センター入試の数学の解説です。
数学Ⅰ・A
第１問（数式・集合と論理）
第２問（２次関数）
第３問（三角比・平面図形）
数学Ⅱ・B
第１問（三角関数と指数・対数関数）
第２問（微分法・積分法）
第３問（数列）
第４問（空間ベクトル）
数学Ⅰ・A
第１問（数式・集合と論理）
第２問（２次関数）
第３問（三角比・平面図形）
数学Ⅱ・B
第１問（三角関数と指数・対数関数）
第２問（微分法・積分法）
第３問（数列）
第４問（空間ベクトル）
＜第４問＞
四角錐OABCD において、三角形OBC と 三角形OAD は合同で、OB = 1、BC = 2、OC = √3 であり。
底面の四角形ABCD は長方形である。
AB = 2r とおき、OA = a、OB = b、OC = cとおく。
＜条件より＞
△OBC ≡ △OAD より
OA = OB = 1
OC = OD = √3
長方形ABCDより
AD = BC = 2
AB = CD = 2r
OD を、a、b、c を用いて表すと
OD = OB + BD
OD = OB + BA + BC
OD = OB + (OA - OB) + (OC - OB)
OD = OA - OB + OC
OD = a - b + c ・・・（ア・イ）
である。
OD を 1 : 2 に内分する点をL とすると
OL = OD/3 = a/3 - b/3 + c/3
AL = OL - OA
AL = (a/3 - b/3 + c/3) - a
AL = -2a/3 - b/3 + c/3 ・・・（ウ・エ・オ・カ）
となる。
さらに辺OB の中点をM、３点A、L、M の定める平面をαとし、平面α と辺OC との交点を N とする。
OM = b/2
点N は平面α上にあることから、AN は実数s、t を用いてAN = sAL + tAM と表されるので、
AN = sAL + tAM
⇔ (ON - OA) = s(OL - OA) + t(OM - OA)
⇔ ON = OA + sOL - sOA + tOM - tOA
⇔ ON = a + s(a/3 - b/3 + c/3) - sa + tb/2 - ta
⇔ ON = (1 - 2s/3 - t)a + (-s/3 + t/2)b + sc/3 ・・・（キ・ク・ケ・コ・サ・シ）
となる。
一方、点N は辺OC 上にある。
これらから、ON = (1 - 2s/3 - t)a + (-s/3 + t/2)b + sc/3
1 - 2s/3 - t = 0 ⇔ 3 - 2s - 3t = 0 ・・・①
-s/3 + t/2 ⇔ -2s + 3t = 0 ・・・②
① + ② より
3 - 4s = 0 ⇔ s = 3/4
より
ON = (3/4)・(c/3) = c/4 = (1/4)c ・・・（ス・セ）
となる。
また、
|AB|2 = (2r)2
⇔ |OB - OA|2 = 4r2
⇔ |OB|2 - 2OB・OA + |OA|2 = 4r2
⇔ 1 - 2a・b + 1 = 4r2
⇔ 2a・b = 2 - 4r2
⇔ a・b = 1 - 2r2 ・・・（ソ・タ）
|BC|2 = 22
⇔ |OC - OB|2 = 4
⇔ |OC|2 - 2OC・OB + |OB|2 = 4
⇔ 3 - 2b・c + 1 = 4
⇔ 2a・b = 0
⇔ a・b = 0 ・・・（チ）
|CA|2 = (√((2r)2 + 22)2
⇔ |OA - OC|2 = 4r2 + 4
⇔ |OA|2 - 2OA・OC + |OC|2 = 4r2 + 4
⇔ 1 - 2a・c + 3 = 4r2 + 4
⇔ 2a・b = -4r2
⇔ a・b = -2r2 ・・・（ツ・テ）
である。
よって、AM、MNを計算すると
AM・MN = (OM - OA)・(ON - OM)
AM・MN = (b/2 - a)・(c/4 - b/2)
AM・MN = (1/8)・(b - 2a)・(c - 2b)
AM・MN = (1/8)・(b・c - 2|b|2 - 2a・c - 4a・b)
AM・MN = (1/8)・(0 - 2 + 4r2 + (4 - 8r2))
AM・MN = (1/8)・(2 - 4r2)
AM・MN = 0 より
2 - 4r2 = 0 ⇔ r2 = 1/2
r ＞ 0 より r = 1/(√2)
AB = 2r = 2/(√2) = √2 ・・・（ト）
のとき、直線AM と直線MN は垂直になることがわかる。
四角錐OABCD において、三角形OBC と 三角形OAD は合同で、OB = 1、BC = 2、OC = √3 であり。
底面の四角形ABCD は長方形である。
AB = 2r とおき、OA = a、OB = b、OC = cとおく。
＜条件より＞
△OBC ≡ △OAD より
OA = OB = 1
OC = OD = √3
長方形ABCDより
AD = BC = 2
AB = CD = 2r
OD を、a、b、c を用いて表すと
OD = OB + BD
OD = OB + BA + BC
OD = OB + (OA - OB) + (OC - OB)
OD = OA - OB + OC
OD = a - b + c ・・・（ア・イ）
である。
OD を 1 : 2 に内分する点をL とすると
OL = OD/3 = a/3 - b/3 + c/3
AL = OL - OA
AL = (a/3 - b/3 + c/3) - a
AL = -2a/3 - b/3 + c/3 ・・・（ウ・エ・オ・カ）
となる。
さらに辺OB の中点をM、３点A、L、M の定める平面をαとし、平面α と辺OC との交点を N とする。
OM = b/2
点N は平面α上にあることから、AN は実数s、t を用いてAN = sAL + tAM と表されるので、
AN = sAL + tAM
⇔ (ON - OA) = s(OL - OA) + t(OM - OA)
⇔ ON = OA + sOL - sOA + tOM - tOA
⇔ ON = a + s(a/3 - b/3 + c/3) - sa + tb/2 - ta
⇔ ON = (1 - 2s/3 - t)a + (-s/3 + t/2)b + sc/3 ・・・（キ・ク・ケ・コ・サ・シ）
となる。
一方、点N は辺OC 上にある。
これらから、ON = (1 - 2s/3 - t)a + (-s/3 + t/2)b + sc/3
1 - 2s/3 - t = 0 ⇔ 3 - 2s - 3t = 0 ・・・①
-s/3 + t/2 ⇔ -2s + 3t = 0 ・・・②
① + ② より
3 - 4s = 0 ⇔ s = 3/4
より
ON = (3/4)・(c/3) = c/4 = (1/4)c ・・・（ス・セ）
