リーマン・ゼータ関数の個人的な研究

リーマン・ゼータ関数の個人的な研究

ζ(s) = Σ [n = 1 → ∞] n^-s (s ∈ C) 以下[n = 1 → ∞] は省略
ζ(s) = Σ n^-s (s ∈ C)

s ∈ C より s = a + ib とおくと
n^{-a - ib} = e^{(-a - ib)log(n)} = e^-alog(n)・e^-i・blog(n)

オイラーの公式 e^ix = cos(x) + i・sin(x) より

= e^-alog(n)・{cos(-blog(n)) + i・sin(-blog(n))}
= e^-alog(n)・{cos(blog(n) - i・sin(blog(n))}　・・・①


または、
s ∈ C より s = r(cos(α) + i・sin(α)) とおくと
n^{-(r(cos(α) + i・sin(α))log(n)} = e^{-rcos(α)log(n)}・e^{-i・rsin(α)log(n)}
= e^{-rcos(α)log(n)}・{cos(-rsin(α)log(n)) + i・sin(-rsin(α)log(n))}
= e^{-rcos(α)log(n)}・{cos(rsin(α)log(n)) - i・sin(rsin(α)log(n))}


リーマン予想だと s = 1/2 + ib なので、①より
ζ(1/2 + ib) = Σe^{-(1/2)・log(n)}・{cos(blog(n) - i・sin(blog(n))}
= Σe^-log(√n)・{cos(blog(n) - i・sin(blog(n))}

ζ(1/2 + ib) = Σe^-log(√n)・{cos(blog(n) - i・sin(blog(n))} = 0 となるのが予想ですね。

また、a = 2, b = 0 のとき
ζ(2) = Σe^-2・log(n) = π²/6

研究はここまで。

数学セミナー（エレガントな解答をもとむ）

2013年3月号に、「2012年12月のエレガントな解答をもとむ」の「出題１」を正解しました。
私は、解法（C)の空間座標の内積を使った解法です。
解答者の１人だったので、嬉しいです。

数検の結果

数検１級は、残念ながら不合格でした。
次回、頑張りたいと思います。

数検１級

１１月の個人受験の数検１級を受けることにしました。
頑張りたいと思います。

話題の数式

40 - 32 ÷ 2 = ?
答え「4!」

===== 2012/05/03 PM6:15 追記 =====
本当は間違いですが、左から順番に計算をすると、
40 - 32 ÷ 2 = 8 ÷ 2 = 4 「×」

かけ算、わり算から計算をすると
40 - 32 ÷ 2 = 40 - 16 = 24 「○」

理系の方は「4!」を見て、「分かっているなぁ」と思う。
文系の方は「4!」を見て、「やっぱり、分かっていないなぁ」と思う。

「!」の解釈が２通りあって、「ビックリ」と「階乗」です。
「ビックリ」と解釈すると、文系の方のように、計算間違いかぁと思う。
「階乗」と解釈すると、理系の方のように、理解していると思う。

「階乗」とは
n! = n × (n-1) × ..... × 3 × 2 × 1
＜例＞
6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720

4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
40 - 32 ÷ 2 = 24

値が「24」となり
40 - 32 ÷ 2 = 4!

が正しい事が分かります。

数検１級の問題

＜１次試験の問題＞
問題１. (x-2-3/x)^5を展開したときの定数項を求めなさい。

問題２. 積 sin20°*sin40°*sin60°*sin80°の値を求めなさい(この値は有理数です)。

問題３. xyz空間の1次変換 f: t(x y z) → [[1 -1 2][-2 3 1][0 1 5]]t(x y z) (tは列ベクトル)
によって、直線 (4-x)/3=y-2=(z+1)/2はどのような図形に移るでしょうか。
その図形の方程式を求めなさい。

問題４. 1,2,3のカードがそれぞれ3枚,2枚,1枚あります。この6枚のカードを袋に入れ、中を見ないで2枚のカードを取り出し、その2枚のカードに書かれている数の積をXとするとき、次の問いに答えなさい。
① Xの平均E(X)を求めなさい。
② Xの分散V(X)を求めなさい。

