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クリスマスですね。
いかがお過ごしですか？
＜聖書の箇所＞
天使は、彼女のところに来て言った。
「おめでとう、恵まれた方。主があなたと共におられる。」
マリアはこの言葉に戸惑い、いったいこの挨拶は何のことかと考え込んだ。
すると、天使は言った。
「マリア、恐れることはない。あなたは神から恵みをいただいた。
あなたは身ごもって男の子を産むが、その子をイエスと名付けなさい。
その子は偉大な人になり、いと高き方の子と言われる。
神である主は、彼に父ダビデの王座をくださる。
彼は永遠にヤコブの家を治め、その支配は終わることがない。」
===== ルカによる福音書 １章 ２８－３３節（新共同訳） =====
いかがお過ごしですか？
＜聖書の箇所＞
天使は、彼女のところに来て言った。
「おめでとう、恵まれた方。主があなたと共におられる。」
マリアはこの言葉に戸惑い、いったいこの挨拶は何のことかと考え込んだ。
すると、天使は言った。
「マリア、恐れることはない。あなたは神から恵みをいただいた。
あなたは身ごもって男の子を産むが、その子をイエスと名付けなさい。
その子は偉大な人になり、いと高き方の子と言われる。
神である主は、彼に父ダビデの王座をくださる。
彼は永遠にヤコブの家を治め、その支配は終わることがない。」
===== ルカによる福音書 １章 ２８－３３節（新共同訳） =====
リーマン・ゼータ関数をζ(s) の s が自然数の和を考察したいと思います。
リーマン・ゼータ関数と区別するため、次のように定義をします。
ここで、[i = 1 → n] を省略して、Σ [i = 1 → n] ik = Σ ik と書く。
S[k] ≡ 1k + 2k + ..... + nk = Σ ik
※k は指数部であり、自然数です。
******************************
k = 1 のとき
S[1] = 1 + 2 + ..... + n = n(n + 1)/2 ・・・①
k = 2 のとき
(i + 1)3 - i3 = 3C1i2 + 3C2i + 1
(i + 1)3 - i3 = 3i2 + 3i + 1
両辺にΣをして
(n + 1)3 - 1 = 3Σi2 + 3Σi + Σ1
(n + 1)3 - 1 = 3S[2] + 3S[1] + n
3S[2] = (n + 1)3 - 1 - 3S[1] - n
3S[2] = (n + 1)3 - 1 - 3n(n + 1)/2 - n
3S[2] = n3 + 3n2 + 3n + 1 - 1 + 3n2/2 + 3n/2 - n
3S[2] = n3 + 3n2/2 + n/2
3S[2] = n(2n2 + 3n + 1)/2
3S[2] = n(n + 1)(2n + 1)/2
よって、
S[2] = n(n + 1)(2n + 1)/6 ・・・②
******************************
次にS[k] にn(n + 1)を因数に持つことを示す。
(i + 1)k+1 - ik+1 = k+1C1ik + k+1C2ik-1 + ..... + k+1Cki + 1
両辺にΣをして
(n + 1)k+1 - 1 = k+1C1S[k] + k+1C2S[k-1] + ..... + k+1CkS[1] + n
n を移項して
(n + 1)k+1 - (n + 1) = k+1C1S[k] + k+1C2S[k-1] + ..... + k+1CkS[1]
(n + 1){(n + 1)k - 1} = k+1C1S[k] + k+1C2S[k-1] + ..... + k+1CkS[1] ・・・③
ここで、
(an - bn) = (a - b)(an-1 + an-2b + ..... + abn-2 + bn-1) より
(an - bn) は、(a - b) を因数に持つので、
{(n + 1)k - 1} は、(n + 1) - 1 = n を因数に持つ。
よって、(n + 1){(n + 1)k - 1} は、n(n + 1) を因数に持つ。
①、②より
S[1] = n(n + 1)・1/2
S[2] = n(n + 1)・(2n + 1)/6
なので、③よりS[k] は、n(n + 1) を因数に持つことが分かる。
******************************
S[k] = n(n + 1)P[k], P[1] = 1/2C1 とおくと
③より
(n + 1){(n + 1)k - 1} = k+1C1n(n + 1)P[k] + k+1C2n(n + 1)P[k-1] + ..... + k+1Ckn(n + 1)P[1]
両辺をn(n + 1) より割ると
{(n + 1)k - 1}/n = k+1C1P[k] + k+1C2P[k-1] + ..... + k+1CkP[1] ・・・④
ここで、
X[k] = {(n + 1)k - 1}/n
A[k, i] = k+1Ck-(i-1) とおくと
④より
X[k] = A[k, k]P[k] + A[k, k-1]P[k-1] + ..... + A[k, 1]P[1] ・・・⑤
ここで、
Y[k] = X[k] / A[k, k]
B[k, i] = A[k, i] / A[k, k] とおくと
⑤より
Y[k] = P[k] + B[k, k-1]P[k-1] + ..... + B[k, 1]P[1]
よって
Y[1] = P[1]
Y[2] = B[2, 1]P[1] + P[2]
.....
