＜第１問＞
[1] -π/2 ≦ θ ≦ 0 のとき、関数
y = cos2θ + √3sin2θ - 2√3cosθ - 2sinθ
の最小値を求めよう。
t = sinθ + √3cosθ とおくと
t2 = (sinθ + √3cosθ)2
t2 = sin2θ + 2√3sinθcosθ + 3cos2θ
sin2θ + cos2θ = 1 より
t2 = 2cos2θ + 2√3sinθcosθ + 1 ・・・（ア・イ・ウ・エ）
であるから、
２倍角の公式より
sin2θ = 2sinθcosθ
cos2θ = cos2θ - sin2θ = 2cos2θ - 1
よって、
2sinθcosθ = sin2θ
2cos2θ = cos2θ + 1
より
t2 = (cos2θ + 1) + √3(sin2θ) + 1
t2 = cos2θ + √3sin2θ + 2
より
y = cos2θ + √3sin2θ - 2√3cosθ - 2sinθ
y = (cos2θ + √3sin2θ) - 2(√3cosθ + sinθ)
y = (t2 - 2) - 2t
y = t2 - 2t - 2 ・・・（オ・カ）
また、合成関数の公式より
t = sinθ + √3cosθ = √(12 + (√3)2)sin(θ + π/3)
t = 2sin(θ + π/3) ・・・（キ・ク）
である。
θ + π/3 のとり得る値の範囲は、-π/2 ≦ θ ≦ 0 より
-π/2 + π/3 ≦ θ + π/3 ≦ π/3 ⇔ -π/6 ≦ θ + π/3 ≦ π/3 ・・・（ケ）
であるから、t のとり得る値の範囲は、
2sin(-π/6) ≦ t ≦ 2sin(π/3) ⇔ 2・(-1/2) ≦ t ≦ 2・(√3/2) ⇔ -1 ≦ t ≦ √3 ・・・（コ・サ・シ）
したがって、
y = t2 - 2t - 2 = t2 - 2t + 1 - 1 - 2
y = (t - 1)2 - 3
-1 ≦ t ≦ √3 より t = 1 ・・・（ス）
すなわち
t = 2sin(θ + π/3) より
2sin(θ + π/3) = 1 ⇔ sin(θ + π/3) = 1/2 ⇔ θ + π/3 = π/6 ⇔ θ = -π/6 ・・・（セ）
t = 1 のとき y = -3 より最小値 -3 ・・・（ソ・タ）
をとる。
[2] 自然数 x で、条件
12(log2√x)2 - 7log4x - 10 ＞ 0 ・・・①
x + log3x ＜ 14 ・・・②
を満たすものを求めよう。
まず、x を正の実数として、条件①を考える。
①は X = log2x とおくと
①より
12(log2√x)2 - 7log4x - 10 ＞ 0
⇔ 12((1/2)・log2x)2 - 7・(log2x/log24) - 10 ＞ 0
⇔ 3(log2x)2 - 7/2・log2x - 10 ＞ 0
⇔ 3X2 - 7X/2 - 10 ＞ 0
⇔ 6X2 - 7X - 20 ＞ 0 ・・・（チ・ツ・テ）
となる。
この不等式を解くと
⇔ (3X + 4)(2X - 5) ＞ 0
⇔ X ＜ -4/3, 5/2 ＜ X ・・・（ト・ナ・ニ・ヌ）
となる。
したがって、条件①を満たす最小の自然数x は、6 （ネ）であり、6 以上のすべての自然数 x は①を満たす。
次の、条件②について考えると、
x + log3x ＜ 14
⇔ xlog33 + log3x ＜ 14log33
⇔ log33x + log3x ＜ log3314
⇔ log3(3x・x) ＜ log3314
⇔ 3x・x ＜ 314
⇔ x ＜ 314 - x
x = 9(= 32) の時、9 ＜ 35(= 243) 不等号が成り立つ
x = 27(= 33) の時、9 ＜ 3-13 不等号が成り立たない
x = 10 の時、10 ＜ 34(= 81) 不等号が成り立つ
x = 11 の時、11 ＜ 33(= 27) 不等号が成り立つ
x = 12 の時、12 ＜ 32(= 9) 不等号が成り立たない
②を満たす最大の自然数 x は、11（ノ・ハ）であり、11 以下のすべての自然数 x は②を満たす。
したがって、求める x は 6以上 11以下の自然数である。
