１次方程式

アルバイトで指導していて思うことは、恒等式の考え方が中学生に伝わっていないこと。

＜前提＞
A, B 数または式がある。
C の数がある。

A = B のときを考える。
①　A + C = B + C
②　A - C = B - C
③　A × C = B × C
④　A / C = B / C （ただし C ≠ 0）

この①、②、③、④が基本の考え方。


A = B の式のことを恒等式と言います。


次のような１次方程式があります。
＜問題１＞
＜省略の計算＞
x - 2 = 3
⇔ x = 3 + 2
⇔ x = 5

＜丁寧な計算＞
x - 2 = 3
⇔ x - 2 + 2 = 3 + 2
⇔ x = 3 + 2
⇔ x = 5


＜問題２＞
＜省略の計算＞
2x = 6
⇔ x = 6 / 2
⇔ x = 3

＜丁寧な計算＞
2x = 6
⇔ 2x / 2 = 6 / 2
⇔ x = 6 / 2
⇔ x = 3


＜問題３＞
＜省略の計算＞
5x - 7 = -3x + 9
⇔ 5x + 3x = 7 + 9
⇔ 8x = 16
⇔ x = 2

＜丁寧な計算＞
5x - 7 = -3x + 9
⇔ 5x - 7 + 3x + 7 = -3x + 9 + 3x + 7
⇔ 5x + 3x -7 + 7 = -3x + 3x + 9 + 7
⇔ 8x = 16
⇔ 8x / 8 = 16 / 8
⇔ x = 2


授業の説明では、＜丁寧な計算＞で説明をします。
テストの問題では、＜省略の計算＞で書きます。

テストでは、生徒の理解を確認する意味なので、＜丁寧な計算＞と＜省略の計算＞のどちらで書いても正解です。


①、②、③、④を理解しているかが、重要な内容です。
理解できれば、後はどんどん計算して、１次方程式を解いて行きましょう。

プラス と マイナス

中学１年生に、プラスとマイナスで教えるときに悩むことはありませんか？
また中学１年生でも、プラスとマイナスが分かりづらい学生はいないですか？

今日は、中学１年生に分かり易いように解説をしたいと思います。
１）数の概念を広げる
２）計算の法則
が中心のお話になると思います。


１）数の概念を広げる
小学生までは、１、２、３、４、５、・・・　と数えていました。

この時は、どのように数えていましたか？
１つづつ追加して数えていると思います。
１　⇒　１＋１＝２　⇒　２＋１＝３　⇒　３＋１＝４　⇒　４＋１＝５　⇒　・・・
のように考えて数えていると思います。
もしかすると無意識かもしれませんけど。

これの逆のことをします。
つまり、１つづつ引いていきます。
５、４、３、２、１、０、－１、－２、－３、－４、－５、
これで、マイナスの数が増えていきましたね。
たったこれだけで、数の概念が広がります。

これを整理すると、次のようになります。
・・・、－５、－４、－３、－２、－１、０、＋１、＋２、＋３、＋４、＋５、・・・

純粋に数学をしている方は、数の概念の広がりを感じて面白いと感じます。
しかし、文系の方や数学に興味がない方は、これにはどんな意味があるのだろうか？
疑問を感じることが多いと思います。

マイナスが増えると、どんなことに使えるでしょうか？
簡単な例では、温度を正確に測れるようになります。
氷の温度とか、氷点下と言われている温度のことです。

後は、ゼロを基準に考えると分かり易いことが多くあります。
５人の身長を考えてみましょう。
Aさんは、133cm
Bさんは、138cd
Cさんは、135cm
Dさんは、140cd
Eさんは、130cm

実はどれでも良いのですが、Cさんの135cmを基準にしてみます。（ゼロとみることにします）
Aさんは、-2cm
Bさんは、+3cd
Cさんは、0cm
Dさんは、+5cd
Eさんは、-5cm
とみると、差がどれくらいなのかが分かるようになります。
何かを基準にしてみて、その差を表す時に、マイナスが分かると便利なんですね。

マイナスを勉強をすると、とても便利になります。


２）計算の法則
次の計算を考えてみます。
（＋５）×（＋２）＝　＋１０
（＋４）×（＋２）＝　＋８
（＋３）×（＋２）＝　＋６
（＋２）×（＋２）＝　＋４
（＋１）×（＋２）＝　＋２
　　０　×（＋２）＝　０
（－１）×（＋２）＝　－２
（－２）×（＋２）＝　－４
（－３）×（＋２）＝　－６
（－４）×（＋２）＝　－８
（－５）×（＋２）＝　－１０

結果をみると、２づつ引いていますね。
例えば、（－３）×（＋２）＝　－６　は自然と理解できますね。


さて、次の計算をしてみます。
（＋５）×（－２）＝　－１０
（＋４）×（－２）＝　－８
（＋３）×（－２）＝　－６
（＋２）×（－２）＝　－４
（＋１）×（－２）＝　－２
　　０　×（－２）＝　０
（－１）×（－２）＝　＋２
（－２）×（－２）＝　＋４
（－３）×（－２）＝　＋６
（－４）×（－２）＝　＋８
（－５）×（－２）＝　＋１０