問題５. 次の問いに答えなさい。ただしarcsinx(逆正弦関数)は,-π/2以上π/2以下の値をとるものとします。
①次の不定積分を求めなさい。
　∫arcsin(2x)dx
②xy平面上のグラフy=arcsin(2x) (-1/2<=x<=1/2)とx軸、および2直線x=-1/2、x=√3/4で囲まれた部分の面積を求めなさい。

問題６. 次の4次正方行列Aの固有値をすべて求めなさい。
A=[[2 -1 0 1][-1 1 1 2][0 1 0 -1][-1 2 -1 -1]]

問題７. 次の微分方程式を解きなさい。
　　　　d2y/dx2+4y=sin(2x)


＜２次試験の問題＞
問題１.　6で割ると1余る素数pに対して、t^3≡1(mod p)を満たすtは1のほかに1<t<pの範囲にさらに2個あります。これについて、次の問いに答えなさい。
（1）p=67に対して、t^3≡1(mod p)を満たす1以外のtの値m,nを求めなさい。ただし、1<m<n<pとします。
（2）任意の整数kをpで割った余りをk~(0<=k~<p)と表します。pの倍数でないkと、(1)で求めた3乗根に相当するm,nから定まるx=k~、y=(km)~、z=(kn)~を
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx
に代入した値はつねにpの倍数ですが(このことは証明しなくてもかまいません)、kをうまくとるとf(x,y,z)=pが成り立つようにできます。p=67の場合に、そのようなkを1<k<pの範囲で求めなさい。

問題２.　正の整数nに対して、a(n)を次のように定義します。
　　　　a(n)=Σ[k+l=n](1/{(k+1)(l+1)})
ここにk,lは和がnになるような0または正の整数の組全体にわたります。
これについて、次の問いに答えなさい。
（1）a(n)は単調減少数列であることを証明しなさい。
（2）lim a(n) [n→∞]を求めなさい。

問題３.　半径1の球があります。これに外接する直円錐(側面と底面が球に外接する直円錐)のうち体積が最小のものについて、次の問いに答えなさい。
（1）体積が最小の直円錐の底面の半径と高さを求めなさい。
（2）この直円錐を底面と平行な球の接平面で切って、円錐台に球を内接させます。この円錐台を、球の中心を通って底面に平行な平面で切ったとき、上下の円錐台からそれぞれ半球の部分を除いた部分の体積の比を求めて、できるだけ簡単な形で表しなさい。

問題４.　Aさんはある歴史上の人物の知名度を調べるため、100人を無作為に選んで調査したところ、60人が「知っている」と答え、残りの40人は「知らない」と答えました。これについて、次の問いに答えなさい。ただし、解答の際には下の正規分布表の値を用いなさい。
（1）この歴史上の人物の知名度(「知っている」と答えた人の割合)pの90％の信頼区間を求めなさい。ただし、信頼限界の値は小数第3位を四捨五入して、小数第2位まで求めなさい。
（2）Aさんは、知名度をより正確なものにすべく、(1)におけるpの99％の信頼区間を求めたいと考えています。この信頼区間の幅(信頼区間が[p^-q, p^+q]のときのqの値)を0.05以内にするためには(既に調査した100人を含めて)何人以上の調査をする必要があるでしょうか。答えは一の位を切り上げて、十の位の概数で求めなさい。

　　　　　　　　　　　　　　　正規分布表
　　　(平均0、分散1の正規分布における上側α点の値z(α)を表します)
　　　　　　　　　　　　　　　α　z(α)
　　　　　　　　　　　　　　0.005　2.576
　　　　　　　　　　　　　　0.01　 2.326
　　　　　　　　　　　　　　0.025　1.960
　　　　　　　　　　　　　　0.05　 1.645
　　　　　　　　　　　　　　0.1　 1.282