[1] -π/2 ≦ θ ≦ 0 のとき、関数
y = cos2θ + √3sin2θ - 2√3cosθ - 2sinθ
の最小値を求めよう。
t = sinθ + √3cosθ とおくと
t2 = (sinθ + √3cosθ)2
t2 = sin2θ + 2√3sinθcosθ + 3cos2θ
sin2θ + cos2θ = 1 より
t2 = 2cos2θ + 2√3sinθcosθ + 1 ・・・（ア・イ・ウ・エ）
であるから、
２倍角の公式より
sin2θ = 2sinθcosθ
cos2θ = cos2θ - sin2θ = 2cos2θ - 1
よって、
2sinθcosθ = sin2θ
2cos2θ = cos2θ + 1
より
t2 = (cos2θ + 1) + √3(sin2θ) + 1
t2 = cos2θ + √3sin2θ + 2
より
y = cos2θ + √3sin2θ - 2√3cosθ - 2sinθ
y = (cos2θ + √3sin2θ) - 2(√3cosθ + sinθ)
y = (t2 - 2) - 2t
y = t2 - 2t - 2 ・・・（オ・カ）
また、合成関数の公式より
t = sinθ + √3cosθ = √(12 + (√3)2)sin(θ + π/3)
t = 2sin(θ + π/3) ・・・（キ・ク）
である。
θ + π/3 のとり得る値の範囲は、-π/2 ≦ θ ≦ 0 より
-π/2 + π/3 ≦ θ + π/3 ≦ π/3 ⇔ -π/6 ≦ θ + π/3 ≦ π/3 ・・・（ケ）
であるから、t のとり得る値の範囲は、
2sin(-π/6) ≦ t ≦ 2sin(π/3) ⇔ 2・(-1/2) ≦ t ≦ 2・(√3/2) ⇔ -1 ≦ t ≦ √3 ・・・（コ・サ・シ）
したがって、
y = t2 - 2t - 2 = t2 - 2t + 1 - 1 - 2
y = (t - 1)2 - 3
-1 ≦ t ≦ √3 より t = 1 ・・・（ス）
すなわち
t = 2sin(θ + π/3) より
2sin(θ + π/3) = 1 ⇔ sin(θ + π/3) = 1/2 ⇔ θ + π/3 = π/6 ⇔ θ = -π/6 ・・・（セ）
t = 1 のとき y = -3 より最小値 -3 ・・・（ソ・タ）
をとる。
[2] 自然数 x で、条件
12(log2√x)2 - 7log4x - 10 ＞ 0 ・・・①
x + log3x ＜ 14 ・・・②
を満たすものを求めよう。
まず、x を正の実数として、条件①を考える。
①は X = log2x とおくと
①より
12(log2√x)2 - 7log4x - 10 ＞ 0
⇔ 12((1/2)・log2x)2 - 7・(log2x/log24) - 10 ＞ 0
⇔ 3(log2x)2 - 7/2・log2x - 10 ＞ 0
⇔ 3X2 - 7X/2 - 10 ＞ 0
⇔ 6X2 - 7X - 20 ＞ 0 ・・・（チ・ツ・テ）
となる。
この不等式を解くと
⇔ (3X + 4)(2X - 5) ＞ 0
⇔ X ＜ -4/3, 5/2 ＜ X ・・・（ト・ナ・ニ・ヌ）
となる。
したがって、条件①を満たす最小の自然数x は、6 （ネ）であり、6 以上のすべての自然数 x は①を満たす。
次の、条件②について考えると、
x + log3x ＜ 14
⇔ xlog33 + log3x ＜ 14log33
⇔ log33x + log3x ＜ log3314
⇔ log3(3x・x) ＜ log3314
⇔ 3x・x ＜ 314
⇔ x ＜ 314 - x
x = 9(= 32) の時、9 ＜ 35(= 243) 不等号が成り立つ
x = 27(= 33) の時、9 ＜ 3-13 不等号が成り立たない
x = 10 の時、10 ＜ 34(= 81) 不等号が成り立つ
x = 11 の時、11 ＜ 33(= 27) 不等号が成り立つ
x = 12 の時、12 ＜ 32(= 9) 不等号が成り立たない
②を満たす最大の自然数 x は、11（ノ・ハ）であり、11 以下のすべての自然数 x は②を満たす。
したがって、求める x は 6以上 11以下の自然数である。