Y[k] = B[k, 1]P[1] + B[k, 2]P[2] + ..... + P[k]
この連立方程式は、行列として表すことが出来る。 その時、三角行列となる。
リーマン・ゼータ関数と区別するため、次のように定義をします。
ここで、[i = 1 → n] を省略して、Σ [i = 1 → n] ik = Σ ik と書く。
S[k] ≡ 1k + 2k + ..... + nk = Σ ik
※k は指数部であり、自然数です。
******************************
k = 1 のとき
S[1] = 1 + 2 + ..... + n = n(n + 1)/2 ・・・①
k = 2 のとき
(i + 1)3 - i3 = 3C1i2 + 3C2i + 1
(i + 1)3 - i3 = 3i2 + 3i + 1
両辺にΣをして
(n + 1)3 - 1 = 3Σi2 + 3Σi + Σ1
(n + 1)3 - 1 = 3S[2] + 3S[1] + n
3S[2] = (n + 1)3 - 1 - 3S[1] - n
3S[2] = (n + 1)3 - 1 - 3n(n + 1)/2 - n
3S[2] = n3 + 3n2 + 3n + 1 - 1 + 3n2/2 + 3n/2 - n
3S[2] = n3 + 3n2/2 + n/2
3S[2] = n(2n2 + 3n + 1)/2
3S[2] = n(n + 1)(2n + 1)/2
よって、
S[2] = n(n + 1)(2n + 1)/6 ・・・②
******************************
次にS[k] にn(n + 1)を因数に持つことを示す。
(i + 1)k+1 - ik+1 = k+1C1ik + k+1C2ik-1 + ..... + k+1Cki + 1
両辺にΣをして
(n + 1)k+1 - 1 = k+1C1S[k] + k+1C2S[k-1] + ..... + k+1CkS[1] + n
n を移項して
(n + 1)k+1 - (n + 1) = k+1C1S[k] + k+1C2S[k-1] + ..... + k+1CkS[1]
(n + 1){(n + 1)k - 1} = k+1C1S[k] + k+1C2S[k-1] + ..... + k+1CkS[1] ・・・③
ここで、
(an - bn) = (a - b)(an-1 + an-2b + ..... + abn-2 + bn-1) より
(an - bn) は、(a - b) を因数に持つので、
{(n + 1)k - 1} は、(n + 1) - 1 = n を因数に持つ。
よって、(n + 1){(n + 1)k - 1} は、n(n + 1) を因数に持つ。
①、②より
S[1] = n(n + 1)・1/2
S[2] = n(n + 1)・(2n + 1)/6
なので、③よりS[k] は、n(n + 1) を因数に持つことが分かる。
******************************
S[k] = n(n + 1)P[k], P[1] = 1/2C1 とおくと
③より
(n + 1){(n + 1)k - 1} = k+1C1n(n + 1)P[k] + k+1C2n(n + 1)P[k-1] + ..... + k+1Ckn(n + 1)P[1]
両辺をn(n + 1) より割ると
{(n + 1)k - 1}/n = k+1C1P[k] + k+1C2P[k-1] + ..... + k+1CkP[1] ・・・④
ここで、
X[k] = {(n + 1)k - 1}/n
A[k, i] = k+1Ck-(i-1) とおくと
④より
X[k] = A[k, k]P[k] + A[k, k-1]P[k-1] + ..... + A[k, 1]P[1] ・・・⑤
ここで、
Y[k] = X[k] / A[k, k]
B[k, i] = A[k, i] / A[k, k] とおくと
⑤より
Y[k] = P[k] + B[k, k-1]P[k-1] + ..... + B[k, 1]P[1]
よって
Y[1] = P[1]
Y[2] = B[2, 1]P[1] + P[2]
.....
Y[k] = B[k, 1]P[1] + B[k, 2]P[2] + ..... + P[k]
この連立方程式は、行列として表すことが出来る。 その時、三角行列となる。