センター入試（数学Ⅰ・A）の解説（第３問）

＜第３問＞
点O を中心とする円O の円周上に４点A、B、C、D がこの順にある。
四角形ABCD の辺の長さは、それぞれ、
　AB = √7、BC = 2√7、CD = √3、DA = 2√3
であるとする。

(1) ∠ABC = θ、AC = x とおくと、△ABC に着目して
余弦定理
※正確には第２余弦定理　数学Ⅰ・Ａでは第１余弦定理は学習しない
x² = AB² + BC² - 2・AB・BC・cosθ
x² = (√7)² + (2√7)² - 2・(√7)・(2√7)・cosθ
x² = 7 + 28 - 28cosθ
x² = 35 - 28cosθ ・・・（ア・イ）
となる。
また、△ACD に着目して
∠ABC + ∠ADC = 180°より　∠ADC = 180°- θ
x² = CD² + DA² - 2・CD・DA・cos(180°-θ)
cos(180°-θ) = -cosθより
x² = (√3)² + (2√3)² + 2・(√3)・(2√3)・cosθ
x² = 3 + 12 + 12cosθ
x² = 15 + 12cosθ ・・・（ウ・エ）
となる。

よって、
35 - 28cosθ = 15 + 12cosθ ⇔ 40cosθ = 20 ⇔ cosθ = 1/2 ・・・（オ・カ）
x² = 35 - 28cosθ = 35 - 14 = 21
x ＞ 0 より、x = √21 ・・・（キ・ク）
であり、円O の半径は、正弦定理より
x / (sinθ) = 2R
sin²θ + cos²θ = 1 より
sin²θ = 1 - cos²θ ⇔ sin²θ = 1 - (1/2)² = 3/4
sinθ ＞ 0 より、sinθ = √3/2
よって、
2R = x / (sinθ) = √21 / (√3/2) = 2√7 ⇔ R = √7 ・・・（ケ）
である。

また、四角形ABCD の面積Sは、
S = (1/2)・AB・BC・sinθ + (1/2)・DC・DA・sin(180°-θ)
sin(180°-θ) = sinθより
= (1/2)・(√7)・(2√7)・sinθ + (1/2)・(√3)・(2√3)・sinθ
= 7・(√3/2) + 3・(√3/2)
= 10・(√3/2)
= 5√3 ・・・（コ・サ）

(2) 点A における円O の接線と点D における円O の接線の交点をE とすると、∠OAE = 90°（シ・ス）である。
また、線分OE と辺AD の交点を F とすると、∠AFE = 90°（セ・ソ）であり、
　△OAE ∽ △OFA より
　OE : OA = OA : OF ⇔ OE : √7 = √7 : OF ⇔ OE・OF = 7 ・・・（タ）
である。

さらに、辺AD の延長と線分OC の延長の交点をG とする。
点E から直線OG に垂線を下ろし、直線OG との交点をH とする。
∠OHE = ∠EFG = 90°より
4点E、G、(②H、F ・・・（チ）) は円周上にある。

したがって、
　△OHE ∽ △OFG より
　OE : OH = OG : OF ⇔ ⇔ OH・OG = OE・OF = 7 ・・・（ツ）

センター入試（数学Ⅰ・A）の解説（第２問）

＜第２問＞
[１]
a, b, c を定数とし、a ≠ 0, b ≠ 0 とする。 x の２次関数
y = ax² + bx + c ・・・①
①を平方完成すると
y = a(x + b/(2a))² - (b² - 4ac)/(4a) ・・・(A)

