最近、msnメッセンジャーを始めました。
・msnメッセンジャー
csnmath@hotmail.co.jp
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ID:logicalspace
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===== 数学A・Ⅰ =====
y = ax2 + bx + c とx軸との共有点
D = b2 - 4ac
D ＞ 0 ⇔ 異なる２点を共有する
D ＝ 0 ⇔ １点を共有する
D ＜ 0 ⇔ 共有点なし
y = ax2 + bx + c とx軸との共有点
D = b2 - 4ac
D ＞ 0 ⇔ 異なる２点を共有する
D ＝ 0 ⇔ １点を共有する
D ＜ 0 ⇔ 共有点なし
===== 数学A・Ⅰ =====
（y = ax2)
a ＞ 0 のときは、下に凸
a ＜ 0 のときは、上に凸
（グラフの平行移動）
ここでは、一般関数についてです。
y = f(x)
x軸にp、y軸にqだけ平行移動すると
y - q = f(x - p) ⇒ y = f(x - p) + q
（グラフの特徴）
・y = a(x - p)2 + q
軸は、x = p
頂点は、(p, q)
・y =ax2 + bx + c
軸は、x = -b / 2a
頂点は、(-b / 2a, -(b2 - 4ac) / 4a)
（最大、最小について）
y =ax2 + bx + c を y = a(x - p)2 + q に変形すると
・a ＞ 0 のとき、x = p で最小値（最大値はない）
・a ＜ 0 のとき、x = p で最大値（最小値はない）
※区間[t, s]の場合は、最大値、最小値は存在する
（y = ax2)
a ＞ 0 のときは、下に凸
a ＜ 0 のときは、上に凸
（グラフの平行移動）
ここでは、一般関数についてです。
y = f(x)
x軸にp、y軸にqだけ平行移動すると
y - q = f(x - p) ⇒ y = f(x - p) + q
（グラフの特徴）
・y = a(x - p)2 + q
軸は、x = p
頂点は、(p, q)
・y =ax2 + bx + c
軸は、x = -b / 2a
頂点は、(-b / 2a, -(b2 - 4ac) / 4a)
（最大、最小について）
y =ax2 + bx + c を y = a(x - p)2 + q に変形すると
・a ＞ 0 のとき、x = p で最小値（最大値はない）
・a ＜ 0 のとき、x = p で最大値（最小値はない）
※区間[t, s]の場合は、最大値、最小値は存在する
===== 数学A・Ⅰ =====
（２次方程式の解の公式）
ax2 + bx + c = 0
ax2 + 2bx + c = 0 (b ⇒ 2bの場合）
（２次方程式の実数解の個数）
ax2 + bx + c = 0 の判別式 D とすると
D = b2 - 4ac ＞ 0 ⇔ 異なる２つの実数解をもつ
D = b2 - 4ac ＝ 0 ⇔ ただ１つの実数解（重解）をもつ
D = b2 - 4ac ＜ 0 ⇔ 実数解を持たない。（異なる２つの複素数解をもつ）
※重解は正しい表現ではありません。 正しくは重根が正しいです。 大学の代数学入門で教えてもらうので、気にすることはありません。
（解と係数の関係）
ax2 + bx + c = 0 の２つの解をα、βとすると
α + β = - b / a、α・β = c / a
（２次式の因数分解）
ax2 + bx + c = 0 の２つの解をα、βとすると
ax2 + bx + c = a(x - α)(x - β)
とくに、重解αをもつとき
ax2 + bx + c = a(x - α)2
（補足）
３次方程式、４次方程式の解の公式は存在します。
５次方程式以上は、解の公式は存在しません。 数学者のガロアが公式がないことを証明しています。
ただし、５次方程式の解は、超越関数を使うと公式はあるようですが・・・。
もちろん、n次方程式の「判別式」と「解の係数と関係」もあります。
これは、代数学入門でならいます。
（２次方程式の解の公式）
ax2 + bx + c = 0
ax2 + 2bx + c = 0 (b ⇒ 2bの場合）
（２次方程式の実数解の個数）
ax2 + bx + c = 0 の判別式 D とすると
D = b2 - 4ac ＞ 0 ⇔ 異なる２つの実数解をもつ
D = b2 - 4ac ＝ 0 ⇔ ただ１つの実数解（重解）をもつ
D = b2 - 4ac ＜ 0 ⇔ 実数解を持たない。（異なる２つの複素数解をもつ）
※重解は正しい表現ではありません。 正しくは重根が正しいです。 大学の代数学入門で教えてもらうので、気にすることはありません。
（解と係数の関係）
ax2 + bx + c = 0 の２つの解をα、βとすると
α + β = - b / a、α・β = c / a
（２次式の因数分解）
ax2 + bx + c = 0 の２つの解をα、βとすると
ax2 + bx + c = a(x - α)(x - β)
とくに、重解αをもつとき
ax2 + bx + c = a(x - α)2
（補足）
３次方程式、４次方程式の解の公式は存在します。
５次方程式以上は、解の公式は存在しません。 数学者のガロアが公式がないことを証明しています。
ただし、５次方程式の解は、超越関数を使うと公式はあるようですが・・・。
もちろん、n次方程式の「判別式」と「解の係数と関係」もあります。
これは、代数学入門でならいます。
===== 数学A・Ⅰ =====
（不等式の性質）
１．a ＜ b ならば a + c ＜ b + c、a - c ＜ b + c
２．a ＜ b、0 ＜ c ならば ac ＜ bc、a / c ＜ b / c
３．a ＜ b、c ＜ 0 ならば ac ＞ bc、a / c ＞ b / c
（不等式の性質）
１．a ＜ b ならば a + c ＜ b + c、a - c ＜ b + c
２．a ＜ b、0 ＜ c ならば ac ＜ bc、a / c ＜ b / c
３．a ＜ b、c ＜ 0 ならば ac ＞ bc、a / c ＞ b / c