問題５.　右図のように、点A,点Bと直線lが次の条件を満たすように与えられたとします。
　・線分ABが直線lと共有点を持たない。
　・直線ABと直線lは平行でない。
このとき、2点A,Bを通り、直線lに接する円が2つ存在しますが、そのうちの1つをコンパスとものさしのみで作図し、その手順も簡潔に記しなさい。ただし、ものさしは直線を引くことだけに用いなさい。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・B
　　　　　　　　　　　　　　　　　・A


　　　　　　　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ l


問題６.　Vを3次以下の実係数1変数多項式から成る実線形空間、Wを2次以下の実係数1変数多項式から成る実線形空間とします。VからWへの写像Fを
　F(f(x))=2xf''(x)-f'(x+1)+(x^2)f(1)
によって定めます。これについて、次の問いに答えなさい。
（1）Fは線形写像であることを示しなさい。
（2）Vの基底を<1,3x-5,2x^2-3x,x^3-2x^2+4>、Wの基底を<1,x-1,(x-1)^2>とするとき、これら2つの基底に関する線形写像Fの表現行列を求めなさい。

問題７.　0＜a＜2とします。円柱面 (x-2+a)^2+y^2=a^2のうち、球面x^2+y^2+z^2=4の内部にある部分の曲面積S(a)をaの関数として表し、aを冒頭の範囲で変化させたときのS(a)の最大値を求めなさい。

数検１級の受験報告

４月９日（日）に数検１級を受験してきました。
合格には程遠い結果だと自負しています。
問題を家でゆっくり解いて、自分なりの解答を作成しようと思います。

＜１次問題＞
１：３項、５次の展開問題
２：三角関数の和と積の問題
３：３×３の正方行列の１次変換の問題
４：期待値と分散の問題
５：三角関数の逆関数の不定積分と面積の問題
６：４×４の正方行列の固有値の問題
７：２回微分方程式の問題

＜２次問題＞
１、２、６、７を解きました。
１：整数の問題
２：数列と極限値の問題
６：線形写像の問題
７：曲面積の最大値の問題

6 ÷ 2(1 + 2) から数学的とは

mixi でも、6 ÷ 2(1 + 2) の話題は、今でも続いています。

私は、参加をしていません。
主な理由は、次の通りです。
１．法律系の資格の勉強が忙しい。
２．議論する意味がない。
３．別の視点から見ているため。


6 ÷ 2(1 + 2) = 9 or 1

＜論点１＞
数学基礎論という分野があります。
その分野で見ると、記号が曖昧ではないか？

数学基礎論というのは、ゲーテルの不完全性定理を用いた時の理論です。


＜論点２＞
定義の仕方によるため。

数列{a_n} (n ∈ Z)を考える。
添え字を、i = n (mod 10) (i ∈ Z) として a_n = a_i
つまり、
a₂₃ = a₃
a₄₆ = a₆

a₀ = 0、a₁ = 1、a₂ = 2、a₃ = 3
a₄ = 4、a₅ = 5、a₆ = 6、a₇ = 7
a₈ = 8、a₉ = 9
とおくと

（演算を次のように定義する）
a_m ＋ a_n ≡ a_{m + n + 3}
a_m × a_n ≡ a_{m + n + 5}
a_m ÷ a_n ≡ a_{m + n + 2}

6 ÷ 2(1 + 2)
= a₆ ÷ a₂(a₁ + a₂)
= a₆ ÷ a₂ × (a₁ + a₂)
= a₆ ÷ a₂ × a_{1 + 2 + 3}
= a₆ ÷ a₂ × a₆
= a_{6 + 2 + 2} × a₆
= a₁₀ × a₆
= a₀ × a₆
= a_{0 + 6 + 5}
= a₁₁
= a₁
= 1

よって、6 ÷ 2(1 + 2) = 1


＜論点３＞
6 ÷ 2(1 + 2) = 1 ならば
6 ÷ 2(1 + 2) = 6 ÷ 2・3 = 6 ÷ 6 = 1
6 ÷ 2(1 + 2) = 6 ÷ (2 + 4) = 6 ÷ 6 = 1

