 1、x2 = 2 であり、
x3 = (1・x1 + 3・x2)/(3 + 1) = (1 + 6)/4 = 7/4 ・・・（ア・イ）
である。
数列{xn} の一般項を求めるために、この数列の階差数列を考えよう。
自然数n に対して、
yn = xn + 1 - xn
とする。
y1 = x2 - x1 = 2 - 1 = 1 ・・・（ウ）
線分PnPn + 1 を 3:1 に内分する点を Pn + 2より
xn + 2 = (1・xn + 3・xn + 1)/(3 + 1)
⇔ 4xn + 2 = xn + 3xn + 1
両辺に -4xn + 1 を足すと
⇔ 4xn + 2 - 4xn + 1 = - xn + 1 + xn
⇔ 4(xn + 2 - xn + 1) = -(xn + 1 + xn)
yn = xn + 1 - xn より
⇔ 4yn + 1 = -yn
⇔ yn + 1 = (-1/4)・yn ・・・（エ・オ・カ）
(n = 1、2、3、・・・）
したがって、yn = arn - 1 = 1・(-1/4)n - 1 = (-1/4)n - 1 ・・・(0)（キ）
(n = 1、2、3、・・・）
yn = xn + 1 - xn より
y1 + y2 +..... + yn - 2 + yn - 1 =
(x2 - x1) + (x3 - x2) + ..... + (xn - 1 - xn - 3) + (xn - xn - 1)
⇔ y1 +..... + yn - 1 = xn - x1
⇔ xn = x1 + (y1 +..... + yn - 1)
⇔ xn = x1 + (a + ar + ..... + arn - 3 + arn - 2)
⇔ xn = x1 + a(1 - rn - 1)/(1 - r)
⇔ xn = 1 + 1・(1 - (-1/4)n - 1)/(1 - (-1/4))
⇔ xn = 1 + (1 - (-1/4)n - 1)・(4/5)
⇔ xn = 9/5 -(4/5)・(-1/4)n - 1 ・・・（ク・ケ・コ・(0) サ）
(n = 1、2、3、・・・）
次に、自然数n に対してSn = Σ [k:1 → n] k|yn| を求めよう。
r = |-1/4| = 1/4
とおくと
|yn| = |(-1/4)n - 1| = (1/4)n - 1 = rn - 1
Sn = 1・|y1| + 2・|y2| + ..... + (n - 1)・|yn - 1| + n・|yn|
Sn = 1 + 2r + ..... + (n - 1)rn - 2 + nrn - 1
rSn = r + 2r2 + ..... + (n - 1)rn - 1 + nrn
よって、
Sn - rSn = 1 + r + ..... + rn - 1 - nrn
Sn - rSn = Σ [k:1 → n] rn - 1 - nrn ・・・（シ・ス）
であり、したがって
(1 - r)Sn = (1 - rn)/(1 - r) - nrn
Sn = (1 - rn)/(1 - r)2 - nrn/(1 - r)
r = 1/4 より
Sn = (1 - (1/4)n)/(1 - (1/4))2 - n(1/4)n/(1 - (1/4))
Sn = (1 - (1/4)n)/(3/4)2 - n(1/4)n/(3/4)
Sn = (16/4)・(1 - (1/4)n) - (n/3)・(1/4)n - 1 ・・・（セ・ソ・タ・チ・ツ・テ・ト・ナ）
数直線上で点P に実数a が対応しているとき、a を点P の座標といい、座標が a である点P を P(a) で表す。
数直線上に点P1(1)、P2(2) をとる。
線分P1P2を 3:1 に内分する点を P3とする。
一般に、自然数n に対して、線分PnPn + 1 を 3:1 に内分する点を Pn + 2とする。
点Pn の座標を xn とする。
x1 = 1、x2 = 2 であり、
x3 = (1・x1 + 3・x2)/(3 + 1) = (1 + 6)/4 = 7/4 ・・・（ア・イ）
である。
数列{xn} の一般項を求めるために、この数列の階差数列を考えよう。
自然数n に対して、
yn = xn + 1 - xn
とする。
y1 = x2 - x1 = 2 - 1 = 1 ・・・（ウ）
線分PnPn + 1 を 3:1 に内分する点を Pn + 2より
xn + 2 = (1・xn + 3・xn + 1)/(3 + 1)
⇔ 4xn + 2 = xn + 3xn + 1
両辺に -4xn + 1 を足すと
⇔ 4xn + 2 - 4xn + 1 = - xn + 1 + xn