となる。
また、
|AB|2 = (2r)2
⇔ |OB - OA|2 = 4r2
⇔ |OB|2 - 2OB・OA + |OA|2 = 4r2
⇔ 1 - 2a・b + 1 = 4r2
⇔ 2a・b = 2 - 4r2
⇔ a・b = 1 - 2r2 ・・・（ソ・タ）
|BC|2 = 22
⇔ |OC - OB|2 = 4
⇔ |OC|2 - 2OC・OB + |OB|2 = 4
⇔ 3 - 2b・c + 1 = 4
⇔ 2a・b = 0
⇔ a・b = 0 ・・・（チ）
|CA|2 = (√((2r)2 + 22)2
⇔ |OA - OC|2 = 4r2 + 4
⇔ |OA|2 - 2OA・OC + |OC|2 = 4r2 + 4
⇔ 1 - 2a・c + 3 = 4r2 + 4
⇔ 2a・b = -4r2
⇔ a・b = -2r2 ・・・（ツ・テ）
である。
よって、AM、MNを計算すると
AM・MN = (OM - OA)・(ON - OM)
AM・MN = (b/2 - a)・(c/4 - b/2)
AM・MN = (1/8)・(b - 2a)・(c - 2b)
AM・MN = (1/8)・(b・c - 2|b|2 - 2a・c - 4a・b)
AM・MN = (1/8)・(0 - 2 + 4r2 + (4 - 8r2))
AM・MN = (1/8)・(2 - 4r2)
AM・MN = 0 より
2 - 4r2 = 0 ⇔ r2 = 1/2
r ＞ 0 より r = 1/(√2)
AB = 2r = 2/(√2) = √2 ・・・（ト）
のとき、直線AM と直線MN は垂直になることがわかる。
＜第３問＞
数直線上で点P に実数a が対応しているとき、a を点P の座標といい、座標が a である点P を P(a) で表す。
数直線上に点P1(1)、P2(2) をとる。
線分P1P2を 3:1 に内分する点を P3とする。
一般に、自然数n に対して、線分PnPn + 1 を 3:1 に内分する点を Pn + 2とする。
点Pn の座標を xn とする。
x1 = 1、x2 = 2 であり、
x3 = (1・x1 + 3・x2)/(3 + 1) = (1 + 6)/4 = 7/4 ・・・（ア・イ）
である。
数列{xn} の一般項を求めるために、この数列の階差数列を考えよう。
自然数n に対して、
yn = xn + 1 - xn
とする。
y1 = x2 - x1 = 2 - 1 = 1 ・・・（ウ）
線分PnPn + 1 を 3:1 に内分する点を Pn + 2より
xn + 2 = (1・xn + 3・xn + 1)/(3 + 1)
⇔ 4xn + 2 = xn + 3xn + 1
両辺に -4xn + 1 を足すと
⇔ 4xn + 2 - 4xn + 1 = - xn + 1 + xn
⇔ 4(xn + 2 - xn + 1) = -(xn + 1 + xn)
yn = xn + 1 - xn より
⇔ 4yn + 1 = -yn
⇔ yn + 1 = (-1/4)・yn ・・・（エ・オ・カ）
(n = 1、2、3、・・・）
したがって、yn = arn - 1 = 1・(-1/4)n - 1 = (-1/4)n - 1 ・・・(0)（キ）
(n = 1、2、3、・・・）
yn = xn + 1 - xn より
y1 + y2 +..... + yn - 2 + yn - 1 =
(x2 - x1) + (x3 - x2) + ..... + (xn - 1 - xn - 3) + (xn - xn - 1)
⇔ y1 +..... + yn - 1 = xn - x1
⇔ xn = x1 + (y1 +..... + yn - 1)
⇔ xn = x1 + (a + ar + ..... + arn - 3 + arn - 2)
⇔ xn = x1 + a(1 - rn - 1)/(1 - r)
⇔ xn = 1 + 1・(1 - (-1/4)n - 1)/(1 - (-1/4))
⇔ xn = 1 + (1 - (-1/4)n - 1)・(4/5)
⇔ xn = 9/5 -(4/5)・(-1/4)n - 1 ・・・（ク・ケ・コ・(0) サ）
(n = 1、2、3、・・・）
次に、自然数n に対してSn = Σ [k:1 → n] k|yn| を求めよう。
r = |-1/4| = 1/4
とおくと
|yn| = |(-1/4)n - 1| = (1/4)n - 1 = rn - 1
Sn = 1・|y1| + 2・|y2| + ..... + (n - 1)・|yn - 1| + n・|yn|
Sn = 1 + 2r + ..... + (n - 1)rn - 2 + nrn - 1
rSn = r + 2r2 + ..... + (n - 1)rn - 1 + nrn
よって、
Sn - rSn = 1 + r + ..... + rn - 1 - nrn
Sn - rSn = Σ [k:1 → n] rn - 1 - nrn ・・・（シ・ス）
であり、したがって
(1 - r)Sn = (1 - rn)/(1 - r) - nrn
Sn = (1 - rn)/(1 - r)2 - nrn/(1 - r)
r = 1/4 より
Sn = (1 - (1/4)n)/(1 - (1/4))2 - n(1/4)n/(1 - (1/4))
Sn = (1 - (1/4)n)/(3/4)2 - n(1/4)n/(3/4)
Sn = (16/4)・(1 - (1/4)n) - (n/3)・(1/4)n - 1 ・・・（セ・ソ・タ・チ・ツ・テ・ト・ナ）
数直線上で点P に実数a が対応しているとき、a を点P の座標といい、座標が a である点P を P(a) で表す。
数直線上に点P1(1)、P2(2) をとる。
線分P1P2を 3:1 に内分する点を P3とする。
一般に、自然数n に対して、線分PnPn + 1 を 3:1 に内分する点を Pn + 2とする。
点Pn の座標を xn とする。
x1 = 1、x2 = 2 であり、
x3 = (1・x1 + 3・x2)/(3 + 1) = (1 + 6)/4 = 7/4 ・・・（ア・イ）
である。
数列{xn} の一般項を求めるために、この数列の階差数列を考えよう。
自然数n に対して、
yn = xn + 1 - xn
とする。
y1 = x2 - x1 = 2 - 1 = 1 ・・・（ウ）
線分PnPn + 1 を 3:1 に内分する点を Pn + 2より
xn + 2 = (1・xn + 3・xn + 1)/(3 + 1)
⇔ 4xn + 2 = xn + 3xn + 1
両辺に -4xn + 1 を足すと
⇔ 4xn + 2 - 4xn + 1 = - xn + 1 + xn