===== 数学A・Ⅰ =====
（平方数の平方根）
のとき
a ≧ 0 ならば a
a ＜ 0 ならば -a
つまり
（平方根の性質）
0 ＜ a、0 ＜ b とする
１．積と商
２．平方因数を根号の外へ出す。
３．分母の有理化
（二重根号をはずす）
0 ＜ a、0 ＜ b のとき
0 ＜ b ＜ a のとき
（平方数の平方根）
のときa ≧ 0 ならば a
a ＜ 0 ならば -a
つまり
（平方根の性質）
0 ＜ a、0 ＜ b とする
１．積と商
２．平方因数を根号の外へ出す。
３．分母の有理化
（二重根号をはずす）
0 ＜ a、0 ＜ b のとき
0 ＜ b ＜ a のとき
===== 数学A・Ⅰ =====
（実数）
実数は、「有理数」と「無理数」に分かれます。
※無理数は、√2、1 - √5、πなど
有理数は、「整数」と「整数でない有理数」に分かれます。
整数は、「正の整数（自然数）」と「ゼロ」と「負の整数」に分かれます。
※正の整数（自然数）は、1、2、3、・・・
※ゼロは、0
※負の整数は、-1、-2、-3、・・・
整数ではない有理数は、「有限小数」と「循環小数」に分かれます。
※有限小数は、-2 / 5 = -0.4 など
※循環小数は、2 / 3 = 0.66666..... など
（絶対値の定義）
a ≧ 0 のとき |a| = a
a ＜ 0 のとき |a| = -a
（実数）
実数は、「有理数」と「無理数」に分かれます。
※無理数は、√2、1 - √5、πなど
有理数は、「整数」と「整数でない有理数」に分かれます。
整数は、「正の整数（自然数）」と「ゼロ」と「負の整数」に分かれます。
※正の整数（自然数）は、1、2、3、・・・
※ゼロは、0
※負の整数は、-1、-2、-3、・・・
整数ではない有理数は、「有限小数」と「循環小数」に分かれます。
※有限小数は、-2 / 5 = -0.4 など
※循環小数は、2 / 3 = 0.66666..... など
（絶対値の定義）
a ≧ 0 のとき |a| = a
a ＜ 0 のとき |a| = -a
===== 数学I・A =====
<<< 因数分解の公式 >>>
ma + mb - mc = m(a + b - c)
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
acx2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d)
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ba + 2ca = (a + b + c)2
a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - ba - ca)
<<< 因数分解の公式 >>>
ma + mb - mc = m(a + b - c)
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
acx2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d)
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ba + 2ca = (a + b + c)2
a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - ba - ca)
===== 数学Ⅰ・A =====
<<< 基本法則 >>>
a + b = b + a
ab = ba
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc)
a(b + c) = ab + ac
(a + b)c = ac + bc
<<< 指数法則 >>>
m, nは整数のとき
aman = am + n
(am)n = amn
(ab)m = ambm
<<< 乗法公式 >>>
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
(a + b)(a - b) = a2 - b2
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
(ax + b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
(a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3
(a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ba + 2ca
(x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x + abc
<<< 基本法則 >>>
a + b = b + a
ab = ba
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc)
a(b + c) = ab + ac
(a + b)c = ac + bc
<<< 指数法則 >>>
m, nは整数のとき
aman = am + n
(am)n = amn
(ab)m = ambm
<<< 乗法公式 >>>
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
(a + b)(a - b) = a2 - b2
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
(ax + b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
(a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3
(a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ba + 2ca
(x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x + abc