つまり、() の優先が外側に影響していること。
本来は、() の内側を優先する。
() の外側を優先すると、何か矛盾があるか？


＜論点４＞
6 ÷ 2(1 + 2) を（単項式）÷（単項式）と考えています。
6、2 は単項式、(1 + 2) は多項式です。
だから、（単項式）÷（単項式）（多項式）と考えいます。
なぜ、（単項式）÷（単項式）が議論されているのかが分かりません。


＜論点５＞
数学的というのは、広い意味がある。


＜まとめ＞
実数体の公理で考えれば、6 ÷ 2(1 + 2) = 9
数学的には、6 ÷ 2(1 + 2) = 不定。
不定は２つの意味があります、数学基礎論で考えると記号があいまい。　論点２のように定義をすると、不定です。

6÷2(1+2)=

mixi で取り上げられています。

6÷2(1+2)= 9 or 1 のどちらなのか？


＜私の説明は＞
これは、簡単だけど面白い問いです。

A ÷ B(C + D) = A ÷ B × (C + D) は明らかです。
6 ÷ 2(1 + 2) = 6 ÷ 2 × (1 + 2) = 6 ÷ 2 × 3 = 3 × 3 = 9
が正しいです。

感覚的に面白いのは、
Z = C + D とおくと、式の意味が分からなくなるところです。

① A ÷ BZ = A ÷ (BZ) = A / (BZ)
② A ÷ BZ = A ÷ B × Z

とくに、B(= 2) が数字だとさらに意味が分からない。
③ A ÷ 2Z = A ÷ (2Z) = A / (2Z)
④ A ÷ 2Z = A ÷ 2 × Z

例えば、「A、Z」⇒「a、z」を小文字にして、「b、2」と比較すると
a ÷ bz = a ÷ b × z
a ÷ 2z = a / (2z)

実は、「÷」の後の「数、変数、式」をどうのように捉えるかが問題です。
a ÷ 2z = a ÷ 2 × z = az / 2
a ÷ (2z) = a / (2z)
明らかに、a ÷ 2z ≠ a ÷ (2z)
だから、①、③は間違いです。

z が単項式の場合は 2z を (2z) として扱って良いのであって、z = 1 + 2 の場合は多項式なので扱えないです。
つまり単項式(= z)では
z が単項式の場合である：a ÷ 2z = a ÷ (2z) = a / (2z)
z が単項式の場合でない：a ÷ 2z = a ÷ 2 × z = az / 2


この問題は、証明とか、計算の順番とか、定義とか、解釈とかではなく。
掛け算の×の省略ととらえると、式の意味が分からなくなり。
生徒に質問されると、教師も分かりやすく答えられないので、教師も考え込んでしまうことです。

結果を「1」にしたいのであれば、
6 ÷ 2(1 + 2) ⇒ 6 ÷ {2(1 + 2)} または 6 ÷ 2 ÷ (1 + 2) と書かないといけないです。

この式は議論する余地はないけど、改めて計算方法を見直すには、面白い問いです。



※補足
計算機の場合は、×、÷の記号を（コンパイラが）解析します。
この式は、「×」がないので、2(1 + 2) を１つの固まりで処理するため、「1」になります。

計算機の場合は
「×」がある場合は、6 ÷ 2 × (1 + 2) = 6 ÷ 2 × 3 = 3 × 3 = 9
「×」がない場合は、6 ÷ 2(1 + 2) = 6 ÷ (2 × 3) = 6 ÷ 6 = 1 （∵ 6 ÷ (2z)）

台湾のYouTubeもありますが、これは、コンパイラの解析（記号の解析）に問題があるからです。
計算機のコンパイラは、「×、÷」の文字があるないかで判断して、それから計算法則に当てはめて計算します。