⇔ 4(xn + 2 - xn + 1) = -(xn + 1 + xn)
yn = xn + 1 - xn より
⇔ 4yn + 1 = -yn
⇔ yn + 1 = (-1/4)・yn ・・・（エ・オ・カ）
(n = 1、2、3、・・・）
したがって、yn = arn - 1 = 1・(-1/4)n - 1 = (-1/4)n - 1 ・・・(0)（キ）
(n = 1、2、3、・・・）
yn = xn + 1 - xn より
y1 + y2 +..... + yn - 2 + yn - 1 =
(x2 - x1) + (x3 - x2) + ..... + (xn - 1 - xn - 3) + (xn - xn - 1)
⇔ y1 +..... + yn - 1 = xn - x1
⇔ xn = x1 + (y1 +..... + yn - 1)
⇔ xn = x1 + (a + ar + ..... + arn - 3 + arn - 2)
⇔ xn = x1 + a(1 - rn - 1)/(1 - r)
⇔ xn = 1 + 1・(1 - (-1/4)n - 1)/(1 - (-1/4))
⇔ xn = 1 + (1 - (-1/4)n - 1)・(4/5)
⇔ xn = 9/5 -(4/5)・(-1/4)n - 1 ・・・（ク・ケ・コ・(0) サ）
(n = 1、2、3、・・・）
次に、自然数n に対してSn = Σ [k:1 → n] k|yn| を求めよう。
r = |-1/4| = 1/4
とおくと
|yn| = |(-1/4)n - 1| = (1/4)n - 1 = rn - 1
Sn = 1・|y1| + 2・|y2| + ..... + (n - 1)・|yn - 1| + n・|yn|
Sn = 1 + 2r + ..... + (n - 1)rn - 2 + nrn - 1
rSn = r + 2r2 + ..... + (n - 1)rn - 1 + nrn
よって、
Sn - rSn = 1 + r + ..... + rn - 1 - nrn
Sn - rSn = Σ [k:1 → n] rn - 1 - nrn ・・・（シ・ス）
であり、したがって
(1 - r)Sn = (1 - rn)/(1 - r) - nrn
Sn = (1 - rn)/(1 - r)2 - nrn/(1 - r)
r = 1/4 より
Sn = (1 - (1/4)n)/(1 - (1/4))2 - n(1/4)n/(1 - (1/4))
Sn = (1 - (1/4)n)/(3/4)2 - n(1/4)n/(3/4)
Sn = (16/4)・(1 - (1/4)n) - (n/3)・(1/4)n - 1 ・・・（セ・ソ・タ・チ・ツ・テ・ト・ナ）
＜第２問＞
座標平面上で、放物線 y = x2 をC とする。
曲線C 上の点P の x座標を a とする。
点P におけるC の接線l の方程式は、
y = x2 より
y' = 2x
===== 公式 =====
y = xn
y' = nxn - 1
===== 公式 =====
===== 公式 =====
y = f(x) より y' = f'(x)
点(a, f(a)) の接線の方程式は
y - f(a) = f'(a)(x - a)
===== 公式 =====
y - a2 = 2a(x - a)
y = 2ax - a2 ・・・（ア・イ・ウ）
である。
a ≠ 0 のとき直線l がx 軸と交わる点をQ とすると、Q の座標は、
y = 0 より
2ax - a2 = 0 ⇔ 2ax = a2 ⇔ x = a/2 （∵a ≠ 0)
Q(a/2, 0) ・・・（エ・オ・カ）
である。
a ＞ 0 のとき、曲線C と直線l および x軸で囲まれた図形の面積をS とすると
===== 公式 =====
∫xndx = xn + 1/(n + 1) （ただし n ≠ -1）
n ＝ -1 は数学Ⅲ・Cの公式なので、割愛します。
===== 公式 =====
S = ∫ [0 → a] x2dx - ∫ [a/2 → a] (2ax - a2)dx
= [x3/3] [0 → a] - [ax2 - a2x] [a/2 → a]
= (a3/3) - ((a3 - a3) - (a3/4 - a3/2))
= a3/3 - a3/4
= a3/12 ・・・（キ・ク・ケ）
である。
a ＜ 2 のとき、曲線C と直線l および直線x ＝ 2 で囲まれた図形の面積をT とすると
T = ∫ [a → 2] x2dx - ∫ [a → 2] (2ax - a2)dx
= ∫ [a → 2] (x2 - 2ax + a2)dx