のグラフを G とする。 G が y = -3x² + 12bx のグラフと同じ軸をもつとき
(A) よりx軸は、x = -b/(2a) は、①を満たし、これは一般形なので。
x = -b/(2a) = - (12b)/(2・(-3)) = 2b ⇔ -b/(2a) = 2b ⇔ 4a = -1 ⇔ a = -1/4 ・・・（ア・イ・ウ）　・・・②
となる。
さらに、G が点(1, 2b - 1) を通るとき
①に代入すると
2b - 1 = a + b + c
②よりa = -1/4なので
2b - 1 = -1/4 + b + c ⇔ c = 2b - 1 - (b - 1/4) = b - 3/4 ⇔ c = b - 3/4 ・・・（エ・オ）・・・③
が成り立つ。

以下、②、③のとき、２次関数①とそのグラフG を考える。
G : y = -x²/4 + bx + (b - 3/4)
y = -(1/4)・(x² -4bx + (3 - 4b)) ・・・⑤

(1) G が x軸と異なる２点で交わるような b の値の範囲は、
===== 公式 =====
ax² + bx + c = 0 ⇔ 判別式 D = (b)² - 4ac
ax² + (2b')x + c = 0 ⇔ 判別式 D/4 = (b')² - ac
===== 公式 =====

D/4 = (b')² - ac
= (-2b)² - 1・(3 - 4b) ＞ 0
⇔ 4b² + 4b - 3 ＞ 0
⇔ (2b - 1)(2b + 3) ＞ 0
b ＜ -3/2, 1/2 ＜ b ・・・（カ・キ・ク・ケ・コ）
である。
さらに、G と x軸の正の部分が異なる２点で交わるような b の値の範囲は
１）D/4 ＞ 0 ⇔ b ＜ -3/2, 1/2 ＜ b
２）x軸 x = -b/(2a) = -(-4b)/(2・1) = 2b ＞ 0 ⇔ b ＞ 0
３）c = 3 - 4b ＞ 0 ⇔ b ＜ 3/4
１）、２）、３）以上より
1/2 ＜ b ＜　3/4 ・・・（サ・シ・ス・セ）
である。

(2) b ＞ 0 とすると
0 ≦ x ≦ b おける２次関数①の最小値が　-1/4 であるとき、
①は⑤より
y = -(1/4)・(x² -4bx + (3 - 4b)) 　・・・⑤
y = -(1/4)・(x² -4bx + 4b² - 4b² - 4b + 3)
y = -(1/4)・((x - 2b)² - (4b² + 4b - 3))　・・・⑥

x軸は、x = 2b なので、 0 ≦ x ≦ b ＜ 2b より
x = 0 のとき、最小値 -1/4 をとる。　⑤より
-(1/4)・(3 - 4b) = -1/4 ⇔ 3 - 4b = 1 ⇔ b = 1/2 ・・・（ソ・タ）
である。

一方、x ≧ b における２次関数①の最大値が３であるとき、
よって、x = 2b のとき、最大値 3 をとる。
(1/4)・(4b² + 4b - 3) = 3 ⇔ 4b² + 4b - 3 = 12 ⇔ 4b² + 4b - 15 = 0
⇔ (2b - 3)(2b + 5) = 0 ⇔ b = 3/2, -5/2
b ＞ 0 より b = 3/2 （チ・ツ）
である。

b = 1/2, b = 3/2 のときの①のグラフをそれぞれG₁、G₂とする。
①は⑥より
b = 1/2 のとき
y = -(1/4)・((x - 1)² - (1 + 2 - 3))
y = -(1/4)・(x - 1)² ・・・G₁

b = 3/2 のとき
y = -(1/4)・((x - 3)² - (9 + 6 - 3))
y = -(1/4)・((x - 3)² - 12)
y = -(1/4)・((x - 3)²) + 3 ・・・G₂

