＜問題＞
１辺が10（2a)の正方形ABCDがあります。
正方形ABCDに内接する半径5（a）の円（M）があります。
辺AB、辺BC、辺CD、辺DAと円（M)の交点を点P、点Q、点R、点Sとします。
正方形ABCDに内接する中心Cの半径10（2a）の1/4の円（N）があります。
円（M）と円(N）の交点を辺ABの左側を点I、辺DAの右側を点Jとします。
求める面積Sは次の通りです。
面積S = 図形APSの面積 + 図形PBIの面積 + 図形SDJ面積
この面積を中学生の範囲での解き方が分かりません。
図形PBIの面積 = 図形SDJの面積 (= 図形Xの面積 とおくと)
円(M)の半径5のとき
面積S = 25(1-π/4) + 2×図形Xの面積
円(M)の半径aのとき
面積S = a^2(1 - π/4) + 2×図形Xの面積
しかし、大学での積分より∫√(a^2 - x^2)dx = 1/2(x√(a^2 - x^2) + a^2arcsin(x/a))
を用いて求められるます。
中学の時に、この問題を出題されました。
当時の中学の出題者は、解けたと言っていました。
しかし、出題者からは解答の説明は受けていないので、分かりません。
今でも、中学生の範囲で解けるのかがよく分かりません。
中学生の範囲で解けますでしょうか？
中学の数学の教師に聞いてみたら、積分を使うこと言っていました。
※中学生の範囲では、解けないようです。
理由は、∠BCIが逆三角関数でしか、表せられないからだそうです。
=== 疑問 ===
１点だけ、納得が出来ない部分があります。
角度を度数表記（30°など）とします。 理由はラジアンは高校で習うため。
sin30°= 1/2
sin60°= √3/2
sin15°= sin(45°-30°) = sin45°cos30°-cos45°sin30°= (√6 - √2)/4
なので、それぞれの逆三角関数より
arcsin(1/2) = 30°
arcsin(√3/2) = 60°
arcsin((√6 - √2)/4) = 15°
問題図の円（M）の中心を 点O とすると
∠BCI、∠IOP ・・・①
∠ICJ、∠IOJ ・・・②
①は図形BPI、②は三日月図形IPSJを求める意味です。
例えば、∠BCIなどの角度が分かりやすい角度（10°、8.5°など）になった場合。
そうすると、分かりやすい角度の直角三角形を求める。
次の２点のことが、分かれば中学生でも解ける感じにも見受けられます。
１）①、②の角度が分かりやすい角度として求められる。
２）分かりやすい角度の直角三角形が求められる。
※分かる角度（30°、45°、60°など）
※分かりやすい角度（10°、8.5°など）
※分かりにくい角度（10.333...°、14.1421356...°、など）の無限小数の角度
時間がある時でも、①、②の角度を求めて見たいと思います。
