大学入試問題

2009年の最新の問題より

＜学習院大学（理学部）＞
（問題）
関数 y = x - (sin(x) + √3・cos(x)) の区間 -π ≦ x ≦ π における最大値、最小値と、それらを与える x の値を求めよ。

===== 数学Ⅲ（最大値・最小値） =====
（解答）
f(x) = x - (sin(x) + √3・cos(x)) とおくと
f'(x) = 1 - (cos(x) - √3・sin(x)) = 1 - 2・cos(x + π/3)
f'(x) = 0 を解くと、-2π/3 ≦ x + π/3 ≦ 4π/3 より
x + π/3 = -π/3, π/3
∴ x = -2π/3, 0
（増減表）
x: -π・・・-2π/3（極大値）・・・0（極小値）・・・π
f(π) = √3 + π
f(-π) = √3 - π
f(0) = -√3
f(-2π/3) = √3 - 2π/3

よって、
f(-π) - f(0) = 2√3 - π ＞ 0
f(π) - f(-2π/3) = 5π/3 ＞ 0

x = π で最大値 √3 + π
x = 0 で最小値 -√3
をとる。 ...Ans


（定理の解説）
＜三角関数の合成＞
a・sin(x) + b・cos(x) = √(a² + b²)・cos(x - α)

＜三角関数の微分＞
(sin(x))' = cos(x)
(cos(x))' = -sin(x)

＜関数の極大・極小＞
x = a で連続な関数 f(x) について
f(x) が x = a において極大または極小となり、しかも x = a において微分可能
⇒ f'(a) = 0


＜東京理科大学（理学部・数理情報科学）＞
（問題）
対数を自然対数とする。　数列 {x_n} (n = 1, 2, 3, ...) を
∫[0 x_n] 1/cos(x)・dx = n・log√3
により定める。　ただし、0 ≦ x_n ＜ π/2 とする。　次の問いに答えよ。
(1) x₁ を求めよ
(2) sin(x_n) を求めよ
(3) 曲線 y = 1/cos(x) と x軸および２直線 x = 0、x = x_n で囲まれた図形を x軸のまわりに１回転してできる回転体の体積を V_n とする。　V_n を求めよ。
(4) (3) で求めた V_n に対して、lim [n → ∞] V_n+1/V_n を求めよ
(5) (3) で求めた V_n に対して、
不等式 V_n+2 -2V_n+1 + V_n ＞ 0 (n = 1, 2, 3, ...)
が成り立つことを証明せよ。

（解答）
(1) ∫[0 x_n] 1/cos(x)・dx = ∫[0 x_n] cos(x)/cos²(x)・dx = ∫[0 x_n] cos(x)/(1 - sin²(x))・dx
sin(x) = t とおくと
dt/dx = cos(x)
x:0 → x_n
t:0 → sin(x_n)
であるから
∫[0 x_n] cos(x)/(1 - sin²(x))・dx
= ∫[0 x_n] 1/(1 - t²)・dt/dx・dx
= ∫[0 sin(x_n)] 1/(1 + t)(1 - t)・dt
= 1/2・∫[0 sin(x_n)] (1/(1 + t) + 1/(1 - t))dt
= 1/2・[log(1 + t) - log(1 - t)] [0 sin(x_n)]
= 1/2・log(1 + sin(x_n))/(1 - sin(x_n)) ・・・①
したがって n = 1 のとき条件より
1/2・log(1 + sin(x₁))/(1 - sin(x₁)) = log√3
(1 + sin(x₁))/(1 - sin(x₁)) = 3
sin(x₁) = 1/2
0 ≦ x₁ ＜ π/2 より x₁ = π/6 ... Ans

(2) ①より1/2・log(1 + sin(x_n))/(1 - sin(x_n)) = n・log√3
(1 + sin(x_n))/(1 - sin(x_n)) = 3ⁿ
(3ⁿ + 1)・sin(x_n) = 3ⁿ - 1
よって、 sin(x_n) = (3ⁿ - 1)/(3ⁿ + 1) ... Ans

(3) V_n = π∫[0 x_n] 1/cos²x・dx
= π[tan(x)] [0 x_n]
= πtan(x_n)
0 ≦ x_n ＜ π/2 であるから
cos(x_n)
= √(1 - sin²(x_n))
= √(1 - ((3ⁿ - 1)/(3ⁿ + 1))²)
= √(4・3ⁿ/(3ⁿ + 1)²)
= 2√3ⁿ/(3ⁿ + 1)
したがって
V_n
= π・sin(x_n)/cos(x_n)
= π・(3ⁿ - 1)/(3ⁿ + 1)・(3ⁿ + 1)/2√3ⁿ
= (3ⁿ - 1)・π/2√3ⁿ ... Ans