⇔ 4(xn + 2 - xn + 1) = -(xn + 1 + xn)
yn = xn + 1 - xn より
⇔ 4yn + 1 = -yn
⇔ yn + 1 = (-1/4)・yn ・・・（エ・オ・カ）
(n = 1、2、3、・・・）
したがって、yn = arn - 1 = 1・(-1/4)n - 1 = (-1/4)n - 1 ・・・(0)（キ）
(n = 1、2、3、・・・）
yn = xn + 1 - xn より
y1 + y2 +..... + yn - 2 + yn - 1 =
(x2 - x1) + (x3 - x2) + ..... + (xn - 1 - xn - 3) + (xn - xn - 1)
⇔ y1 +..... + yn - 1 = xn - x1
⇔ xn = x1 + (y1 +..... + yn - 1)
⇔ xn = x1 + (a + ar + ..... + arn - 3 + arn - 2)
⇔ xn = x1 + a(1 - rn - 1)/(1 - r)
⇔ xn = 1 + 1・(1 - (-1/4)n - 1)/(1 - (-1/4))
⇔ xn = 1 + (1 - (-1/4)n - 1)・(4/5)
⇔ xn = 9/5 -(4/5)・(-1/4)n - 1 ・・・（ク・ケ・コ・(0) サ）
(n = 1、2、3、・・・）
次に、自然数n に対してSn = Σ [k:1 → n] k|yn| を求めよう。
r = |-1/4| = 1/4
とおくと
|yn| = |(-1/4)n - 1| = (1/4)n - 1 = rn - 1
Sn = 1・|y1| + 2・|y2| + ..... + (n - 1)・|yn - 1| + n・|yn|
Sn = 1 + 2r + ..... + (n - 1)rn - 2 + nrn - 1
rSn = r + 2r2 + ..... + (n - 1)rn - 1 + nrn
よって、
Sn - rSn = 1 + r + ..... + rn - 1 - nrn
Sn - rSn = Σ [k:1 → n] rn - 1 - nrn ・・・（シ・ス）
であり、したがって
(1 - r)Sn = (1 - rn)/(1 - r) - nrn
Sn = (1 - rn)/(1 - r)2 - nrn/(1 - r)
r = 1/4 より
Sn = (1 - (1/4)n)/(1 - (1/4))2 - n(1/4)n/(1 - (1/4))
Sn = (1 - (1/4)n)/(3/4)2 - n(1/4)n/(3/4)
Sn = (16/4)・(1 - (1/4)n) - (n/3)・(1/4)n - 1 ・・・（セ・ソ・タ・チ・ツ・テ・ト・ナ）
＜第２問＞
座標平面上で、放物線 y = x2 をC とする。
曲線C 上の点P の x座標を a とする。
点P におけるC の接線l の方程式は、
y = x2 より
y' = 2x
===== 公式 =====
y = xn
y' = nxn - 1
===== 公式 =====
===== 公式 =====
y = f(x) より y' = f'(x)
点(a, f(a)) の接線の方程式は
y - f(a) = f'(a)(x - a)
===== 公式 =====
y - a2 = 2a(x - a)
y = 2ax - a2 ・・・（ア・イ・ウ）
である。
a ≠ 0 のとき直線l がx 軸と交わる点をQ とすると、Q の座標は、
y = 0 より
2ax - a2 = 0 ⇔ 2ax = a2 ⇔ x = a/2 （∵a ≠ 0)
Q(a/2, 0) ・・・（エ・オ・カ）
である。
a ＞ 0 のとき、曲線C と直線l および x軸で囲まれた図形の面積をS とすると
===== 公式 =====
∫xndx = xn + 1/(n + 1) （ただし n ≠ -1）
n ＝ -1 は数学Ⅲ・Cの公式なので、割愛します。
===== 公式 =====
S = ∫ [0 → a] x2dx - ∫ [a/2 → a] (2ax - a2)dx
= [x3/3] [0 → a] - [ax2 - a2x] [a/2 → a]
= (a3/3) - ((a3 - a3) - (a3/4 - a3/2))
= a3/3 - a3/4
= a3/12 ・・・（キ・ク・ケ）
である。
a ＜ 2 のとき、曲線C と直線l および直線x ＝ 2 で囲まれた図形の面積をT とすると
T = ∫ [a → 2] x2dx - ∫ [a → 2] (2ax - a2)dx
= ∫ [a → 2] (x2 - 2ax + a2)dx
= ∫ [a → 2] (x - a)2dx
= [(x - a)3/3] [a → 2]
= (2 - a)3/3 ・・・①
= (8 - 12a + 6a2 - a3)/3
= -a3/3 + 2a2 - 4a + 8/3 ・・・（コ・サ・シ・ス・セ）
a ＝ 0 のときはS = 0、a ＝ 2 のときはT = 0であるとして、
0 ≦ a ≦ 2 に対して U = S + T とおくと。
U(a) = S(a) + T(a) より
U(a) = a3/12 + (-a3/3 + 2a2 - 4a + 8/3)
U(a) = -a3/4 + 2a2 - 4a + 8/3
U'(a) = -3a2/4 + 4a - 4 (a で微分)
U'(a) = 0 より
-3a2/4 + 4a - 4 = 0 ⇔ 3a2 - 16a + 16 = 0 ⇔ (a - 4)(3a - 4) = 0 ⇔ a = 4, 4/3
増減表より
a : 0 (-) 3/4 (+) 2 (+) 4 (-)
①より
U(a) = a3/12 + (2 - a)3/3
最大値は、a = 0、a = 2 のどちらか。
(i) a = 0 のとき
U(0) = 23/3 = 8/3
(ii) a = 2 のとき
U(2) = 23/12 = 8/12 = 2/3
よって、U(0) ＞ U(2)
最小値は、a = 4/3 より
U(4/3) = (4/3)3/12 + (2 - 4/3)3/3
= 64/(27・12) + (2/3)3/3
= 64/(27・12) + 8/(27・3)
= (64/4 + 8)/(27・3)
= (16 + 8)/(27・3)
= (24)/(27・3)
= 8/27
最大値 a = 0 のとき U(0) = 23/3 = 8/3
最小値 a = 4/3 のとき U(4/3) 8/27
座標平面上で、放物線 y = x2 をC とする。
曲線C 上の点P の x座標を a とする。
点P におけるC の接線l の方程式は、
y = x2 より