G₁ を x軸方向に 2（テ）、y軸方向に3（ト）だけ平行移動すれば、G₂と一致する。

センター入試（数学Ⅰ・A）の解説（第１問）

センター入試の数学Ⅰ・Aの解説です。
ただし、確率・統計は苦手なので、解説はありません。
解説は、第１問－第３問を予定です。


＜第１問＞
[１]
a = 3 + 2√2, b = 2 + √3 とすると
1/a = 1/(3 + 2√2) = (3 - 2√2)/(3² - (2√2)²) = (3 - 2√2)/(9 - 8) = 3 - 2√2 ・・・（ア・イ・ウ）
1/b = 1/(2 + √3) = (2 - √3)/(2² - (√3)²) = (2 - √3)/(4 - 3) = 2 - √3 ・・・（エ・オ）

a/b - b/a = a・(1/b) - b・(1/a)
= (3 + 2√2)(2 - √3) - (2 + √3)(3 - 2√2)
= (6 - 3√3 + 4√2 - 2√6) - (6 - 4√2 + 3√3 - 2√6) ・・・①
= 6 - 3√3 + 4√2 - 2√6 - 6 + 4√2 - 3√3 + 2√6
= 8√2 - 6√3 ・・・（カ・キ・ク・ケ） ・・・②
である。

このとき、不等式
|2abx - a²| ＜ b²
を満たす x の値の範囲は、

|a(2bx - a)| ＜ b²
-b² ＜ a(2bx - a) ＜ b²
-b²/a ＜ 2bx - a ＜ b²/a
a - b²/a ＜ 2bx ＜ a + b²/a
b = 2 + √3 ＞ 0 より
(a/b - b/a)・(1/2) ＜ x ＜ (a/b + b/a)・(1/2)

①より（マイナスをプラスにかえて）
(a/b + b/a) = (6 - 3√3 + 4√2 - 2√6) + (6 - 4√2 + 3√3 - 2√6)
= 6 - 3√3 + 4√2 - 2√6 + 6 - 4√2 + 3√3 - 2√6
= 12 - 4√6　・・・③

②、③より
4√2 - 3√3 ＜ x ＜ 6 - 2√6 ・・・（コ・サ・シ・ス・セ・ソ・タ）

[2]
実数a, b に関する条件p, q を次のように定める。
p : (a + b)² + (a - 2b)² ＜ 5
q : |a + b| ＜ 1 または |a - 2b| ＜ 2

ここで、X = a + b, Y = a - 2b とおくと、次のような条件となる。
p : X² + Y² ＜ (√5)²
q : |X| ＜ 1 または |Y| ＜ 2

(1) 次の０～３のうち、命題「q ⇒ p]に対する反例になっているのは。
√(1² + 2²) = √5 に注意する。
命題「q ⇒ p] なので、 q ⊂ p

０：a = 0, b = 0 ⇔ X = 0, Y = 0
１：a = 1, b = 0 ⇔ X = 1, Y = 1
２：a = 0, b = 1 ⇔ X = 1, Y = -1
３：a = 1, b = 1 ⇔ X = 2, Y = -1　・・・なぜなら p : √(2² + (-1)²) ＜ √5
よって、反例は３である。 ・・・（チ）

(2) 命題「p ⇒ q」の対偶は「￢q ⇒ ￢p」である。
￢q ⇔ ￢（|X| ＜ 1 または |Y| ＜ 2） ⇔ |X| ≧ 1 かつ |Y| ≧ 2 ⇔ |a + b| ≧ 1 かつ |a - 2b| ≧ 2 ・・・④
￢p ⇔ ￢（X² + Y² ＜ (√5)²） ⇔ X² + Y² ≧ (√5)² ⇔ (a + b)² + (a - 2b)² ≧ (√5)² ・・・⑦