結果だけをみると、＋２づつ加えていますね。
（－３）×（－２）＝＋６　となることが分かりました。

このように計算をすると、なぜ、マイナスとマイナスをかけるとプラスになるのかが分かります。

次のように考えても、良いです。
「＋」は向きが同じになる、「－」は向きが逆になる

（＋２）×（＋３）＝　＋６　（＋）×（＋）＝（＋）
（－２）×（＋３）＝　－６　（－）×（＋）＝（－）
「＋」の場合には、向きが同じになります。
（＋）⇒（＋）、（－）⇒（－）

（＋２）×（－３）＝　－６　（＋）×（－）＝（－）
（－２）×（－３）＝　＋６　（－）×（－）＝（＋）
「－」の場合には、向きが逆になります。
（＋）⇒（－）、（－）⇒（＋）


＜まとめ＞
１）数の概念を広げる
ゼロを基準に考えると便利になります。

２）計算の法則
「＋」は向きが同じになる、「－」は向きが逆になる

円の面積

円の面積やっぱり苦手　３年後も同じミス　全国学力調査（朝日新聞の記事）

円の面積　＝（半径）×（半径）×（円周率）＝　πr²
円周率　＝　π ≒ 3.14
※円周率　＝　π　＝　3.14159265358979.....　　と小数は永遠につづく。（無限小数と言います）

円の面積の求め方
円を４等分、８等分、・・・とどんどん分割していきます。
何となくだけど、長方形が出来ますね。

長方形の面積　＝　（縦）×（横）
円周の長さ　＝　２×（円周率）×（半径）なので
（縦）　＝　（半径）
（横）　＝　２×（円周率）×（半径）÷２　＝　（円周率）×（半径）

円の面積　＝　（縦）×（横）　＝　（半径）×｛（円周率）×（半径）｝＝　（半径）×（半径）×（円周率）
と考えます。

高校入試

１　次の計算をしなさい
(1) 5 - 9 = -4
(2) 2 × (-3)² + (-8) ÷ 2 = 2 × 9 + (-4) = 18 - 4 = 14
(3) 4/5 + 3/8 ÷ (-3/4) = 4/5 - 3/8 × 4/3 = 4/5 - 1/2 = 8/10 - 5/10 = 3/10
(4) 3(3x + y) - (x - 2y) = 9x + 3y - x + 2y = 8x + 5y
(5) √2(2 - √5) - √8 = 2√2 - √(2 × 5) - √(4 × 2) = 2√2 - √10 - 2√2 = -√10


２　次の各問に答えなさい
(1) x² - 36 を因数分解しなさい。
公式 a² - b² = (a + b)(a - b)
x² - 36 = (x + 6)(x - 6)

(2) 連立方程式　5x + 2y = 1 ・・・①、3x + y = -1 ・・・② を解きなさい。
＜解法１　代入法＞
②より y = -3x - 1 を①に代入すると
5x + 2(-3x - 1) = 1 ⇔ 5x - 6x - 2 = 1 ⇔ -x = 3 ⇔ x = -3
②に代入すると y = -3(-3) - 1 = 9 - 1 = 8
よって、(x, y) = (-3, 8)

＜解法２　加減法＞
②×2 より 6x + 2y = -2 ・・・③とおくと
③ - ①　より (6x + 2y) - (5x + 2y) = -2 - 1 ⇔ x = -3
②に代入すると　3(-3) + y = -1 ⇔ -9 + y = -1 ⇔ y = 8
よって、(x, y) = (-3, 8)

(3) ２次方程式 x² - 5x - 6 = 0 を解きなさい
x² - 5x - 6 = 0 ⇔ (x - 6)(x + 1) = 0 ⇔ x = 6, -1

(4) 関数 y = 3x² で、x の変域を -1 ≦ x ≦ 2 とするとき、y の変域をもとめなさい。
最小値は、x = 0 のときより、y = 3×0² = 0
最大値は、x = 2 のときより、y = 3×2² = 3×4 = 12
よって、0 ≦ y ≦ 12

(5) x = √5 + 1, y = √5 - 1 のとき、x² + xy の値を求めなさい。
x² + xy = x(x + y) = (√5 + 1)(√5 + 1 + √5 - 1) = (√5 + 1)×2√5 = 2×5 + 2√5 = 10 + 2√5

＜ポイント＞　x² + xy = x(x + y) と変形すると計算が楽になります。
＜別解＞
x² + xy = (√5 + 1)² + (√5 + 1)(√5 - 1) = (√5)² + 2√5 + 1 + (√5)² - 1 = 5 + 2√5 + 1 + 5 - 1 = 10 + 2√5