(4) V_n+1/V_n
= (3ⁿ⁺¹ - 1)・π/2√3ⁿ⁺¹・2√3ⁿ/(3ⁿ - 1)・π
= (3 - 1/3ⁿ)/(√3(1 - 1/3ⁿ))
であるから、
lim [n → ∞] V_n+1/V_n = 3/√3 = √3 ... Ans

(5) V_n+2 -2V_n+1 + V_n
= (3ⁿ⁺² - 1)・π/2√3ⁿ⁺² - 2・(3ⁿ⁺¹ - 1)・π/2√3ⁿ⁺¹ + (3ⁿ - 1)・π/2√3ⁿ
= π/6√3ⁿ・{(3ⁿ⁺² - 1) - 2√3・(3ⁿ⁺¹ - 1) + 3・(3ⁿ - 1)}
= π/6√3ⁿ・{(3 - 2√3 + 1)・3ⁿ⁺¹ - (1 - 2√3 + 3)}
= (2 - √3)(3ⁿ⁺¹ - 1)・π/3√3ⁿ ＞ 0
よって、n = 1, 2, 3, ... のとき
V_n+2 -2V_n+1 + V_n ＞ 0 が成り立つ。　Q.E.D

（定理の解説）
(1) 三角関数の不定積分は、sin(x) = t とおくと、分数関数に変化する
普通に計算をして、n = 1 より比較をすればよい。
(3) y = f(x) 区間[a, b]より、 x軸を回転する体積V は
V = π∫y²dx
他は、式が複雑に見えるが、普通に計算をして求めればよい。

gooのメンテナンス

2009年12月15日（火）午前6:30 ～ 09:30（3時間）
この時に、gooのメンテナンスをする予定です。
アクセスが出来ないので注意してください。

予備校の数学の講師

午後が比較的に良いので、午後から働ける、予備校の数学の講師をしたいと思います。
勤務地は、茨城南部または水戸駅の近くを希望しています。

でも、なかなか求人がないので、どうして困っています。
予備校の講師をしながら、某大学で数学を勉強が出来れば良いのですが・・・。

リーマンζ関数について

リーマンζ関数について
ζ(s) = Σ [n = 1 ∞] n^-s

以下は４つの場合を考える
(1) 1 ≦ s ∈ Z の場合 ＜s = 2n, s = 2n-1 (n ∈ N)＞
(2) s ≦ 0 ∈ Z の場合 ＜解析接続と関数等式＞
(3) Re(s) ＞ 1 ∈ C の場合　＜絶対収束する＞
(4) 0 ≦ Re(s) ＜ 1 ∈ C の場合　＜s = 1 で１位の極をもち、留数が１である＞


(1) 1 ≦ s ∈ Z の場合 s = 2n, s = 2n-1 (n ∈ N)
(i) s = 2n ∈ Z の場合
sin(x)/x は、マクロリーン展開とx = nπ (n ∈ Z)を解にもつので
＜マクロリーン展開＞
sin(x)/x
= (x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + x⁹/9! - ...)/x
= 1 - x²/3! + x⁴/5! - x⁶/7! + x⁸/9! - ...

x = nπ (n ∈ Z) に解を持つので
sin(x)/x
= Π(1 - x/nπ)
= (1 - x/π)(1 - x/(-π))(1 - x/2π)(1 - x/(-2π)...
= (1 - x²/π²)(1 - x²/(2π)²)...