よって、命題「p ⇒ q」の対偶は「￢q（④） ⇒ ￢p（⑦）」・・・（ツ・テ）

(3) p はq であるためとは、「q ⇒ p」より
p は q であるための必要条件（①）。　・・・（ト）

受験対策

NHK教育の「テストの花道」の番組を見ました。
東京大学、早稲田大学へ入学した方の受験勉強が紹介されていました。


共通して言えることは、「敵を知り、己を知れば、百戦危うからず」だと思いました。
それと、「継続は力なり」と思いました。

敵とは、大学の過去問（赤本）です。
己とは、自分の成績です。


大事なことは、今の自分のレベルで大学の過去問がどれだけ解けて、何が解けないのか？
これを自分で理解することにあると思います。

高校の教科書の内容と、大学入試には開きがあります。
また、大学によって入試の問題の傾向があります。

いくら高校の教科書が出来ても、入試にあった勉強方法をしていないと合格が出来ないです。
数学の勉強の基本は、教科書の基本例題がまんべんなく解けて、大学によっての傾向を理解して、それに合わせて問題を解くことです。
教科書の基本例題と大学の過去問を繰り返し解くことです。

東京大学に合格した方は、教科書の基本例題は解けたけど、東大入試の傾向に合わせて勉強をしなかったので、不合格でした。
それで、東大入試に合わせた勉強をして合格をしました。

早稲田大学に合格した方は、１度過去問を見て、これは参考書（標準問題）の例題レベルだと分かったようです。
後は、ひたすら教科書の理解と参考書の例題を繰り返し解きました。


やはり、過去問をみて自分に合った勉強方法を見つけることが大事だと思いました。
「敵を知り、己を知れば、百戦危うからず」と「継続は力なり」が重要だと思いました。

大学入試

今年の大学入試の問題が発表されました。
読売オンラインより

センター入試

2010/01/16・17（日）の土・日曜日にセンター入試が行われます。
数学は、17（日）に行われます。

数学Ⅰ・A では必ず出題されるのが、集合と論理です。
必要条件、十分条件、必要十分条件など

また、センターの数学は基本的な公式を使うことを中心に出題されます。

高得点を狙う方は、少しでも悩むと時間がなくなるので、効率よく解く必要があります。

国立の２次試験の数学、私立の数学の筆記試験を受ける方は、集合と論理を除いて、特別な準備は必要はないと思います。
選択問題は、得意分野を選択をした方がいいと思います。

数学の試験は、センター数学のみという方は、教科書の公式を復習することが良いと思います。
公式を知らないと解けない問題ばかりが出題がされます。
どの公式を使うのかを見分ける学力が必要です。

参考までに・・・。

大学入試問題

2009年の最新の問題より

＜学習院大学（理学部）＞
（問題）
関数 y = x - (sin(x) + √3・cos(x)) の区間 -π ≦ x ≦ π における最大値、最小値と、それらを与える x の値を求めよ。

===== 数学Ⅲ（最大値・最小値） =====
（解答）
f(x) = x - (sin(x) + √3・cos(x)) とおくと
f'(x) = 1 - (cos(x) - √3・sin(x)) = 1 - 2・cos(x + π/3)
f'(x) = 0 を解くと、-2π/3 ≦ x + π/3 ≦ 4π/3 より
x + π/3 = -π/3, π/3
∴ x = -2π/3, 0
（増減表）
x: -π・・・-2π/3（極大値）・・・0（極小値）・・・π
f(π) = √3 + π
f(-π) = √3 - π
f(0) = -√3
f(-2π/3) = √3 - 2π/3

よって、
f(-π) - f(0) = 2√3 - π ＞ 0
f(π) - f(-2π/3) = 5π/3 ＞ 0

x = π で最大値 √3 + π
x = 0 で最小値 -√3
をとる。 ...Ans


（定理の解説）
＜三角関数の合成＞
a・sin(x) + b・cos(x) = √(a² + b²)・cos(x - α)

＜三角関数の微分＞
(sin(x))' = cos(x)
(cos(x))' = -sin(x)

＜関数の極大・極小＞
x = a で連続な関数 f(x) について
f(x) が x = a において極大または極小となり、しかも x = a において微分可能
⇒ f'(a) = 0