y' = 2x
===== 公式 =====
y = xn
y' = nxn - 1
===== 公式 =====
===== 公式 =====
y = f(x) より y' = f'(x)
点(a, f(a)) の接線の方程式は
y - f(a) = f'(a)(x - a)
===== 公式 =====
y - a2 = 2a(x - a)
y = 2ax - a2 ・・・（ア・イ・ウ）
である。
a ≠ 0 のとき直線l がx 軸と交わる点をQ とすると、Q の座標は、
y = 0 より
2ax - a2 = 0 ⇔ 2ax = a2 ⇔ x = a/2 （∵a ≠ 0)
Q(a/2, 0) ・・・（エ・オ・カ）
である。
a ＞ 0 のとき、曲線C と直線l および x軸で囲まれた図形の面積をS とすると
===== 公式 =====
∫xndx = xn + 1/(n + 1) （ただし n ≠ -1）
n ＝ -1 は数学Ⅲ・Cの公式なので、割愛します。
===== 公式 =====
S = ∫ [0 → a] x2dx - ∫ [a/2 → a] (2ax - a2)dx
= [x3/3] [0 → a] - [ax2 - a2x] [a/2 → a]
= (a3/3) - ((a3 - a3) - (a3/4 - a3/2))
= a3/3 - a3/4
= a3/12 ・・・（キ・ク・ケ）
である。
a ＜ 2 のとき、曲線C と直線l および直線x ＝ 2 で囲まれた図形の面積をT とすると
T = ∫ [a → 2] x2dx - ∫ [a → 2] (2ax - a2)dx
= ∫ [a → 2] (x2 - 2ax + a2)dx
= ∫ [a → 2] (x - a)2dx
= [(x - a)3/3] [a → 2]
= (2 - a)3/3 ・・・①
= (8 - 12a + 6a2 - a3)/3
= -a3/3 + 2a2 - 4a + 8/3 ・・・（コ・サ・シ・ス・セ）
a ＝ 0 のときはS = 0、a ＝ 2 のときはT = 0であるとして、
0 ≦ a ≦ 2 に対して U = S + T とおくと。
U(a) = S(a) + T(a) より
U(a) = a3/12 + (-a3/3 + 2a2 - 4a + 8/3)
U(a) = -a3/4 + 2a2 - 4a + 8/3
U'(a) = -3a2/4 + 4a - 4 (a で微分)
U'(a) = 0 より
-3a2/4 + 4a - 4 = 0 ⇔ 3a2 - 16a + 16 = 0 ⇔ (a - 4)(3a - 4) = 0 ⇔ a = 4, 4/3
増減表より
a : 0 (-) 3/4 (+) 2 (+) 4 (-)
①より
U(a) = a3/12 + (2 - a)3/3
最大値は、a = 0、a = 2 のどちらか。
(i) a = 0 のとき
U(0) = 23/3 = 8/3
(ii) a = 2 のとき
U(2) = 23/12 = 8/12 = 2/3
よって、U(0) ＞ U(2)
最小値は、a = 4/3 より
U(4/3) = (4/3)3/12 + (2 - 4/3)3/3
= 64/(27・12) + (2/3)3/3
= 64/(27・12) + 8/(27・3)
= (64/4 + 8)/(27・3)
= (16 + 8)/(27・3)
= (24)/(27・3)
= 8/27
最大値 a = 0 のとき U(0) = 23/3 = 8/3
最小値 a = 4/3 のとき U(4/3) 8/27
＜第１問＞
[1] -π/2 ≦ θ ≦ 0 のとき、関数
y = cos2θ + √3sin2θ - 2√3cosθ - 2sinθ
の最小値を求めよう。
t = sinθ + √3cosθ とおくと
t2 = (sinθ + √3cosθ)2
t2 = sin2θ + 2√3sinθcosθ + 3cos2θ
sin2θ + cos2θ = 1 より
t2 = 2cos2θ + 2√3sinθcosθ + 1 ・・・（ア・イ・ウ・エ）
であるから、
２倍角の公式より
sin2θ = 2sinθcosθ
cos2θ = cos2θ - sin2θ = 2cos2θ - 1
よって、
2sinθcosθ = sin2θ
2cos2θ = cos2θ + 1
より
t2 = (cos2θ + 1) + √3(sin2θ) + 1
t2 = cos2θ + √3sin2θ + 2
より
y = cos2θ + √3sin2θ - 2√3cosθ - 2sinθ
y = (cos2θ + √3sin2θ) - 2(√3cosθ + sinθ)
y = (t2 - 2) - 2t
y = t2 - 2t - 2 ・・・（オ・カ）
また、合成関数の公式より
t = sinθ + √3cosθ = √(12 + (√3)2)sin(θ + π/3)
t = 2sin(θ + π/3) ・・・（キ・ク）
である。
θ + π/3 のとり得る値の範囲は、-π/2 ≦ θ ≦ 0 より
-π/2 + π/3 ≦ θ + π/3 ≦ π/3 ⇔ -π/6 ≦ θ + π/3 ≦ π/3 ・・・（ケ）
であるから、t のとり得る値の範囲は、
2sin(-π/6) ≦ t ≦ 2sin(π/3) ⇔ 2・(-1/2) ≦ t ≦ 2・(√3/2) ⇔ -1 ≦ t ≦ √3 ・・・（コ・サ・シ）
したがって、
y = t2 - 2t - 2 = t2 - 2t + 1 - 1 - 2
y = (t - 1)2 - 3
-1 ≦ t ≦ √3 より t = 1 ・・・（ス）
すなわち
t = 2sin(θ + π/3) より
2sin(θ + π/3) = 1 ⇔ sin(θ + π/3) = 1/2 ⇔ θ + π/3 = π/6 ⇔ θ = -π/6 ・・・（セ）
t = 1 のとき y = -3 より最小値 -3 ・・・（ソ・タ）
をとる。
[2] 自然数 x で、条件
12(log2√x)2 - 7log4x - 10 ＞ 0 ・・・①
x + log3x ＜ 14 ・・・②
を満たすものを求めよう。
まず、x を正の実数として、条件①を考える。
①は X = log2x とおくと
①より
12(log2√x)2 - 7log4x - 10 ＞ 0
⇔ 12((1/2)・log2x)2 - 7・(log2x/log24) - 10 ＞ 0
⇔ 3(log2x)2 - 7/2・log2x - 10 ＞ 0
⇔ 3X2 - 7X/2 - 10 ＞ 0
⇔ 6X2 - 7X - 20 ＞ 0 ・・・（チ・ツ・テ）
となる。
この不等式を解くと
⇔ (3X + 4)(2X - 5) ＞ 0
⇔ X ＜ -4/3, 5/2 ＜ X ・・・（ト・ナ・ニ・ヌ）
