＜第３問＞
点O を中心とする円O の円周上に４点A、B、C、D がこの順にある。
四角形ABCD の辺の長さは、それぞれ、
AB = √7、BC = 2√7、CD = √3、DA = 2√3
であるとする。
(1) ∠ABC = θ、AC = x とおくと、△ABC に着目して
余弦定理
※正確には第２余弦定理 数学Ⅰ・Ａでは第１余弦定理は学習しない
x2 = AB2 + BC2 - 2・AB・BC・cosθ
x2 = (√7)2 + (2√7)2 - 2・(√7)・(2√7)・cosθ
x2 = 7 + 28 - 28cosθ
x2 = 35 - 28cosθ ・・・（ア・イ）
となる。
また、△ACD に着目して
∠ABC + ∠ADC = 180°より ∠ADC = 180°- θ
x2 = CD2 + DA2 - 2・CD・DA・cos(180°-θ)
cos(180°-θ) = -cosθより
x2 = (√3)2 + (2√3)2 + 2・(√3)・(2√3)・cosθ
x2 = 3 + 12 + 12cosθ
x2 = 15 + 12cosθ ・・・（ウ・エ）
となる。
よって、
35 - 28cosθ = 15 + 12cosθ ⇔ 40cosθ = 20 ⇔ cosθ = 1/2 ・・・（オ・カ）
x2 = 35 - 28cosθ = 35 - 14 = 21
x ＞ 0 より、x = √21 ・・・（キ・ク）
であり、円O の半径は、正弦定理より
x / (sinθ) = 2R
sin2θ + cos2θ = 1 より
sin2θ = 1 - cos2θ ⇔ sin2θ = 1 - (1/2)2 = 3/4
sinθ ＞ 0 より、sinθ = √3/2
よって、
2R = x / (sinθ) = √21 / (√3/2) = 2√7 ⇔ R = √7 ・・・（ケ）
である。
また、四角形ABCD の面積Sは、
S = (1/2)・AB・BC・sinθ + (1/2)・DC・DA・sin(180°-θ)
sin(180°-θ) = sinθより
= (1/2)・(√7)・(2√7)・sinθ + (1/2)・(√3)・(2√3)・sinθ
= 7・(√3/2) + 3・(√3/2)
= 10・(√3/2)
= 5√3 ・・・（コ・サ）
(2) 点A における円O の接線と点D における円O の接線の交点をE とすると、∠OAE = 90°（シ・ス）である。
また、線分OE と辺AD の交点を F とすると、∠AFE = 90°（セ・ソ）であり、
△OAE ∽ △OFA より
OE : OA = OA : OF ⇔ OE : √7 = √7 : OF ⇔ OE・OF = 7 ・・・（タ）
である。
さらに、辺AD の延長と線分OC の延長の交点をG とする。
点E から直線OG に垂線を下ろし、直線OG との交点をH とする。
∠OHE = ∠EFG = 90°より
4点E、G、(②H、F ・・・（チ）) は円周上にある。
したがって、
△OHE ∽ △OFG より
OE : OH = OG : OF ⇔ ⇔ OH・OG = OE・OF = 7 ・・・（ツ）
点O を中心とする円O の円周上に４点A、B、C、D がこの順にある。
四角形ABCD の辺の長さは、それぞれ、
AB = √7、BC = 2√7、CD = √3、DA = 2√3
であるとする。
(1) ∠ABC = θ、AC = x とおくと、△ABC に着目して
余弦定理
※正確には第２余弦定理 数学Ⅰ・Ａでは第１余弦定理は学習しない
x2 = AB2 + BC2 - 2・AB・BC・cosθ
x2 = (√7)2 + (2√7)2 - 2・(√7)・(2√7)・cosθ
x2 = 7 + 28 - 28cosθ
x2 = 35 - 28cosθ ・・・（ア・イ）
となる。
また、△ACD に着目して
∠ABC + ∠ADC = 180°より ∠ADC = 180°- θ
x2 = CD2 + DA2 - 2・CD・DA・cos(180°-θ)
cos(180°-θ) = -cosθより
x2 = (√3)2 + (2√3)2 + 2・(√3)・(2√3)・cosθ
x2 = 3 + 12 + 12cosθ
x2 = 15 + 12cosθ ・・・（ウ・エ）
となる。
よって、
35 - 28cosθ = 15 + 12cosθ ⇔ 40cosθ = 20 ⇔ cosθ = 1/2 ・・・（オ・カ）
x2 = 35 - 28cosθ = 35 - 14 = 21
x ＞ 0 より、x = √21 ・・・（キ・ク）
であり、円O の半径は、正弦定理より
x / (sinθ) = 2R
sin2θ + cos2θ = 1 より
sin2θ = 1 - cos2θ ⇔ sin2θ = 1 - (1/2)2 = 3/4
sinθ ＞ 0 より、sinθ = √3/2
よって、
2R = x / (sinθ) = √21 / (√3/2) = 2√7 ⇔ R = √7 ・・・（ケ）
である。
また、四角形ABCD の面積Sは、
S = (1/2)・AB・BC・sinθ + (1/2)・DC・DA・sin(180°-θ)
sin(180°-θ) = sinθより
= (1/2)・(√7)・(2√7)・sinθ + (1/2)・(√3)・(2√3)・sinθ
= 7・(√3/2) + 3・(√3/2)
= 10・(√3/2)
= 5√3 ・・・（コ・サ）
(2) 点A における円O の接線と点D における円O の接線の交点をE とすると、∠OAE = 90°（シ・ス）である。
また、線分OE と辺AD の交点を F とすると、∠AFE = 90°（セ・ソ）であり、
△OAE ∽ △OFA より
OE : OA = OA : OF ⇔ OE : √7 = √7 : OF ⇔ OE・OF = 7 ・・・（タ）
である。
さらに、辺AD の延長と線分OC の延長の交点をG とする。
点E から直線OG に垂線を下ろし、直線OG との交点をH とする。
∠OHE = ∠EFG = 90°より
4点E、G、(②H、F ・・・（チ）) は円周上にある。
したがって、
△OHE ∽ △OFG より
OE : OH = OG : OF ⇔ ⇔ OH・OG = OE・OF = 7 ・・・（ツ）