＜東京理科大学（理学部・数理情報科学）＞
（問題）
対数を自然対数とする。　数列 {x_n} (n = 1, 2, 3, ...) を
∫[0 x_n] 1/cos(x)・dx = n・log√3
により定める。　ただし、0 ≦ x_n ＜ π/2 とする。　次の問いに答えよ。
(1) x₁ を求めよ
(2) sin(x_n) を求めよ
(3) 曲線 y = 1/cos(x) と x軸および２直線 x = 0、x = x_n で囲まれた図形を x軸のまわりに１回転してできる回転体の体積を V_n とする。　V_n を求めよ。
(4) (3) で求めた V_n に対して、lim [n → ∞] V_n+1/V_n を求めよ
(5) (3) で求めた V_n に対して、
不等式 V_n+2 -2V_n+1 + V_n ＞ 0 (n = 1, 2, 3, ...)
が成り立つことを証明せよ。

（解答）
(1) ∫[0 x_n] 1/cos(x)・dx = ∫[0 x_n] cos(x)/cos²(x)・dx = ∫[0 x_n] cos(x)/(1 - sin²(x))・dx
sin(x) = t とおくと
dt/dx = cos(x)
x:0 → x_n
t:0 → sin(x_n)
であるから
∫[0 x_n] cos(x)/(1 - sin²(x))・dx
= ∫[0 x_n] 1/(1 - t²)・dt/dx・dx
= ∫[0 sin(x_n)] 1/(1 + t)(1 - t)・dt
= 1/2・∫[0 sin(x_n)] (1/(1 + t) + 1/(1 - t))dt
= 1/2・[log(1 + t) - log(1 - t)] [0 sin(x_n)]
= 1/2・log(1 + sin(x_n))/(1 - sin(x_n)) ・・・①
したがって n = 1 のとき条件より
1/2・log(1 + sin(x₁))/(1 - sin(x₁)) = log√3
(1 + sin(x₁))/(1 - sin(x₁)) = 3
sin(x₁) = 1/2
0 ≦ x₁ ＜ π/2 より x₁ = π/6 ... Ans

(2) ①より1/2・log(1 + sin(x_n))/(1 - sin(x_n)) = n・log√3
(1 + sin(x_n))/(1 - sin(x_n)) = 3ⁿ
(3ⁿ + 1)・sin(x_n) = 3ⁿ - 1
よって、 sin(x_n) = (3ⁿ - 1)/(3ⁿ + 1) ... Ans

(3) V_n = π∫[0 x_n] 1/cos²x・dx
= π[tan(x)] [0 x_n]
= πtan(x_n)
0 ≦ x_n ＜ π/2 であるから
cos(x_n)
= √(1 - sin²(x_n))
= √(1 - ((3ⁿ - 1)/(3ⁿ + 1))²)
= √(4・3ⁿ/(3ⁿ + 1)²)
= 2√3ⁿ/(3ⁿ + 1)
したがって
V_n
= π・sin(x_n)/cos(x_n)
= π・(3ⁿ - 1)/(3ⁿ + 1)・(3ⁿ + 1)/2√3ⁿ
= (3ⁿ - 1)・π/2√3ⁿ ... Ans

(4) V_n+1/V_n
= (3ⁿ⁺¹ - 1)・π/2√3ⁿ⁺¹・2√3ⁿ/(3ⁿ - 1)・π
= (3 - 1/3ⁿ)/(√3(1 - 1/3ⁿ))
であるから、
lim [n → ∞] V_n+1/V_n = 3/√3 = √3 ... Ans

(5) V_n+2 -2V_n+1 + V_n
= (3ⁿ⁺² - 1)・π/2√3ⁿ⁺² - 2・(3ⁿ⁺¹ - 1)・π/2√3ⁿ⁺¹ + (3ⁿ - 1)・π/2√3ⁿ
= π/6√3ⁿ・{(3ⁿ⁺² - 1) - 2√3・(3ⁿ⁺¹ - 1) + 3・(3ⁿ - 1)}
= π/6√3ⁿ・{(3 - 2√3 + 1)・3ⁿ⁺¹ - (1 - 2√3 + 3)}
= (2 - √3)(3ⁿ⁺¹ - 1)・π/3√3ⁿ ＞ 0
よって、n = 1, 2, 3, ... のとき
V_n+2 -2V_n+1 + V_n ＞ 0 が成り立つ。　Q.E.D

