センター入試（数学Ⅰ・A）の解説（第２問）

＜第２問＞
[１]
a, b, c を定数とし、a ≠ 0, b ≠ 0 とする。 x の２次関数
y = ax² + bx + c ・・・①
①を平方完成すると
y = a(x + b/(2a))² - (b² - 4ac)/(4a) ・・・(A)

のグラフを G とする。 G が y = -3x² + 12bx のグラフと同じ軸をもつとき
(A) よりx軸は、x = -b/(2a) は、①を満たし、これは一般形なので。
x = -b/(2a) = - (12b)/(2・(-3)) = 2b ⇔ -b/(2a) = 2b ⇔ 4a = -1 ⇔ a = -1/4 ・・・（ア・イ・ウ）　・・・②
となる。
さらに、G が点(1, 2b - 1) を通るとき
①に代入すると
2b - 1 = a + b + c
②よりa = -1/4なので
2b - 1 = -1/4 + b + c ⇔ c = 2b - 1 - (b - 1/4) = b - 3/4 ⇔ c = b - 3/4 ・・・（エ・オ）・・・③
が成り立つ。

以下、②、③のとき、２次関数①とそのグラフG を考える。
G : y = -x²/4 + bx + (b - 3/4)
y = -(1/4)・(x² -4bx + (3 - 4b)) ・・・⑤

(1) G が x軸と異なる２点で交わるような b の値の範囲は、
===== 公式 =====
ax² + bx + c = 0 ⇔ 判別式 D = (b)² - 4ac
ax² + (2b')x + c = 0 ⇔ 判別式 D/4 = (b')² - ac
===== 公式 =====

D/4 = (b')² - ac
= (-2b)² - 1・(3 - 4b) ＞ 0
⇔ 4b² + 4b - 3 ＞ 0
⇔ (2b - 1)(2b + 3) ＞ 0
b ＜ -3/2, 1/2 ＜ b ・・・（カ・キ・ク・ケ・コ）
である。
さらに、G と x軸の正の部分が異なる２点で交わるような b の値の範囲は
１）D/4 ＞ 0 ⇔ b ＜ -3/2, 1/2 ＜ b
２）x軸 x = -b/(2a) = -(-4b)/(2・1) = 2b ＞ 0 ⇔ b ＞ 0
３）c = 3 - 4b ＞ 0 ⇔ b ＜ 3/4
１）、２）、３）以上より
1/2 ＜ b ＜　3/4 ・・・（サ・シ・ス・セ）
である。

(2) b ＞ 0 とすると
0 ≦ x ≦ b おける２次関数①の最小値が　-1/4 であるとき、
①は⑤より
y = -(1/4)・(x² -4bx + (3 - 4b)) 　・・・⑤
y = -(1/4)・(x² -4bx + 4b² - 4b² - 4b + 3)
y = -(1/4)・((x - 2b)² - (4b² + 4b - 3))　・・・⑥

x軸は、x = 2b なので、 0 ≦ x ≦ b ＜ 2b より
x = 0 のとき、最小値 -1/4 をとる。　⑤より
-(1/4)・(3 - 4b) = -1/4 ⇔ 3 - 4b = 1 ⇔ b = 1/2 ・・・（ソ・タ）
である。

一方、x ≧ b における２次関数①の最大値が３であるとき、
よって、x = 2b のとき、最大値 3 をとる。
(1/4)・(4b² + 4b - 3) = 3 ⇔ 4b² + 4b - 3 = 12 ⇔ 4b² + 4b - 15 = 0
⇔ (2b - 3)(2b + 5) = 0 ⇔ b = 3/2, -5/2
b ＞ 0 より b = 3/2 （チ・ツ）
である。

b = 1/2, b = 3/2 のときの①のグラフをそれぞれG₁、G₂とする。
①は⑥より
b = 1/2 のとき
y = -(1/4)・((x - 1)² - (1 + 2 - 3))
y = -(1/4)・(x - 1)² ・・・G₁

b = 3/2 のとき
y = -(1/4)・((x - 3)² - (9 + 6 - 3))
y = -(1/4)・((x - 3)² - 12)
y = -(1/4)・((x - 3)²) + 3 ・・・G₂

G₁ を x軸方向に 2（テ）、y軸方向に3（ト）だけ平行移動すれば、G₂と一致する。