= ∫ [a → 2] (x - a)2dx
= [(x - a)3/3] [a → 2]
= (2 - a)3/3 ・・・①
= (8 - 12a + 6a2 - a3)/3
= -a3/3 + 2a2 - 4a + 8/3 ・・・（コ・サ・シ・ス・セ）
a ＝ 0 のときはS = 0、a ＝ 2 のときはT = 0であるとして、
0 ≦ a ≦ 2 に対して U = S + T とおくと。
U(a) = S(a) + T(a) より
U(a) = a3/12 + (-a3/3 + 2a2 - 4a + 8/3)
U(a) = -a3/4 + 2a2 - 4a + 8/3
U'(a) = -3a2/4 + 4a - 4 (a で微分)
U'(a) = 0 より
-3a2/4 + 4a - 4 = 0 ⇔ 3a2 - 16a + 16 = 0 ⇔ (a - 4)(3a - 4) = 0 ⇔ a = 4, 4/3
増減表より
a : 0 (-) 3/4 (+) 2 (+) 4 (-)
①より
U(a) = a3/12 + (2 - a)3/3
最大値は、a = 0、a = 2 のどちらか。
(i) a = 0 のとき
U(0) = 23/3 = 8/3
(ii) a = 2 のとき
U(2) = 23/12 = 8/12 = 2/3
よって、U(0) ＞ U(2)
最小値は、a = 4/3 より
U(4/3) = (4/3)3/12 + (2 - 4/3)3/3
= 64/(27・12) + (2/3)3/3
= 64/(27・12) + 8/(27・3)
= (64/4 + 8)/(27・3)
= (16 + 8)/(27・3)
= (24)/(27・3)
= 8/27
最大値 a = 0 のとき U(0) = 23/3 = 8/3
最小値 a = 4/3 のとき U(4/3) 8/27
座標平面上で、放物線 y = x2 をC とする。
曲線C 上の点P の x座標を a とする。
点P におけるC の接線l の方程式は、
y = x2 より
y' = 2x
===== 公式 =====
y = xn
y' = nxn - 1
===== 公式 =====
===== 公式 =====
y = f(x) より y' = f'(x)
点(a, f(a)) の接線の方程式は
y - f(a) = f'(a)(x - a)
===== 公式 =====
y - a2 = 2a(x - a)
y = 2ax - a2 ・・・（ア・イ・ウ）
である。
a ≠ 0 のとき直線l がx 軸と交わる点をQ とすると、Q の座標は、
y = 0 より
2ax - a2 = 0 ⇔ 2ax = a2 ⇔ x = a/2 （∵a ≠ 0)
Q(a/2, 0) ・・・（エ・オ・カ）
である。
a ＞ 0 のとき、曲線C と直線l および x軸で囲まれた図形の面積をS とすると
===== 公式 =====
∫xndx = xn + 1/(n + 1) （ただし n ≠ -1）
n ＝ -1 は数学Ⅲ・Cの公式なので、割愛します。
===== 公式 =====
S = ∫ [0 → a] x2dx - ∫ [a/2 → a] (2ax - a2)dx
= [x3/3] [0 → a] - [ax2 - a2x] [a/2 → a]
= (a3/3) - ((a3 - a3) - (a3/4 - a3/2))
= a3/3 - a3/4
= a3/12 ・・・（キ・ク・ケ）
である。
a ＜ 2 のとき、曲線C と直線l および直線x ＝ 2 で囲まれた図形の面積をT とすると
T = ∫ [a → 2] x2dx - ∫ [a → 2] (2ax - a2)dx
= ∫ [a → 2] (x2 - 2ax + a2)dx
= ∫ [a → 2] (x - a)2dx
= [(x - a)3/3] [a → 2]
= (2 - a)3/3 ・・・①
= (8 - 12a + 6a2 - a3)/3
= -a3/3 + 2a2 - 4a + 8/3 ・・・（コ・サ・シ・ス・セ）
a ＝ 0 のときはS = 0、a ＝ 2 のときはT = 0であるとして、
0 ≦ a ≦ 2 に対して U = S + T とおくと。
U(a) = S(a) + T(a) より
U(a) = a3/12 + (-a3/3 + 2a2 - 4a + 8/3)
U(a) = -a3/4 + 2a2 - 4a + 8/3
U'(a) = -3a2/4 + 4a - 4 (a で微分)
U'(a) = 0 より
-3a2/4 + 4a - 4 = 0 ⇔ 3a2 - 16a + 16 = 0 ⇔ (a - 4)(3a - 4) = 0 ⇔ a = 4, 4/3