（定理の解説）
(1) 三角関数の不定積分は、sin(x) = t とおくと、分数関数に変化する
普通に計算をして、n = 1 より比較をすればよい。
(3) y = f(x) 区間[a, b]より、 x軸を回転する体積V は
V = π∫y²dx
他は、式が複雑に見えるが、普通に計算をして求めればよい。

夏休みの数学の勉強

夏休みの数学の勉強について

＜中学生＞
中１・２は、教科書の公式を復習する。
例題問題を解く。

中３は、教科書の公式を復習する。
例題問題を解く。
受験する過去問を解く。　苦手な分野が分かれば、そこを復習する。

＜高校生＞
（文系）
高１・２は、教科書の公式を復習する。
例題問題を解く。

高３は、教科書の公式を復習する。
例題問題を解く。　標準問題を解く。
受験する過去問を解く。　苦手な分野が分かれば、そこを復習する。

（理系）
高１・２は、教科書の公式を復習する。
例題問題を解く。

高３は、教科書の公式を復習する。
例題問題を解く。　標準問題を解く。
受験する過去問を解く。　苦手な分野が分かれば、そこを復習する。


数学が苦手な方は、例題問題の解答を見てから、解答を見ないで書けるまで練習する。

文系の方は、公式の証明は覚える必要がないので、図形的な意味を覚える。
例えば点と直線の公式の証明を覚える必要はないと思います。　点と直線をイメージが出来て、距離が求められることが分かればいいと思います。

理系の方は、時間があれば証明をきちんと覚える必要があります。
なぜならば、大学の数学は証明ばかりをするので、論証を養っておかないと大学に行ってから困るからであります。
当然、図形的な意味も覚える必要があります。

数学のセンス

数学の大学受験を対象に・・・。
自分に数学のセンスがあるのか？　ないのか？　をはっきりさせないと、勉強方法は分かりませんよね！

＜問題＞
曲線 y = x³ 上の点 P(a, a³) における接線を l , l がふたたびこの曲線と交わる点を Q, Q におけるこの曲線の接線を m とし、２直線 l, m のなす角うち鋭角であるほうを θ とする。
a ＞ 0 として、次の問いに答えよ。
(1) tanθ を a で表せ。
(2) θ が最大になるときの a の値と tanθ の値を求めよ。

これは、標準問題レベルです。　解き方がイメージが出来るでしょうか？
しばらく、考えてみてください。　イメージが出来れば大丈夫です。


＜解き方のイメージ＞
(1) 点 P の接線 l を求める。　それから、点 Q を求める。 接線 l, m の傾きより tanθ を a を用いて表す。
(2) a の関数より f(a) の最大値を求める。


＜解答＞
(1) y = x³, y' = 3x²
点 P (a, a³) における接線 l の方程式は
y = 3a²(x - a) + a³
y = 3a²x - 2a³
曲線と l との交点の x 座標は
x³ = 3a²x - 2a³
(x - a)²(x + 2a) = 0 ・・・①
∴ x = a, -2a
点 Q (-2a, -8a³) における接線 m の傾きは
3(-2a)² = 12a²
よって、
tanθ = | (12a² - 3a²) / (1 + 12a²・3a²) | = 9a² / (1 + 36a⁴) ...Ans

(2) a ≠ 0 ゆえ
tanθ = 9 / (1 / a² + 36a²) ≦ 9 / (2√((1/a²)・36a²)) = 3 / 4
相加・相乗平均の不等式より
等号が成立するのは
1 / a² = 36a²
a = 1 / √6 (a ＞ 0)
よって、 θ は a = 1 / √6 のとき最大となり、
このとき tanθ = 3 / 4 である。 ...Ans


