数学Ⅲ（微分・積分）

大学に入学して、数学Ⅲの微分積分の勉強をしていない学生が、必要があって、数学Ⅲの微分積分の勉強をしている学生がいることを聞いたことがあります。

そういう方にアドバイスをしたいです。

１）　数学Ⅱの微分積分（ｎ乗の整式）の復習をすること。

２）　数学Ⅱと数学Ⅲの違いは、関数が三角関数、指数・対数関数となること。

３）　数学Ⅱと数学Ⅲの違いは、２つの関数 f(x), g(x) の積、商の微分積分をすること。

４）　数学Ⅱと数学Ⅲの違いは、y = f(x) を x = x(t), y = y(t) とパラメーターの微分積分をすること。

この４つのポイント押さえて学習するとよいと思います。

簡単そうな計算（数列編）

＜問題＞
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = ?

と問題が出されたら、どのように解きますか？

１番初めに思いつくのは、左から順番に計算するやり方ですね。
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
= 3 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
= 6 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
= 10 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
= 15 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
= 21 + 7 + 8 + 9 + 10
= 28 + 8 + 9 + 10
= 36 + 9 + 10
= 45 + 10
= 55

力技で、左から計算する方法はありますが、1 ～ 100 までのたし算までなら、何とかなりそうですが。
1 ～ 10000 までのたし算だと、お手上げの感じです。

ある工夫をすると、かけ算だけで求められます。
A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
A = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1
とおきます。

A + A = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) + (6 + 5) + (7 + 4) + (8 + 3) + (9 + 2) + (10 + 1)
2A = 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11
11 が 10個あるので
2A = 11 × 10

A = 11 × 10 ÷ 2 = 11 × 5 = 55
よって A = 55


1 ～ N までのたし算は、次のように求めることが出来ます。
X = 1 + 2 + ... + (N - 1) + N
X = N + (N - 1) + ... + 2 + 1

X + X = (1 + N) + (2 + (N - 1)) + ... + ((N - 1) + 2) + (N + 1)
2X = (N + 1) + (N + 1) + ... + (N + 1) + (N + 1)
(N + 1) が N個あるので
2X = (N + 1) × N

X = (N + 1) × N ÷ 2

例えば、1 ～ 100 までのたし算だと
1 + 2 + ... + 99 + 100 = 101 × 100 ÷ 2 = 101 × 55 = 5555
1 ～ 10000 までのたし算だと
1 + 2 + ... + 9999 + 10000 = 10001 × 10000 ÷ 2 = 10001 × 5000 = 50005000

これは、高校で学習する数列に書いてあることです。

内積について

mixi の話題になっていること。
ベクトルの内積について
そこで、高校生に内積を教えるならどう教えるかみなさんの意見を聞かせてください！

＜私の意見＞
a = (p, q)、b = (s, t)、a、b のなす角をθとすると

a・b ≡ ps + qt と定義する。
a・a = p² + q² = |a|² より a・a = |a|²
a・b = ps + qt = sp + tq = b・a より a・b = b・a が成り立つ。

c = b - a と置くと
c = (s - p, t - q) より
c・c = |c|² = (s - p)² + (t - q)² = (s² - 2sp + p²) + (t² - 2tq + q²)
= (s² + t²) - 2(sp + tq) + (p² + q²) = |b|² - 2b・a + |a|²
= |a|² - 2a・b + |b|²　（∵ a・b = b・a）
よって　|c|² = |b - a|² = |a|² - 2a・b + |b|² が成り立つ。

余弦定理より
|b - a|² = |a|² + |b|² - 2|a||b|・cosθ
⇔ |b|² - 2a・b + |a|² = |a|² + |b|² - 2|a||b|・cosθ
⇔ a・b = |a||b|cosθ
よって、a・b = ps + qt = |a||b|cosθ

