センター入試（数学Ⅱ・B）の解説（第２問）

＜第２問＞
座標平面上で、放物線 y = x² をC とする。
曲線C 上の点P の x座標を a とする。
点P におけるC の接線l の方程式は、
y = x² より
y' = 2x

===== 公式 =====
y = xⁿ
y' = nx^{n - 1}
===== 公式 =====

===== 公式 =====
y = f(x) より y' = f'(x)
点(a, f(a)) の接線の方程式は
y - f(a) = f'(a)(x - a)
===== 公式 =====

y - a² = 2a(x - a)
y = 2ax - a² ・・・（ア・イ・ウ）
である。

a ≠ 0 のとき直線l がx 軸と交わる点をQ とすると、Q の座標は、
y = 0 より
2ax - a² = 0 ⇔ 2ax = a² ⇔ x = a/2 （∵a ≠ 0)
Q(a/2, 0) ・・・（エ・オ・カ）
である。

a ＞ 0 のとき、曲線C と直線l および x軸で囲まれた図形の面積をS とすると

===== 公式 =====
∫xⁿdx = x^{n + 1}/(n + 1) （ただし n ≠ -1）
n ＝ -1 は数学Ⅲ・Cの公式なので、割愛します。
===== 公式 =====

S = ∫ [0 → a] x²dx - ∫ [a/2 → a] (2ax - a²)dx
= [x³/3] [0 → a] - [ax² - a²x] [a/2 → a]
= (a³/3) - ((a³ - a³) - (a³/4 - a³/2))
= a³/3 - a³/4
= a³/12 ・・・（キ・ク・ケ）
である。

a ＜ 2 のとき、曲線C と直線l および直線x ＝ 2 で囲まれた図形の面積をT とすると

T = ∫ [a → 2] x²dx - ∫ [a → 2] (2ax - a²)dx
= ∫ [a → 2] (x² - 2ax + a²)dx
= ∫ [a → 2] (x - a)²dx
= [(x - a)³/3] [a → 2]
= (2 - a)³/3 ・・・①
= (8 - 12a + 6a² - a³)/3
= -a³/3 + 2a² - 4a + 8/3 ・・・（コ・サ・シ・ス・セ）

a ＝ 0 のときはS = 0、a ＝ 2 のときはT = 0であるとして、
0 ≦ a ≦ 2 に対して U = S + T とおくと。

U(a) = S(a) + T(a) より
U(a) = a³/12 + (-a³/3 + 2a² - 4a + 8/3)
U(a) = -a³/4 + 2a² - 4a + 8/3
U'(a) = -3a²/4 + 4a - 4　　(a で微分)
U'(a) = 0 より
-3a²/4 + 4a - 4 = 0 ⇔ 3a² - 16a + 16 = 0 ⇔ (a - 4)(3a - 4) = 0 ⇔ a = 4, 4/3

増減表より
a : 0 (-) 3/4 (+) 2 (+) 4 (-)

①より
U(a) = a³/12 + (2 - a)³/3

最大値は、a = 0、a = 2 のどちらか。
(i) a = 0 のとき
U(0) = 2³/3 = 8/3
(ii) a = 2 のとき
U(2) = 2³/12 = 8/12 = 2/3
よって、U(0) ＞ U(2)

最小値は、a = 4/3 より
U(4/3) = (4/3)³/12 + (2 - 4/3)³/3
= 64/(27・12) + (2/3)³/3
= 64/(27・12) + 8/(27・3)
= (64/4 + 8)/(27・3)
= (16 + 8)/(27・3)
= (24)/(27・3)
= 8/27

最大値 a = 0 のとき U(0) = 2³/3 = 8/3
最小値 a = 4/3 のとき U(4/3) 8/27