＜解答の解説＞
(1) y = x³, y' = 3x²
y = xⁿ, y' = nx^{n - 1}

点 P (a, a³) における接線 l の方程式は
点 T (t, f(t)) における接線 l_t の方程式は
y - f(t) = f'(t)(x - t) ⇔ y = f'(t)(x - t) + f(t)

y = 3a²(x - a) + a³
y = 3a²x - 2a³

曲線と l との交点の x 座標は
x = a の接線なので、x = a より２重解を持つので、(x - a)²(x - u) = 0 の形になる

x³ = 3a²x - 2a³
(x - a)²(x + 2a) = 0 ・・・①
∴ x = a, -2a
点 Q (-2a, -8a³) における接線 m の傾きは
y = f'(t)(x - t) + f(t) より傾きは f'(t) より y' = 3x² に x = - 2a を代入する

3(-2a)² = 12a²
よって、

２直線 y = m₁x + y₁, y = m₂x + y₂ とし、x 軸とのなす角をそれぞれ α, β とすると
ただし、m₂m₁ ≠ -1
tanα = m₁, tanβ = m₂ より
tanθ = |tan(β-α)| = |(tanβ - tanα) / (1 + tanβtanα)| = |(m₂ - m₁) / (1 + m₂m₁)|
tanθ = | (12a² - 3a²) / (1 + 12a²・3a²) | = 9a² / (1 + 36a⁴) ...Ans

(2) a ≠ 0 ゆえ
tanθ = 9 / (1 / a² + 36a²) ≦ 9 / (2√((1/a²)・36a²)) = 3 / 4
相加・相乗平均の不等式より
t + u ≧ 2√(tu) ⇔ 1 / (t + u) ≦ 1 / 2√(tu) 等号は t = u

等号が成立するのは
1 / a² = 36a²
a = 1 / √6 (a ＞ 0)
よって、 θ は a = 1 / √6 のとき最大となり、
このとき tanθ = 3 / 4 である。 ...Ans


＜結果的には解き方のイメージ＞
(1) 点 P の接線 l を求める。　それから、点 Q を求める。 接線 l, m の傾きより tanθ を a を用いて表す。
(2) a の関数より f(a) の最大値を相加・相乗平均より求める。


この問題は、数学Ⅱ・Bの微分と三角関数の融合問題です。
①解き方のイメージが出来る
②太い部分の公式を理解している
③公式より具体的な数式を当てはめて計算できること

＜センスがある方＞
①～③までをスムーズに出来れば、数学的なセンスはあると思います。
難関大学になればなるほど、①の部分が難しい問題が出題されます。

＜センスがない方＞
①～③までをスムーズに出来なければ、数学的なセンスがないと思います。
センスがないので、同じ問題または類題を解いて、反復して解きましょう。
数学的なセンスがない以上は、反復して解くしかないですよね！　それが地道な努力です。　学問に王道なしです。


理系の高３であれば、数学Ⅱ・Bまでを学習していると思われます。
東京大学、京都大学、大阪大学などの難関校の文系の問題は数学Ⅱ・Bまでが範囲なので、試しに過去問でも解いて見てもいいかもしれませんね！
文系の大学は、数学Ⅱ・Bまでが範囲なので、理系の高３ならば文系の大学の入試問題は解ける内容が出題されています。

大学への数学

毎年、４、５月だけは、大学への数学を購入しています。
それは、大学入試の問題が掲載されているからです。

実は購入しているだけで、あまり解いていませんが・・・。
でも、大学入試の傾向が分かるので、面白いです。

正直に言いますと、大学入試は落とすための入試なので、あまり数学の面白さがある問題が出ることはないです。

それよりは、数学オリンピックの問題の方が、色々なアイデアで考えながら解くので、発想、考え方などが面白いです。