となる。
したがって、条件①を満たす最小の自然数x は、6 （ネ）であり、6 以上のすべての自然数 x は①を満たす。
次の、条件②について考えると、
x + log3x ＜ 14
⇔ xlog33 + log3x ＜ 14log33
⇔ log33x + log3x ＜ log3314
⇔ log3(3x・x) ＜ log3314
⇔ 3x・x ＜ 314
⇔ x ＜ 314 - x
x = 9(= 32) の時、9 ＜ 35(= 243) 不等号が成り立つ
x = 27(= 33) の時、9 ＜ 3-13 不等号が成り立たない
x = 10 の時、10 ＜ 34(= 81) 不等号が成り立つ
x = 11 の時、11 ＜ 33(= 27) 不等号が成り立つ
x = 12 の時、12 ＜ 32(= 9) 不等号が成り立たない
②を満たす最大の自然数 x は、11（ノ・ハ）であり、11 以下のすべての自然数 x は②を満たす。
したがって、求める x は 6以上 11以下の自然数である。
[1] -π/2 ≦ θ ≦ 0 のとき、関数
y = cos2θ + √3sin2θ - 2√3cosθ - 2sinθ
の最小値を求めよう。
t = sinθ + √3cosθ とおくと
t2 = (sinθ + √3cosθ)2
t2 = sin2θ + 2√3sinθcosθ + 3cos2θ
sin2θ + cos2θ = 1 より
t2 = 2cos2θ + 2√3sinθcosθ + 1 ・・・（ア・イ・ウ・エ）
であるから、
２倍角の公式より
sin2θ = 2sinθcosθ
cos2θ = cos2θ - sin2θ = 2cos2θ - 1
よって、
2sinθcosθ = sin2θ
2cos2θ = cos2θ + 1
より
t2 = (cos2θ + 1) + √3(sin2θ) + 1
t2 = cos2θ + √3sin2θ + 2
より
y = cos2θ + √3sin2θ - 2√3cosθ - 2sinθ
y = (cos2θ + √3sin2θ) - 2(√3cosθ + sinθ)
y = (t2 - 2) - 2t
y = t2 - 2t - 2 ・・・（オ・カ）
また、合成関数の公式より
t = sinθ + √3cosθ = √(12 + (√3)2)sin(θ + π/3)
t = 2sin(θ + π/3) ・・・（キ・ク）
である。
θ + π/3 のとり得る値の範囲は、-π/2 ≦ θ ≦ 0 より
-π/2 + π/3 ≦ θ + π/3 ≦ π/3 ⇔ -π/6 ≦ θ + π/3 ≦ π/3 ・・・（ケ）
であるから、t のとり得る値の範囲は、
2sin(-π/6) ≦ t ≦ 2sin(π/3) ⇔ 2・(-1/2) ≦ t ≦ 2・(√3/2) ⇔ -1 ≦ t ≦ √3 ・・・（コ・サ・シ）
したがって、
y = t2 - 2t - 2 = t2 - 2t + 1 - 1 - 2
y = (t - 1)2 - 3
-1 ≦ t ≦ √3 より t = 1 ・・・（ス）
すなわち
t = 2sin(θ + π/3) より
2sin(θ + π/3) = 1 ⇔ sin(θ + π/3) = 1/2 ⇔ θ + π/3 = π/6 ⇔ θ = -π/6 ・・・（セ）
t = 1 のとき y = -3 より最小値 -3 ・・・（ソ・タ）
をとる。
[2] 自然数 x で、条件
12(log2√x)2 - 7log4x - 10 ＞ 0 ・・・①
x + log3x ＜ 14 ・・・②
を満たすものを求めよう。
まず、x を正の実数として、条件①を考える。
①は X = log2x とおくと
①より
12(log2√x)2 - 7log4x - 10 ＞ 0
⇔ 12((1/2)・log2x)2 - 7・(log2x/log24) - 10 ＞ 0
⇔ 3(log2x)2 - 7/2・log2x - 10 ＞ 0
⇔ 3X2 - 7X/2 - 10 ＞ 0
⇔ 6X2 - 7X - 20 ＞ 0 ・・・（チ・ツ・テ）
となる。
この不等式を解くと
⇔ (3X + 4)(2X - 5) ＞ 0
⇔ X ＜ -4/3, 5/2 ＜ X ・・・（ト・ナ・ニ・ヌ）
となる。
したがって、条件①を満たす最小の自然数x は、6 （ネ）であり、6 以上のすべての自然数 x は①を満たす。
次の、条件②について考えると、
x + log3x ＜ 14
⇔ xlog33 + log3x ＜ 14log33
⇔ log33x + log3x ＜ log3314
⇔ log3(3x・x) ＜ log3314
⇔ 3x・x ＜ 314
⇔ x ＜ 314 - x
x = 9(= 32) の時、9 ＜ 35(= 243) 不等号が成り立つ
x = 27(= 33) の時、9 ＜ 3-13 不等号が成り立たない
x = 10 の時、10 ＜ 34(= 81) 不等号が成り立つ
x = 11 の時、11 ＜ 33(= 27) 不等号が成り立つ
x = 12 の時、12 ＜ 32(= 9) 不等号が成り立たない
②を満たす最大の自然数 x は、11（ノ・ハ）であり、11 以下のすべての自然数 x は②を満たす。
したがって、求める x は 6以上 11以下の自然数である。
＜第３問＞
点O を中心とする円O の円周上に４点A、B、C、D がこの順にある。
四角形ABCD の辺の長さは、それぞれ、
AB = √7、BC = 2√7、CD = √3、DA = 2√3
であるとする。
(1) ∠ABC = θ、AC = x とおくと、△ABC に着目して
余弦定理
※正確には第２余弦定理 数学Ⅰ・Ａでは第１余弦定理は学習しない
x2 = AB2 + BC2 - 2・AB・BC・cosθ
x2 = (√7)2 + (2√7)2 - 2・(√7)・(2√7)・cosθ
x2 = 7 + 28 - 28cosθ
x2 = 35 - 28cosθ ・・・（ア・イ）
となる。
また、△ACD に着目して
∠ABC + ∠ADC = 180°より ∠ADC = 180°- θ
x2 = CD2 + DA2 - 2・CD・DA・cos(180°-θ)
cos(180°-θ) = -cosθより
x2 = (√3)2 + (2√3)2 + 2・(√3)・(2√3)・cosθ
x2 = 3 + 12 + 12cosθ
x2 = 15 + 12cosθ ・・・（ウ・エ）
となる。
よって、
35 - 28cosθ = 15 + 12cosθ ⇔ 40cosθ = 20 ⇔ cosθ = 1/2 ・・・（オ・カ）
x2 = 35 - 28cosθ = 35 - 14 = 21
x ＞ 0 より、x = √21 ・・・（キ・ク）