あなたなら、9 ですか 1 ですか？
9 は多数派、1 は小数派だそうです。

リーマン・ゼータ関数ζ(s) の自然数の和

リーマン・ゼータ関数をζ(s) の s が自然数の和を考察したいと思います。
リーマン・ゼータ関数と区別するため、次のように定義をします。


ここで、[i = 1 → n] を省略して、Σ [i = 1 → n] i^k = Σ i^k と書く。

S[k] ≡ 1^k + 2^k + ..... + n^k = Σ i^k
※k は指数部であり、自然数です。

******************************
k = 1 のとき
S[1] = 1 + 2 + ..... + n = n(n + 1)/2　・・・①

k = 2 のとき
(i + 1)³ - i³ = ₃C₁i² + ₃C₂i + 1
(i + 1)³ - i³ = 3i² + 3i + 1
両辺にΣをして
(n + 1)³ - 1 = 3Σi² + 3Σi + Σ1
(n + 1)³ - 1 = 3S[2] + 3S[1] + n
3S[2] = (n + 1)³ - 1 - 3S[1] - n
3S[2] = (n + 1)³ - 1 - 3n(n + 1)/2 - n
3S[2] = n³ + 3n² + 3n + 1 - 1 + 3n²/2 + 3n/2 - n
3S[2] = n³ + 3n²/2 + n/2
3S[2] = n(2n² + 3n + 1)/2
3S[2] = n(n + 1)(2n + 1)/2
よって、
S[2] = n(n + 1)(2n + 1)/6　・・・②


******************************
次にS[k] にn(n + 1)を因数に持つことを示す。

(i + 1)^k+1 - i^k+1 = _k+1C₁i^k + _k+1C₂i^k-1 + ..... + _k+1C_ki + 1
両辺にΣをして
(n + 1)^k+1 - 1 = _k+1C₁S[k] + _k+1C₂S[k-1] + ..... + _k+1C_kS[1] + n
n を移項して
(n + 1)^k+1 - (n + 1) = _k+1C₁S[k] + _k+1C₂S[k-1] + ..... + _k+1C_kS[1]
(n + 1){(n + 1)^k - 1} = _k+1C₁S[k] + _k+1C₂S[k-1] + ..... + _k+1C_kS[1]　・・・③

ここで、
(aⁿ - bⁿ) = (a - b)(a^n-1 + a^n-2b + ..... + ab^n-2 + b^n-1) より
(aⁿ - bⁿ) は、(a - b) を因数に持つので、
{(n + 1)^k - 1} は、(n + 1) - 1 = n を因数に持つ。

よって、(n + 1){(n + 1)^k - 1} は、n(n + 1) を因数に持つ。
①、②より
S[1] = n(n + 1)・1/2
S[2] = n(n + 1)・(2n + 1)/6
なので、③よりS[k] は、n(n + 1) を因数に持つことが分かる。


******************************
S[k] = n(n + 1)P[k], P[1] = 1/₂C₁ とおくと
③より
(n + 1){(n + 1)^k - 1} = _k+1C₁n(n + 1)P[k] + _k+1C₂n(n + 1)P[k-1] + ..... + _k+1C_kn(n + 1)P[1]
両辺をn(n + 1) より割ると
{(n + 1)^k - 1}/n = _k+1C₁P[k] + _k+1C₂P[k-1] + ..... + _k+1C_kP[1]　・・・④

ここで、
X[k] = {(n + 1)^k - 1}/n
A[k, i] = _k+1C_k-(i-1) とおくと

④より
X[k] = A[k, k]P[k] + A[k, k-1]P[k-1] + ..... + A[k, 1]P[1]　・・・⑤

ここで、
Y[k] = X[k] / A[k, k]
B[k, i] = A[k, i] / A[k, k] とおくと

⑤より
Y[k] = P[k] + B[k, k-1]P[k-1] + ..... + B[k, 1]P[1]

よって
Y[1] = P[1]
Y[2] = B[2, 1]P[1] + P[2]
.....
Y[k] = B[k, 1]P[1] + B[k, 2]P[2] + ..... + P[k]

この連立方程式は、行列として表すことが出来る。　その時、三角行列となる。