あなたなら、どのように教えますか？

三角比の問題について

スカイプの方より、次の問題が解けないので、教えて欲しいとありました。

＜問題＞
三角形ABCにおいて、BC=2、∠B=60、∠C=45 の時、外接円の半径を求めよ。　（範囲は数学Ⅰ・Aのみ）
※角度のX°の「°」は省略します。


＜疑問＞
∠A = 180-(60+45) = 75
∠A = 75 なので、これは数学Ⅰの範囲で解けるのか？

結論を言えば、やや技巧的だが、数学Ⅰの範囲で解けます。
しかし、数学Ⅱの範囲で解いた方が分かりやすいです。


===== 公式の確認 =====
（数学Ⅰ）
正弦定理 2R = a/sinA = b/sinB = c/sinC
余弦定理 a² = b² + c² - 2bc・cosA

（数学Ⅱ）
加法定理 sin(A + B) = sinA・cosB + cosA・sinB
※覚え方：「咲いたコスモス、コスモス咲いた」と覚える


＜数学Ⅱの解法＞
sin75
= sin(30 + 45) = sin30・cos45 + cos30・sin45 （加法定理より）
= (√3/2)・(√2/2) + (1/2)・(√2/2)
= (√6 + √2)/4

正弦定理より
2R = 2/sin75 = 2/{(√6 + √2)/4} = 8/(√6 + √2)
R = 4/(√6 + √2) = 4(√6 - √2)/(6 - 2) = √6 - √2 ...Ans
※分母の有理化をしました。


数学Ⅰの範囲だと、２つの解き方があります。
＜数学Ⅰの解法パターン１＞
ポイント：余弦定理を用いる方法

正弦定理より
2R = 2/sinA = AC/sin60 = AB/sin45
AC/sin60 = AB/sin45
⇔ AB/AC = sin45/sin60
⇔ AB : AC = sin45 : sin60
⇔ AB : AC = √2/2 : √3/2
⇔ AB : AC = √2 : √3
AB = √2t、AC = √3t と置くと

余弦定理より
AC² = AB² + BC² - 2・AB・BC・cosB
(√3t)² = (√2t)² + 2² - 2・(√2t)・2・cos60
⇔ 3t² = 2t² + 4 - 2√2t
⇔ t² + 2√2t - 4 = 0
⇔ t = -√2 ± √(2 - (-4)) = -√2 ± √6　（係数が偶数の時の、２次方程式の解の公式より）
0 ＜ t より t = -√2 + √6 = √6 - √2

===== ２次方程式の解の公式（１次の係数が偶数の場合） =====
ax² + 2bx + c = 0
⇔ x = {-b ± √(b² - ac)}/a

正弦定理より
2R = AC/sin60 ⇔ 2R = √3・(√6 - √2)/(√3/2) = 2(√6 - √2)
R = √6 - √2 ... Ans

＜数学Ⅰの解法パターン２＞
ポイント：補助線（AD）

点A から辺BCへ垂線Dを引くと
∠BAD = 30、∠CAD = 45

AD = h とおくと
BD : AD = 1 : √3 ⇔ BD : h = 1 : √3 ⇔ BD = h/√3 = √3h/3
CD : AD = 1 : 1 より CD = h

BD + CD = 2 より
√3h/3 + h = 2
⇔ (√3/3 + 1)h = 2
⇔ h = 2/(√3/3 + 1) = 6/(√3 + 3) = 6(3 - √3)/(9 - 3) = 3 - √3

AD : AC = h : √2h より
AC = √2h = √2(3 - √3) = 3√2 - √6

正弦定理より
2R = AC/sinB = AC/sin60 = (3√2 - √6)/(√3/2) = 2(3√2 - √6)/√3
R = (3√2 - √6)/√3 = (3√6 - 3√2)/3 = √6 - √2 ... Ans


