センター入試（数学Ⅱ・B）の解説（第４問）

＜第４問＞
四角錐OABCD において、三角形OBC と 三角形OAD は合同で、OB = 1、BC = 2、OC = √3 であり。
底面の四角形ABCD は長方形である。
AB = 2r とおき、OA = a、OB = b、OC = cとおく。

＜条件より＞
△OBC ≡ △OAD より
OA = OB = 1
OC = OD = √3

長方形ABCDより
AD = BC = 2
AB = CD = 2r

OD を、a、b、c を用いて表すと
OD = OB + BD
OD = OB + BA + BC
OD = OB + (OA - OB) + (OC - OB)
OD = OA - OB + OC
OD = a - b + c ・・・（ア・イ）
である。

OD を 1 : 2 に内分する点をL とすると
OL = OD/3 = a/3 - b/3 + c/3

AL = OL - OA
AL = (a/3 - b/3 + c/3) - a
AL = -2a/3 - b/3 + c/3 ・・・（ウ・エ・オ・カ）
となる。


さらに辺OB の中点をM、３点A、L、M の定める平面をαとし、平面α と辺OC との交点を N とする。
OM = b/2

点N は平面α上にあることから、AN は実数s、t を用いてAN = sAL + tAM と表されるので、
AN = sAL + tAM
⇔ (ON - OA) = s(OL - OA) + t(OM - OA)
⇔ ON = OA + sOL - sOA + tOM - tOA
⇔ ON = a + s(a/3 - b/3 + c/3) - sa + tb/2 - ta
⇔ ON = (1 - 2s/3 - t)a + (-s/3 + t/2)b + sc/3 ・・・（キ・ク・ケ・コ・サ・シ）
となる。

一方、点N は辺OC 上にある。
これらから、ON = (1 - 2s/3 - t)a + (-s/3 + t/2)b + sc/3　
1 - 2s/3 - t = 0 ⇔ 3 - 2s - 3t = 0 ・・・①
-s/3 + t/2 ⇔ -2s + 3t = 0 ・・・②
① + ② より
3 - 4s = 0 ⇔ s = 3/4
より
ON = (3/4)・(c/3) = c/4 = (1/4)c ・・・（ス・セ）
となる。

また、
|AB|² = (2r)²
⇔ |OB - OA|² = 4r²
⇔ |OB|² - 2OB・OA + |OA|² = 4r²
⇔ 1 - 2a・b + 1 = 4r²
⇔ 2a・b = 2 - 4r²
⇔ a・b = 1 - 2r² ・・・（ソ・タ）

|BC|² = 2²
⇔ |OC - OB|² = 4
⇔ |OC|² - 2OC・OB + |OB|² = 4
⇔ 3 - 2b・c + 1 = 4
⇔ 2a・b = 0
⇔ a・b = 0 ・・・（チ）

|CA|² = (√((2r)² + 2²)²
⇔ |OA - OC|² = 4r² + 4
⇔ |OA|² - 2OA・OC + |OC|² = 4r² + 4
⇔ 1 - 2a・c + 3 = 4r² + 4
⇔ 2a・b = -4r²
⇔ a・b = -2r² ・・・（ツ・テ）
である。

よって、AM、MNを計算すると
AM・MN = (OM - OA)・(ON - OM)
AM・MN = (b/2 - a)・(c/4 - b/2)
AM・MN = (1/8)・(b - 2a)・(c - 2b)
AM・MN = (1/8)・(b・c - 2|b|² - 2a・c - 4a・b)
AM・MN = (1/8)・(0 - 2 + 4r² + (4 - 8r²))
AM・MN = (1/8)・(2 - 4r²)

AM・MN =　0 より
2 - 4r² = 0 ⇔ r² = 1/2
r ＞ 0 より r = 1/(√2)
AB = 2r = 2/(√2) = √2 ・・・（ト）
のとき、直線AM と直線MN は垂直になることがわかる。