増減表より
a : 0 (-) 3/4 (+) 2 (+) 4 (-)
①より
U(a) = a3/12 + (2 - a)3/3
最大値は、a = 0、a = 2 のどちらか。
(i) a = 0 のとき
U(0) = 23/3 = 8/3
(ii) a = 2 のとき
U(2) = 23/12 = 8/12 = 2/3
よって、U(0) ＞ U(2)
最小値は、a = 4/3 より
U(4/3) = (4/3)3/12 + (2 - 4/3)3/3
= 64/(27・12) + (2/3)3/3
= 64/(27・12) + 8/(27・3)
= (64/4 + 8)/(27・3)
= (16 + 8)/(27・3)
= (24)/(27・3)
= 8/27
最大値 a = 0 のとき U(0) = 23/3 = 8/3
最小値 a = 4/3 のとき U(4/3) 8/27
＜第１問＞
[1] -π/2 ≦ θ ≦ 0 のとき、関数
y = cos2θ + √3sin2θ - 2√3cosθ - 2sinθ
の最小値を求めよう。
t = sinθ + √3cosθ とおくと
t2 = (sinθ + √3cosθ)2
t2 = sin2θ + 2√3sinθcosθ + 3cos2θ
sin2θ + cos2θ = 1 より
t2 = 2cos2θ + 2√3sinθcosθ + 1 ・・・（ア・イ・ウ・エ）
であるから、
２倍角の公式より
sin2θ = 2sinθcosθ
cos2θ = cos2θ - sin2θ = 2cos2θ - 1
よって、
2sinθcosθ = sin2θ
2cos2θ = cos2θ + 1
より
t2 = (cos2θ + 1) + √3(sin2θ) + 1
t2 = cos2θ + √3sin2θ + 2
より
y = cos2θ + √3sin2θ - 2√3cosθ - 2sinθ
y = (cos2θ + √3sin2θ) - 2(√3cosθ + sinθ)
y = (t2 - 2) - 2t
y = t2 - 2t - 2 ・・・（オ・カ）
また、合成関数の公式より
t = sinθ + √3cosθ = √(12 + (√3)2)sin(θ + π/3)
t = 2sin(θ + π/3) ・・・（キ・ク）
である。
θ + π/3 のとり得る値の範囲は、-π/2 ≦ θ ≦ 0 より
-π/2 + π/3 ≦ θ + π/3 ≦ π/3 ⇔ -π/6 ≦ θ + π/3 ≦ π/3 ・・・（ケ）
であるから、t のとり得る値の範囲は、
2sin(-π/6) ≦ t ≦ 2sin(π/3) ⇔ 2・(-1/2) ≦ t ≦ 2・(√3/2) ⇔ -1 ≦ t ≦ √3 ・・・（コ・サ・シ）
したがって、
y = t2 - 2t - 2 = t2 - 2t + 1 - 1 - 2
y = (t - 1)2 - 3
-1 ≦ t ≦ √3 より t = 1 ・・・（ス）
すなわち
t = 2sin(θ + π/3) より
2sin(θ + π/3) = 1 ⇔ sin(θ + π/3) = 1/2 ⇔ θ + π/3 = π/6 ⇔ θ = -π/6 ・・・（セ）
t = 1 のとき y = -3 より最小値 -3 ・・・（ソ・タ）
をとる。
[2] 自然数 x で、条件
12(log2√x)2 - 7log4x - 10 ＞ 0 ・・・①
x + log3x ＜ 14 ・・・②
を満たすものを求めよう。
まず、x を正の実数として、条件①を考える。
①は X = log2x とおくと
①より
12(log2√x)2 - 7log4x - 10 ＞ 0
⇔ 12((1/2)・log2x)2 - 7・(log2x/log24) - 10 ＞ 0
⇔ 3(log2x)2 - 7/2・log2x - 10 ＞ 0
⇔ 3X2 - 7X/2 - 10 ＞ 0
⇔ 6X2 - 7X - 20 ＞ 0 ・・・（チ・ツ・テ）
となる。
この不等式を解くと
⇔ (3X + 4)(2X - 5) ＞ 0
⇔ X ＜ -4/3, 5/2 ＜ X ・・・（ト・ナ・ニ・ヌ）
となる。
したがって、条件①を満たす最小の自然数x は、6 （ネ）であり、6 以上のすべての自然数 x は①を満たす。
次の、条件②について考えると、
x + log3x ＜ 14
⇔ xlog33 + log3x ＜ 14log33
⇔ log33x + log3x ＜ log3314
⇔ log3(3x・x) ＜ log3314
⇔ 3x・x ＜ 314
⇔ x ＜ 314 - x
x = 9(= 32) の時、9 ＜ 35(= 243) 不等号が成り立つ