＜まとめ＞
数学Ⅱの範囲の加法定理より解くと分かりやすい。
数学Ⅰの範囲で解くと、「余弦定理」と「補助線」よりやや技巧的に解けることが分かりました。

大学受験の理系の方は、数学Ⅱの範囲で解けるので、数学Ⅰの範囲で解く必要はないです。
大学受験の文系の方ならば、数学Ⅰの範囲で解く方法を知らないと困る問題です。

よって、学習する範囲によって、解き方が異なる問題です。


＜ちょっと解説＞
数学が得意で、ごく一部の方ならば、ひらめいて解ける問題です。（20人に1人ぐらいだろうか）
この問題は、問題集の類題を解いてから、本番に向かわないと解けない問題です。
問題を見て、どんな問題でもひらめいて解けるのが理想的ですが、類題を解いて問題パターンを理解する学習が求められる。

数検（準１級）は、合格！

４月３０日（金）から、インターネットで合否の確認が出来ました。
正式な合格書は、５月の中旬頃に来る予定です。

確認したところ、１次の問題、２次の問題も合格をしていました。
はれて、数検準１級が合格が出来て嬉しいです。

２次の問題は、おそらく部分点をもらって、点数をもらったと思います。
採点者の方が優しいのでしょうね＾＾


次の目標は、数検１級ですが、範囲が広いので大変です。
整数問題、微分積分学、線形代数学、複素関数論、微分方程式なので、広範囲ですね。

やはり、３７歳になっても、資格を合格するのは、嬉しいですね＾＾
今後も数学を楽しんでいきたいと思います。

数検（準１級）を受験してきました！

数検（準１級）を受験してきました。

＜自己採点＞
「１次：計算技能検定」は、全問を解答して確認をしました。
おそらく、１次は合格をしている感じです。
「２次：数理技能検定」は、４問中にて２問を解答して、１問は(1)のみを解答して、合格は微妙な感じです。　自己採点では不合格です。

＜１次の問題（60分）＞
１次は７題の計算問題を解きます。
１）関数の範囲
２）Σの計算
３）３次方程式の解と係数の関係
４）行列の計算
５）不定積分と定積分（指数関数）
６）無理方程式
７）三角関数の微分（tanの微分）

＜２次の問題（120分）＞
２次は、１～５問から２題を選択、６、７問の２題は必須です。
なので、選択２題 + 必須２題の合計４題を解きます。
１）５次方程式　（選択）
２）確率
３）数列（三角関数の数列）　（選択）
４）対数の文章問題
５）整数の問題
６）行列（成分の条件）　（必須）
７）無限級数　（必須）

１）の５次方程式は、解けたと思います。
３）の(1)は解けた思いますが、(2)は何を書いているやら・・・。
６）行列はすぐ解答が思い浮かばず、後回しにしたら時間がなくなり解答が中途半端
７）の無限級数は解けたと思います。

＜感想＞
１次の問題はスラスラと解けましたが、３問計算ミスを発見して修正をしました。
やはり、計算ミスが頻繁にするので、困りものです。
２次の問題は応用問題なので、簡単に解けない問題ばかりです。
７）の無限級数の問題は解いていて楽しかった＾＾
高３レベルだからだと分かっていても、いざ試験の問題を解くと、そんなにスラスラと解けない問題があるので、結構大変でした。

指数とは

指数とは、何でしょうか？

a^x の定義では「a を底、x を指数」です。

√a：平方根
a + bi：複素数
log(x)：対数（底が10の場合は常用対数、eの場合は自然対数）
sin(x)：サイン
行列 A：行列

a^x ・・・①　の形で表現される場合は、何と呼ぶのでしょうか？

私は①のことを指数だと思っていました。
しかし人によっては、x のみを指数という方がいました。


===== 底 a =====
話は少しずれますが、a^x の底 a は（a ＞ 0、a ≠ 1）です。
ネットを見て気がつきましたが、a ≧ 0 でもいいと書かれてあることに愕然としました。