であり、円O の半径は、正弦定理より
x / (sinθ) = 2R
sin2θ + cos2θ = 1 より
sin2θ = 1 - cos2θ ⇔ sin2θ = 1 - (1/2)2 = 3/4
sinθ ＞ 0 より、sinθ = √3/2
よって、
2R = x / (sinθ) = √21 / (√3/2) = 2√7 ⇔ R = √7 ・・・（ケ）
である。
また、四角形ABCD の面積Sは、
S = (1/2)・AB・BC・sinθ + (1/2)・DC・DA・sin(180°-θ)
sin(180°-θ) = sinθより
= (1/2)・(√7)・(2√7)・sinθ + (1/2)・(√3)・(2√3)・sinθ
= 7・(√3/2) + 3・(√3/2)
= 10・(√3/2)
= 5√3 ・・・（コ・サ）
(2) 点A における円O の接線と点D における円O の接線の交点をE とすると、∠OAE = 90°（シ・ス）である。
また、線分OE と辺AD の交点を F とすると、∠AFE = 90°（セ・ソ）であり、
△OAE ∽ △OFA より
OE : OA = OA : OF ⇔ OE : √7 = √7 : OF ⇔ OE・OF = 7 ・・・（タ）
である。
さらに、辺AD の延長と線分OC の延長の交点をG とする。
点E から直線OG に垂線を下ろし、直線OG との交点をH とする。
∠OHE = ∠EFG = 90°より
4点E、G、(②H、F ・・・（チ）) は円周上にある。
したがって、
△OHE ∽ △OFG より
OE : OH = OG : OF ⇔ ⇔ OH・OG = OE・OF = 7 ・・・（ツ）
点O を中心とする円O の円周上に４点A、B、C、D がこの順にある。
四角形ABCD の辺の長さは、それぞれ、
AB = √7、BC = 2√7、CD = √3、DA = 2√3
であるとする。
(1) ∠ABC = θ、AC = x とおくと、△ABC に着目して
余弦定理
※正確には第２余弦定理 数学Ⅰ・Ａでは第１余弦定理は学習しない
x2 = AB2 + BC2 - 2・AB・BC・cosθ
x2 = (√7)2 + (2√7)2 - 2・(√7)・(2√7)・cosθ
x2 = 7 + 28 - 28cosθ
x2 = 35 - 28cosθ ・・・（ア・イ）
となる。
また、△ACD に着目して
∠ABC + ∠ADC = 180°より ∠ADC = 180°- θ
x2 = CD2 + DA2 - 2・CD・DA・cos(180°-θ)
cos(180°-θ) = -cosθより
x2 = (√3)2 + (2√3)2 + 2・(√3)・(2√3)・cosθ
x2 = 3 + 12 + 12cosθ
x2 = 15 + 12cosθ ・・・（ウ・エ）
となる。
よって、
35 - 28cosθ = 15 + 12cosθ ⇔ 40cosθ = 20 ⇔ cosθ = 1/2 ・・・（オ・カ）
x2 = 35 - 28cosθ = 35 - 14 = 21
x ＞ 0 より、x = √21 ・・・（キ・ク）
であり、円O の半径は、正弦定理より
x / (sinθ) = 2R
sin2θ + cos2θ = 1 より
sin2θ = 1 - cos2θ ⇔ sin2θ = 1 - (1/2)2 = 3/4
sinθ ＞ 0 より、sinθ = √3/2
よって、
2R = x / (sinθ) = √21 / (√3/2) = 2√7 ⇔ R = √7 ・・・（ケ）
である。
また、四角形ABCD の面積Sは、
S = (1/2)・AB・BC・sinθ + (1/2)・DC・DA・sin(180°-θ)
sin(180°-θ) = sinθより
= (1/2)・(√7)・(2√7)・sinθ + (1/2)・(√3)・(2√3)・sinθ
= 7・(√3/2) + 3・(√3/2)
= 10・(√3/2)
= 5√3 ・・・（コ・サ）
(2) 点A における円O の接線と点D における円O の接線の交点をE とすると、∠OAE = 90°（シ・ス）である。
また、線分OE と辺AD の交点を F とすると、∠AFE = 90°（セ・ソ）であり、
△OAE ∽ △OFA より
OE : OA = OA : OF ⇔ OE : √7 = √7 : OF ⇔ OE・OF = 7 ・・・（タ）
である。
さらに、辺AD の延長と線分OC の延長の交点をG とする。
点E から直線OG に垂線を下ろし、直線OG との交点をH とする。
∠OHE = ∠EFG = 90°より
4点E、G、(②H、F ・・・（チ）) は円周上にある。
したがって、
△OHE ∽ △OFG より
OE : OH = OG : OF ⇔ ⇔ OH・OG = OE・OF = 7 ・・・（ツ）
＜第２問＞
[１]
a, b, c を定数とし、a ≠ 0, b ≠ 0 とする。 x の２次関数
y = ax2 + bx + c ・・・①
①を平方完成すると
y = a(x + b/(2a))2 - (b2 - 4ac)/(4a) ・・・(A)
のグラフを G とする。 G が y = -3x2 + 12bx のグラフと同じ軸をもつとき
(A) よりx軸は、x = -b/(2a) は、①を満たし、これは一般形なので。
x = -b/(2a) = - (12b)/(2・(-3)) = 2b ⇔ -b/(2a) = 2b ⇔ 4a = -1 ⇔ a = -1/4 ・・・（ア・イ・ウ） ・・・②
となる。
さらに、G が点(1, 2b - 1) を通るとき
①に代入すると
2b - 1 = a + b + c
②よりa = -1/4なので
2b - 1 = -1/4 + b + c ⇔ c = 2b - 1 - (b - 1/4) = b - 3/4 ⇔ c = b - 3/4 ・・・（エ・オ）・・・③
が成り立つ。
以下、②、③のとき、２次関数①とそのグラフG を考える。
G : y = -x2/4 + bx + (b - 3/4)
y = -(1/4)・(x2 -4bx + (3 - 4b)) ・・・⑤
(1) G が x軸と異なる２点で交わるような b の値の範囲は、
===== 公式 =====
ax2 + bx + c = 0 ⇔ 判別式 D = (b)2 - 4ac
ax2 + (2b')x + c = 0 ⇔ 判別式 D/4 = (b')2 - ac
===== 公式 =====
D/4 = (b')2 - ac
= (-2b)2 - 1・(3 - 4b) ＞ 0
⇔ 4b2 + 4b - 3 ＞ 0
⇔ (2b - 1)(2b + 3) ＞ 0
b ＜ -3/2, 1/2 ＜ b ・・・（カ・キ・ク・ケ・コ）
である。