x = 27(= 33) の時、9 ＜ 3-13 不等号が成り立たない
x = 10 の時、10 ＜ 34(= 81) 不等号が成り立つ
x = 11 の時、11 ＜ 33(= 27) 不等号が成り立つ
x = 12 の時、12 ＜ 32(= 9) 不等号が成り立たない
②を満たす最大の自然数 x は、11（ノ・ハ）であり、11 以下のすべての自然数 x は②を満たす。
したがって、求める x は 6以上 11以下の自然数である。
[1] -π/2 ≦ θ ≦ 0 のとき、関数
y = cos2θ + √3sin2θ - 2√3cosθ - 2sinθ
の最小値を求めよう。
t = sinθ + √3cosθ とおくと
t2 = (sinθ + √3cosθ)2
t2 = sin2θ + 2√3sinθcosθ + 3cos2θ
sin2θ + cos2θ = 1 より
t2 = 2cos2θ + 2√3sinθcosθ + 1 ・・・（ア・イ・ウ・エ）
であるから、
２倍角の公式より
sin2θ = 2sinθcosθ
cos2θ = cos2θ - sin2θ = 2cos2θ - 1
よって、
2sinθcosθ = sin2θ
2cos2θ = cos2θ + 1
より
t2 = (cos2θ + 1) + √3(sin2θ) + 1
t2 = cos2θ + √3sin2θ + 2
より
y = cos2θ + √3sin2θ - 2√3cosθ - 2sinθ
y = (cos2θ + √3sin2θ) - 2(√3cosθ + sinθ)
y = (t2 - 2) - 2t
y = t2 - 2t - 2 ・・・（オ・カ）
また、合成関数の公式より
t = sinθ + √3cosθ = √(12 + (√3)2)sin(θ + π/3)
t = 2sin(θ + π/3) ・・・（キ・ク）
である。
θ + π/3 のとり得る値の範囲は、-π/2 ≦ θ ≦ 0 より
-π/2 + π/3 ≦ θ + π/3 ≦ π/3 ⇔ -π/6 ≦ θ + π/3 ≦ π/3 ・・・（ケ）
であるから、t のとり得る値の範囲は、
2sin(-π/6) ≦ t ≦ 2sin(π/3) ⇔ 2・(-1/2) ≦ t ≦ 2・(√3/2) ⇔ -1 ≦ t ≦ √3 ・・・（コ・サ・シ）
したがって、
y = t2 - 2t - 2 = t2 - 2t + 1 - 1 - 2
y = (t - 1)2 - 3
-1 ≦ t ≦ √3 より t = 1 ・・・（ス）
すなわち
t = 2sin(θ + π/3) より
2sin(θ + π/3) = 1 ⇔ sin(θ + π/3) = 1/2 ⇔ θ + π/3 = π/6 ⇔ θ = -π/6 ・・・（セ）
t = 1 のとき y = -3 より最小値 -3 ・・・（ソ・タ）
をとる。
[2] 自然数 x で、条件
12(log2√x)2 - 7log4x - 10 ＞ 0 ・・・①
x + log3x ＜ 14 ・・・②
を満たすものを求めよう。
まず、x を正の実数として、条件①を考える。
①は X = log2x とおくと
①より
12(log2√x)2 - 7log4x - 10 ＞ 0
⇔ 12((1/2)・log2x)2 - 7・(log2x/log24) - 10 ＞ 0
⇔ 3(log2x)2 - 7/2・log2x - 10 ＞ 0
⇔ 3X2 - 7X/2 - 10 ＞ 0
⇔ 6X2 - 7X - 20 ＞ 0 ・・・（チ・ツ・テ）
となる。
この不等式を解くと
⇔ (3X + 4)(2X - 5) ＞ 0
⇔ X ＜ -4/3, 5/2 ＜ X ・・・（ト・ナ・ニ・ヌ）
となる。
したがって、条件①を満たす最小の自然数x は、6 （ネ）であり、6 以上のすべての自然数 x は①を満たす。
次の、条件②について考えると、
x + log3x ＜ 14
⇔ xlog33 + log3x ＜ 14log33
⇔ log33x + log3x ＜ log3314
⇔ log3(3x・x) ＜ log3314
⇔ 3x・x ＜ 314
⇔ x ＜ 314 - x
x = 9(= 32) の時、9 ＜ 35(= 243) 不等号が成り立つ
x = 27(= 33) の時、9 ＜ 3-13 不等号が成り立たない
x = 10 の時、10 ＜ 34(= 81) 不等号が成り立つ
x = 11 の時、11 ＜ 33(= 27) 不等号が成り立つ
x = 12 の時、12 ＜ 32(= 9) 不等号が成り立たない
②を満たす最大の自然数 x は、11（ノ・ハ）であり、11 以下のすべての自然数 x は②を満たす。
したがって、求める x は 6以上 11以下の自然数である。