1^x = 1 （定数）です。
定義を考えてみましょう。
a^x の定義は、a を底、x を指数です。
1^x は、定義より、1 を底、x を指数 (-∞ ＜ x ＜ ∞) とするのでしょうか？
1^x は定数なので、指数の定義が出来ないのが正しい理解だと思います。

a ＝ 0 の場合です。
3⁰ = 1
2⁰ = 1
から考えると、
a⁰ = 1 (a → +0) です。

0³ = 0
0² = 0
から考えると
0^x = 0 (x → 0) です。

0⁰ は不定になる。

やはり、底 a は（a ＞ 0、a ≠ 1）の条件付きです。

きらり輝くお星さま

===== 高校数学Ⅱ・B（点と距離） =====

ふっと、夜空を見上げて見る。
とても、綺麗な星だなとうっとりしてしまう。
あっ！　たしか、昨日は雨だったなあ。　今日の夜空は特に綺麗に見えた。

私は、ふっと４つの星に気を止めた。　・・・！
じっと眺めて見ていた。　まるで、夜空に吸い込まれて行くように・・・。

そうだ！　
星に名前をつけよう、A星、B星、C星、D星と・・・。

A星とB星の距離ABとC星とD星の距離CDは、どちらが長いのだろう・・・？　

また、じっと眺めていた。
そうだ！　
A星の位置を決めよう。　そして、B星・・・D星と・・・！
A星（X_a, Y_a）、B星（X_b, Y_b）、C星（X_c, Y_c）、D星（X_d, Y_d）という感じでいいかな・・・！

教科書に、距離の公式があったような・・・。
距離AB = √((X_b - X_a)² + (Y_b - Y_a)²)
距離CD = √((X_d - X_c)² + (Y_d - Y_c)²)
たしかこんな感じ。　それで、比較をすればいいのか


４つの星の中心にある星を見つけた。　そうだ！　これにも名前をつけよう。
O星とつけよう！
私は親指と小指を立ててみた。　この長さを　１　としよう。
えっと・・・。
O星からみて、A星は、左に２つ、上に３つかな・・・！？
O星からみて、B星は、右に１つ、上に２つかな・・・！？
O星からみて、C星は、左に２つ、下に１つかな・・・！？
O星からみて、D星は、右に１つ、下に３つかな・・・！？

位置にすると、どうなるのかな・・・！？
A星（-2, 3)、B星（1, 2)、C星（-2, -1)、D星（1, -3)となった。
ふむふむ。　ここで、数字をいれて少し満足する。

距離AB = √((1-(-2))² + (2-3)²) = √(3² + (-1)²) = √(9 + 1) = √10
距離CD = √(1-(-2))² + ((-3)-(-1))²) = √(3² + (-2)²) = √(9 + 4) = √13

そっか。　距離CDの方が距離が長いのかぁ・・・！

私は、星に願いを込めて、数学が出来るようになりますように・・・。
お星さまにお祈りをした。　（あっ！　その瞬間に流れ星が・・・）　

文系数学

高校数学を色々なことを考えています。

最近は特に文系数学を考えています。
文系の方は、数学をどのように学んでいるのでしょうか？
まじめに数式をそのまま書くと、かなり抵抗がありますよね！

どんな風に工夫をして、高校数学を学んでいるのでしょうか？

ちょっと思ったのは、物語風の数学の解説書があるといいなあと思いました。

会話

あるAさんとの会話

私：数学をどう教えようか？
Aさん：う－ん！
私：「咲いたコスモスコスモス咲いた」はどうかな？
Aさん：真剣に考えてよ！　（怒る！）
私：真剣だよ！
私：sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y) 「咲いたコスモスコスモス咲いた」だよ！
Aさん：あっそ！　分かり易く教えあげるといいよ！
私：三角関数の加法定理の覚え方だよ！
Aさん：分かった！

いきなり、「咲いたコスモスコスモス咲いた」と言われると、何を花の話をしてるのだと思うのでしょうね！
こういう語呂合わせで、教えると面白いですよね！

sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(x) 「咲いたコスモスコスモス咲いた」
cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y) 「コスモスコスモス咲いた咲いた」