基礎解析学

時間があったので、基礎解析学を読んでいました。

・微分方程式
・ベクトル解析
・複素変数の関数
・フーリエ級数、ラプラス変換
が書かれている本です。

だいだい、大学２年生の程度です。
大学の１、２年の数学は、理工系の向けの内容なので、実用的なおもむきがある感じがします。
なので、証明を中心にという感じではなく。
高校の数学のように、演習を中心にする感じです。

数学セミナーの巻頭言で、大学１年生の講義を担当している方が微分積分学と線形代数学を担当して30年以上になるそうです。
講義の内容は、30年前とは本質的な部分では変わらないそうです。
ここ数年の高校の数学の教科内容が変わったので、影響を受けている感じの感想がありました。
計算例、応用例を多く取り入れ、”線形性”、微分可能性”などの基本概念が、応用面でも重要な強力な役割を果たす様子を、出来るだけ深く伝えたいようです。

こんな記事を読むと、数学は自然現象を表す道具のような気がします。
定理の証明が、すべての応用に役立つと教えるのは、現在の大学生には難しいようです。
個人的には、証明だけを授業で教えて、後々、学生が応用面で、「はっ！」と思えるような講義が理想ような感じです。

個人的には、数学は理論を組み立てることによって、成り立っている学問だと思っているので、定理の証明さえ教えていれば、いい感じがします。
逆に、応用範囲は広すぎて、伝えることは難しい感じがします。
応用範囲が広いからこそ、基礎理論が大事な気がします。

数学科と理工系だと、温度差はある感じがします。


数学が面白い部分は、実は数学は自由に考えることが出来る学問だから面白いと思う。
自分が考えたことを、理論によって証明すれば良いわけですから。

代数学の基本定理のように、n次方程式には重根を含んで n個の解が存在する。
事実、5次以上の方程式の一般解は存在しないが、どんな n次でも成り立つことが言える不思議な定理であります。


群・環・体を考えて、行列 A に対して、行列の複素数みたいな数はないだろうか？
成分は、複素数の範囲で考えます。
x² + 1 = 0 の解の１つを x = i と定めるように。
行列A に対して、A² = -E （E は単位行列）の解の１つを A = K （K を虚行列）のような感じです。
こんな行列A はないと思いますが、こんなことも考えていい訳で、これを自分の手で確認して、証明さえ与えればいい訳です。

あまりいい例ではないですが、数学は自由に考える学問だから、私は面白いと思います。

三平方の定理より

三平方の定理（ピタゴラスの定理）は「a² + b² = c²」ですよね！

有名なのが、
a：b：c = 3：4：5
a：b：c = 5：12：13
です。

3² + 4² = 9 + 16 = 25
5² = 25

5² + 12² = 25 + 144 = 169
13² = 169
より簡単に確かめられます。

ときどき、
√（3² + 4²）= √5² = 5
13² - 12² = 5²
などが頻繁に使われるので、覚えていても損がないです。


三平方の定理を満たす、整数解は、いくつあるかはご存知ですか？
a、b、c を互いに素とします。（互いに素は、最大公約数が１です。）
答えは、無限にあります。

m、n を正の整数とすると（m、nは互いに素）
a = |m² - n²|
b = 2mn
c = m² + n²

m = 2、n = 1 とすると
a = |2² - 1²| = |4 - 1| = 3
b = 2 * 2 * 1 = 4
c = 2² + 1² = 4 + 1 = 5
あれ、「a：b：c = 3：4：5」となりました。

m = 3、n = 2 とすると
a = |3² - 2²| = |9 - 4| = 5
b = 2 * 3 * 2 = 12
c = 3² + 2² = 9 + 4 = 13
あれ、「a：b：c = 5：12：13」となりました。

m、n は無数に数があるので、整数解は無限にあります。

m = 4、n = 3 とすると
a = |4² - 3²| = |16 - 9| = 7
b = 2 * 4 * 3 = 24
c = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
「a：b：c = 7：24：25」となりました。


ところで、三平方の定理（ピタゴラスの定理）の証明をご存知ですか？
頻繁に使いますが、意外と覚えていないものです。
ピタゴラスの定理の証明
これの＜証明２＞が私は好きです。

夏休みの数学の勉強

夏休みの数学の勉強について

＜中学生＞
中１・２は、教科書の公式を復習する。
例題問題を解く。

中３は、教科書の公式を復習する。
例題問題を解く。
受験する過去問を解く。　苦手な分野が分かれば、そこを復習する。

＜高校生＞
（文系）
高１・２は、教科書の公式を復習する。
例題問題を解く。

高３は、教科書の公式を復習する。
例題問題を解く。　標準問題を解く。
受験する過去問を解く。　苦手な分野が分かれば、そこを復習する。

（理系）
高１・２は、教科書の公式を復習する。
例題問題を解く。

高３は、教科書の公式を復習する。
例題問題を解く。　標準問題を解く。
受験する過去問を解く。　苦手な分野が分かれば、そこを復習する。


数学が苦手な方は、例題問題の解答を見てから、解答を見ないで書けるまで練習する。

文系の方は、公式の証明は覚える必要がないので、図形的な意味を覚える。
例えば点と直線の公式の証明を覚える必要はないと思います。　点と直線をイメージが出来て、距離が求められることが分かればいいと思います。

理系の方は、時間があれば証明をきちんと覚える必要があります。
なぜならば、大学の数学は証明ばかりをするので、論証を養っておかないと大学に行ってから困るからであります。
当然、図形的な意味も覚える必要があります。