さらに、G と x軸の正の部分が異なる２点で交わるような b の値の範囲は
１）D/4 ＞ 0 ⇔ b ＜ -3/2, 1/2 ＜ b
２）x軸 x = -b/(2a) = -(-4b)/(2・1) = 2b ＞ 0 ⇔ b ＞ 0
３）c = 3 - 4b ＞ 0 ⇔ b ＜ 3/4
１）、２）、３）以上より
1/2 ＜ b ＜ 3/4 ・・・（サ・シ・ス・セ）
である。
(2) b ＞ 0 とすると
0 ≦ x ≦ b おける２次関数①の最小値が -1/4 であるとき、
①は⑤より
y = -(1/4)・(x2 -4bx + (3 - 4b)) ・・・⑤
y = -(1/4)・(x2 -4bx + 4b2 - 4b2 - 4b + 3)
y = -(1/4)・((x - 2b)2 - (4b2 + 4b - 3)) ・・・⑥
x軸は、x = 2b なので、 0 ≦ x ≦ b ＜ 2b より
x = 0 のとき、最小値 -1/4 をとる。 ⑤より
-(1/4)・(3 - 4b) = -1/4 ⇔ 3 - 4b = 1 ⇔ b = 1/2 ・・・（ソ・タ）
である。
一方、x ≧ b における２次関数①の最大値が３であるとき、
よって、x = 2b のとき、最大値 3 をとる。
(1/4)・(4b2 + 4b - 3) = 3 ⇔ 4b2 + 4b - 3 = 12 ⇔ 4b2 + 4b - 15 = 0
⇔ (2b - 3)(2b + 5) = 0 ⇔ b = 3/2, -5/2
b ＞ 0 より b = 3/2 （チ・ツ）
である。
b = 1/2, b = 3/2 のときの①のグラフをそれぞれG1、G2とする。
①は⑥より
b = 1/2 のとき
y = -(1/4)・((x - 1)2 - (1 + 2 - 3))
y = -(1/4)・(x - 1)2 ・・・G1
b = 3/2 のとき
y = -(1/4)・((x - 3)2 - (9 + 6 - 3))
y = -(1/4)・((x - 3)2 - 12)
y = -(1/4)・((x - 3)2) + 3 ・・・G2
G1 を x軸方向に 2（テ）、y軸方向に3（ト）だけ平行移動すれば、G2と一致する。
[１]
a, b, c を定数とし、a ≠ 0, b ≠ 0 とする。 x の２次関数
y = ax2 + bx + c ・・・①
①を平方完成すると
y = a(x + b/(2a))2 - (b2 - 4ac)/(4a) ・・・(A)
のグラフを G とする。 G が y = -3x2 + 12bx のグラフと同じ軸をもつとき
(A) よりx軸は、x = -b/(2a) は、①を満たし、これは一般形なので。
x = -b/(2a) = - (12b)/(2・(-3)) = 2b ⇔ -b/(2a) = 2b ⇔ 4a = -1 ⇔ a = -1/4 ・・・（ア・イ・ウ） ・・・②
となる。
さらに、G が点(1, 2b - 1) を通るとき
①に代入すると
2b - 1 = a + b + c
②よりa = -1/4なので
2b - 1 = -1/4 + b + c ⇔ c = 2b - 1 - (b - 1/4) = b - 3/4 ⇔ c = b - 3/4 ・・・（エ・オ）・・・③
が成り立つ。
以下、②、③のとき、２次関数①とそのグラフG を考える。
G : y = -x2/4 + bx + (b - 3/4)
y = -(1/4)・(x2 -4bx + (3 - 4b)) ・・・⑤
(1) G が x軸と異なる２点で交わるような b の値の範囲は、
===== 公式 =====
ax2 + bx + c = 0 ⇔ 判別式 D = (b)2 - 4ac
ax2 + (2b')x + c = 0 ⇔ 判別式 D/4 = (b')2 - ac
===== 公式 =====
D/4 = (b')2 - ac
= (-2b)2 - 1・(3 - 4b) ＞ 0
⇔ 4b2 + 4b - 3 ＞ 0
⇔ (2b - 1)(2b + 3) ＞ 0
b ＜ -3/2, 1/2 ＜ b ・・・（カ・キ・ク・ケ・コ）
である。
さらに、G と x軸の正の部分が異なる２点で交わるような b の値の範囲は
１）D/4 ＞ 0 ⇔ b ＜ -3/2, 1/2 ＜ b
２）x軸 x = -b/(2a) = -(-4b)/(2・1) = 2b ＞ 0 ⇔ b ＞ 0
３）c = 3 - 4b ＞ 0 ⇔ b ＜ 3/4
１）、２）、３）以上より
1/2 ＜ b ＜ 3/4 ・・・（サ・シ・ス・セ）
である。
(2) b ＞ 0 とすると
0 ≦ x ≦ b おける２次関数①の最小値が -1/4 であるとき、
①は⑤より
y = -(1/4)・(x2 -4bx + (3 - 4b)) ・・・⑤
y = -(1/4)・(x2 -4bx + 4b2 - 4b2 - 4b + 3)
y = -(1/4)・((x - 2b)2 - (4b2 + 4b - 3)) ・・・⑥
x軸は、x = 2b なので、 0 ≦ x ≦ b ＜ 2b より
x = 0 のとき、最小値 -1/4 をとる。 ⑤より
-(1/4)・(3 - 4b) = -1/4 ⇔ 3 - 4b = 1 ⇔ b = 1/2 ・・・（ソ・タ）
である。
一方、x ≧ b における２次関数①の最大値が３であるとき、
よって、x = 2b のとき、最大値 3 をとる。
(1/4)・(4b2 + 4b - 3) = 3 ⇔ 4b2 + 4b - 3 = 12 ⇔ 4b2 + 4b - 15 = 0
⇔ (2b - 3)(2b + 5) = 0 ⇔ b = 3/2, -5/2
b ＞ 0 より b = 3/2 （チ・ツ）
である。
b = 1/2, b = 3/2 のときの①のグラフをそれぞれG1、G2とする。
①は⑥より
b = 1/2 のとき
y = -(1/4)・((x - 1)2 - (1 + 2 - 3))
y = -(1/4)・(x - 1)2 ・・・G1
b = 3/2 のとき
y = -(1/4)・((x - 3)2 - (9 + 6 - 3))
y = -(1/4)・((x - 3)2 - 12)
y = -(1/4)・((x - 3)2) + 3 ・・・G2
G1 を x軸方向に 2（テ）、y軸方向に3（ト）だけ平行移動すれば、G2と一致する。
センター入試の数学Ⅰ・Aの解説です。
ただし、確率・統計は苦手なので、解説はありません。
解説は、第１問－第３問を予定です。
＜第１問＞
[１]
a = 3 + 2√2, b = 2 + √3 とすると
1/a = 1/(3 + 2√2) = (3 - 2√2)/(32 - (2√2)2) = (3 - 2√2)/(9 - 8) = 3 - 2√2 ・・・（ア・イ・ウ）