三平方の定理より

三平方の定理（ピタゴラスの定理）は「a² + b² = c²」ですよね！

有名なのが、
a：b：c = 3：4：5
a：b：c = 5：12：13
です。

3² + 4² = 9 + 16 = 25
5² = 25

5² + 12² = 25 + 144 = 169
13² = 169
より簡単に確かめられます。

ときどき、
√（3² + 4²）= √5² = 5
13² - 12² = 5²
などが頻繁に使われるので、覚えていても損がないです。


三平方の定理を満たす、整数解は、いくつあるかはご存知ですか？
a、b、c を互いに素とします。（互いに素は、最大公約数が１です。）
答えは、無限にあります。

m、n を正の整数とすると（m、nは互いに素）
a = |m² - n²|
b = 2mn
c = m² + n²

m = 2、n = 1 とすると
a = |2² - 1²| = |4 - 1| = 3
b = 2 * 2 * 1 = 4
c = 2² + 1² = 4 + 1 = 5
あれ、「a：b：c = 3：4：5」となりました。

m = 3、n = 2 とすると
a = |3² - 2²| = |9 - 4| = 5
b = 2 * 3 * 2 = 12
c = 3² + 2² = 9 + 4 = 13
あれ、「a：b：c = 5：12：13」となりました。

m、n は無数に数があるので、整数解は無限にあります。

m = 4、n = 3 とすると
a = |4² - 3²| = |16 - 9| = 7
b = 2 * 4 * 3 = 24
c = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
「a：b：c = 7：24：25」となりました。


ところで、三平方の定理（ピタゴラスの定理）の証明をご存知ですか？
頻繁に使いますが、意外と覚えていないものです。
ピタゴラスの定理の証明
これの＜証明２＞が私は好きです。

三平方の定理

===== 中３ =====
（三平方の定理）
a² + b² = c²

三角形の相似

===== 中３ =====
△ABC ∽ △DEF
AB / DE = BC / EF = CA / FD = 相似比

（三角形の相似条件）
１．３組の辺の比が等しい
２．２組の辺の比が等しく、その間の角が等しい
３．２組の角がそれぞれ等しい

２乗の比例

===== 中３ =====
２乗の比例について
y = ax² (a ≠ 0)
※２次関数の一般形：y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 高校で習います。

（y = x²のとき）
.....
(x, y) = (-4, 16)
(x, y) = (-3, 9)
(x, y) = (-2, 4)
(x, y) = (-1, 1)
(x, y) = ( 0, 0)
(x, y) = ( 1, 1)
(x, y) = ( 2, 4)
(x, y) = ( 3, 9)
(x, y) = ( 4, 16)
.....

（グラフの特徴）
y = ax² (a ≠ 0)
0 ＜ a のとき、下に凸のグラフ
a ＜ 0 のとき、上に凸のグラフ

（変化の割合）
変化の割合 = yの増加量 / xの増加量
(x₁, y₁), (x₂, y₂) ただし(x₁ ≠ x₂の場合）
y = ax²の場合
変化の割合
= (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)
= (ax₂² - ax₂²) / (x₂ - x₁)
= a(x₂² - x₂²) / (x₂ - x₁)
= a(x₂ + x₁)(x₂ - x₁) / (x₂ - x₁)
= a(x₂ + x₁)

２次方程式

===== 中３ =====

ax² = b
x² = b / a
x = ±√(b / a)
x = ±√(ab) / a

(x + a)² = b
x + a = ±√b
x = -a ±√b

x² + px + q = 0
x² + (a + b)x + ab = 0 の形ならば
(x + a)(x + b) = 0
x = -a, -b

ただし、
x² + 2ax + a² = 0
(x + a)² = 0
x = -a （重解、重根）

※専門的には重根が正しい。　でも大学の代数学入門をしないと、意味が分からないです。
解は、方程式を満たすものです。
根は、ルーツ(root)です。

例えば、(x - 1)² = 0
解は、1 のみです。
根は、1、1 です。

高校までは、解と根の意味の違いまでは意識しないので、どちらでも大丈夫です。

平方根

===== 中３ =====
（平方根の意味）
x² = 4 ⇒ x = ±2

（平方根の表し方）
x² = 7 の場合は表現方法がありません。
なので、次のように定義します。
x² = 7 ⇒ x = ±√7

（平方根大小関係）
0 ＜ a ＜ b ⇒ √a ＜ √b

（平方根の値）
平方根を小数で表すことを言います。
実は、平方根は無限小数なので、永遠に続きます。
√2 = 1.41421356..... （ひとよひよにひとみごろ）
√3 = 1.7320508..... （ひとなみにおごれや）
√5 = 2.2360679..... （ふいさんろくおおむなく）
とゴロで覚えます。

（平方根の変形）
a > 0、b > 0
・√(a²b) = a√b
・a / √b = a√b / (√b・√b) = a√b / b

（平方根の乗徐）
√a・√b = √(ab)
√a÷√b = √a / √b

（平方根の加減）
m√a + n√a = (m + n)√a
m√a - n√a = (m - n)√a