1/b = 1/(2 + √3) = (2 - √3)/(22 - (√3)2) = (2 - √3)/(4 - 3) = 2 - √3 ・・・（エ・オ）
a/b - b/a = a・(1/b) - b・(1/a)
= (3 + 2√2)(2 - √3) - (2 + √3)(3 - 2√2)
= (6 - 3√3 + 4√2 - 2√6) - (6 - 4√2 + 3√3 - 2√6) ・・・①
= 6 - 3√3 + 4√2 - 2√6 - 6 + 4√2 - 3√3 + 2√6
= 8√2 - 6√3 ・・・（カ・キ・ク・ケ） ・・・②
である。
このとき、不等式
|2abx - a2| ＜ b2
を満たす x の値の範囲は、
|a(2bx - a)| ＜ b2
-b2 ＜ a(2bx - a) ＜ b2
-b2/a ＜ 2bx - a ＜ b2/a
a - b2/a ＜ 2bx ＜ a + b2/a
b = 2 + √3 ＞ 0 より
(a/b - b/a)・(1/2) ＜ x ＜ (a/b + b/a)・(1/2)
①より（マイナスをプラスにかえて）
(a/b + b/a) = (6 - 3√3 + 4√2 - 2√6) + (6 - 4√2 + 3√3 - 2√6)
= 6 - 3√3 + 4√2 - 2√6 + 6 - 4√2 + 3√3 - 2√6
= 12 - 4√6 ・・・③
②、③より
4√2 - 3√3 ＜ x ＜ 6 - 2√6 ・・・（コ・サ・シ・ス・セ・ソ・タ）
[2]
実数a, b に関する条件p, q を次のように定める。
p : (a + b)2 + (a - 2b)2 ＜ 5
q : |a + b| ＜ 1 または |a - 2b| ＜ 2
ここで、X = a + b, Y = a - 2b とおくと、次のような条件となる。
p : X2 + Y2 ＜ (√5)2
q : |X| ＜ 1 または |Y| ＜ 2
(1) 次の０～３のうち、命題「q ⇒ p]に対する反例になっているのは。
√(12 + 22) = √5 に注意する。
命題「q ⇒ p] なので、 q ⊂ p
０：a = 0, b = 0 ⇔ X = 0, Y = 0
１：a = 1, b = 0 ⇔ X = 1, Y = 1
２：a = 0, b = 1 ⇔ X = 1, Y = -1
３：a = 1, b = 1 ⇔ X = 2, Y = -1 ・・・なぜなら p : √(22 + (-1)2) ＜ √5
よって、反例は３である。 ・・・（チ）
(2) 命題「p ⇒ q」の対偶は「￢q ⇒ ￢p」である。
￢q ⇔ ￢（|X| ＜ 1 または |Y| ＜ 2） ⇔ |X| ≧ 1 かつ |Y| ≧ 2 ⇔ |a + b| ≧ 1 かつ |a - 2b| ≧ 2 ・・・④
￢p ⇔ ￢（X2 + Y2 ＜ (√5)2） ⇔ X2 + Y2 ≧ (√5)2 ⇔ (a + b)2 + (a - 2b)2 ≧ (√5)2 ・・・⑦
よって、命題「p ⇒ q」の対偶は「￢q（④） ⇒ ￢p（⑦）」・・・（ツ・テ）
(3) p はq であるためとは、「q ⇒ p」より
p は q であるための必要条件（①）。 ・・・（ト）
ただし、確率・統計は苦手なので、解説はありません。
解説は、第１問－第３問を予定です。
＜第１問＞
[１]
a = 3 + 2√2, b = 2 + √3 とすると
1/a = 1/(3 + 2√2) = (3 - 2√2)/(32 - (2√2)2) = (3 - 2√2)/(9 - 8) = 3 - 2√2 ・・・（ア・イ・ウ）
1/b = 1/(2 + √3) = (2 - √3)/(22 - (√3)2) = (2 - √3)/(4 - 3) = 2 - √3 ・・・（エ・オ）
a/b - b/a = a・(1/b) - b・(1/a)
= (3 + 2√2)(2 - √3) - (2 + √3)(3 - 2√2)
= (6 - 3√3 + 4√2 - 2√6) - (6 - 4√2 + 3√3 - 2√6) ・・・①
= 6 - 3√3 + 4√2 - 2√6 - 6 + 4√2 - 3√3 + 2√6
= 8√2 - 6√3 ・・・（カ・キ・ク・ケ） ・・・②
である。
このとき、不等式
|2abx - a2| ＜ b2
を満たす x の値の範囲は、
|a(2bx - a)| ＜ b2
-b2 ＜ a(2bx - a) ＜ b2
-b2/a ＜ 2bx - a ＜ b2/a
a - b2/a ＜ 2bx ＜ a + b2/a
b = 2 + √3 ＞ 0 より
(a/b - b/a)・(1/2) ＜ x ＜ (a/b + b/a)・(1/2)
①より（マイナスをプラスにかえて）
(a/b + b/a) = (6 - 3√3 + 4√2 - 2√6) + (6 - 4√2 + 3√3 - 2√6)
= 6 - 3√3 + 4√2 - 2√6 + 6 - 4√2 + 3√3 - 2√6
= 12 - 4√6 ・・・③
②、③より
4√2 - 3√3 ＜ x ＜ 6 - 2√6 ・・・（コ・サ・シ・ス・セ・ソ・タ）
[2]
実数a, b に関する条件p, q を次のように定める。
p : (a + b)2 + (a - 2b)2 ＜ 5
q : |a + b| ＜ 1 または |a - 2b| ＜ 2
ここで、X = a + b, Y = a - 2b とおくと、次のような条件となる。
p : X2 + Y2 ＜ (√5)2
q : |X| ＜ 1 または |Y| ＜ 2
(1) 次の０～３のうち、命題「q ⇒ p]に対する反例になっているのは。
√(12 + 22) = √5 に注意する。
命題「q ⇒ p] なので、 q ⊂ p
０：a = 0, b = 0 ⇔ X = 0, Y = 0
１：a = 1, b = 0 ⇔ X = 1, Y = 1
２：a = 0, b = 1 ⇔ X = 1, Y = -1
３：a = 1, b = 1 ⇔ X = 2, Y = -1 ・・・なぜなら p : √(22 + (-1)2) ＜ √5
よって、反例は３である。 ・・・（チ）
(2) 命題「p ⇒ q」の対偶は「￢q ⇒ ￢p」である。
￢q ⇔ ￢（|X| ＜ 1 または |Y| ＜ 2） ⇔ |X| ≧ 1 かつ |Y| ≧ 2 ⇔ |a + b| ≧ 1 かつ |a - 2b| ≧ 2 ・・・④
￢p ⇔ ￢（X2 + Y2 ＜ (√5)2） ⇔ X2 + Y2 ≧ (√5)2 ⇔ (a + b)2 + (a - 2b)2 ≧ (√5)2 ・・・⑦
よって、命題「p ⇒ q」の対偶は「￢q（④） ⇒ ￢p（⑦）」・・・（ツ・テ）
(3) p はq であるためとは、「q ⇒ p」より
p は q であるための必要条件（①）。 ・・・（ト）