ζ(1) = ∞ (補足追加)
ζ(2) = π²/6
ζ(4) = π⁴/90
ζ(6) = π⁶/945
ζ(8) = π⁸/9450
ζ(10) = π¹⁰/93555
ζ(12) = 691π¹²/638512875
ζ(14) = 2π¹⁴/18243225
などが得られて

s = 2nの場合は、ベルヌーイ数 B_n は次の漸化式である
Σ [i = 0 n] _n+1C_i*B_i = n + 1
ζ(2n) = (-1)^n-1*2^2n-1*B_2n/(2n)!*π²ⁿ (n ∈ N)
が得られる。

(ii) 1 ≦ s の時の s = 2n-1 (n ∈ N) の場合はまだ発見されていない。


(2) s ≦ 0 ∈ Z の場合 解析接続と関数等式
＜一致の定理＞
関数 f(z) と g(z) は領域D で正則であり、D の点a に収束する D内の点列{z_n} (z ≠ a, n ∈ N) に対して
f(z_n) = g(z_n) (n ∈ N)
が成り立てば、D全体で f(z) = g(z) である。

＜解析接続＞
f(z) = 1/(1-z) D(1) = {z | |z| ＜ 1}
g(z) = 1/(1-z) D(2) = {z | |z - a| ＜ |1 - a|}
F(z) = {f(z) (z ∈ D(1)) g(z) (z ∈ D(2))} は D(1) ∪ D(2) で正則である。
D(1)からD(1) ∪ D(2)へ拡張されたのである。
f(z) は D(2) へ解析接続された、また、g(z) は D(1) へ解析接続されたという。

証明は省きます。（複素解析の専門書によるとガンマ関数より証明される）
ζ(s) は、1-m より解析接続されて、関数等式が得られるようだ。
ζ(s) = 1/(s-1) + 1/2 + Σ{k=1 M-1] B(k+1)/(k+1)!*s(s+1)...(s+k-1) - s(s+1)...(s+M-1)/M!∫[1 ∞] B(M)(x-[x])/x^s+Mdx
の式より次の関数等式が得られる。
s = 1-m
ζ(s) = ζ(1-m) = -B(m)/m

ζ(-2) = ζ(1-3) = -B(3)/3 = 0
ζ(-4) = ζ(1-5) = -B(5)/5 = 0
ζ(-6) = ζ(1-7) = -B(7)/7 = 0

よって、s = -2n　は次の結果を得る。
ζ(-2n) = ζ(1-(2n+1)) = -B(2n+1)/(2n+1) = 0
これを自明な零点をよぶ。

ζ(0) = ζ(1-1) = -B(1)/1 = -1/2*1 = -1/2
ζ(-1) = ζ(1-2) = -B(2)/2 = -1/6*1/2 = -1/12
ζ(-3) = ζ(1-4) = -B(4)/4 = -(-1/30)*1/4 = -1/120


(3) Re(s) ＞ 1 ∈ C の場合
絶対収束する

＜証明＞
|n^-z| = |e^-zlog(n)| = e^-xlog(n))
任意に k ＞ 1 をとると、 x ≧ k のとき、|n^-z| ≦ n^-k となり、収束優級数で押さえられるからそこでは一様収束する。
Q.E.D.

(4) 0 ≦ Re(s) ＜ 1 ∈ C の場合
s = 1 で１位の極をもち、留数が１である
このとき、Re(s) = 1/2 のときに、零点をとるとリーマンは予想しました。


私の調べた範囲では、リーマン予想は、こんな感じでした。

＜私の疑問＞
(1) s (s ∈ Z) のとき、Zだが、実数の時の値はなぜ、求めないのか？
(2) s = -2n (n ∈ N) のときに、零点をとるが、0 ≦ Re(s) ＜ 1 ∈ C 以外に零点はないのか？　(1)との関係です。
(3) ζ(s) の値は、何かの等式(sin(x)/xなどを含む)より発見されているが、なぜ、等式なのか？
(4) ζ(1/2 + i) のように、直接に代入して求められないのか？
(5) 一致の定理、解析接続をよく見ると、収束半径が大事なことが分かります。z = x + iy = r(cosθ+i*sinθ) と考えれば、r と何か関係がないのでしょうか？
(6) (5)の r との関係がリーマン予想と関係があるのか？

＜参考書籍＞
複素関数論　近代科学社
複素解析　現代数学社
数学セミナー（2009年11月号）リーマン予想150年
数学セミナー増刊　リーマン予想がわかる
数学のたのしみ（1997年6月号）
岩波講座　現代数学の基礎　複素解析
岩波講座　現代数学の基礎　数論１


＜補足＞
現在は、「微分積分学」、「線形代数学」、「集合・位相」を丁寧に勉強をしています。
リーマンζ関数は、興味があったので、関係書籍を読んでみました。
私の疑問(1)～(6)までありますが、複素解析、数論などはきちんと勉強をしていないので、現段階の疑問です。
なので、そんなに真面目に答えなくても大丈夫です。

興味があったので、色々と調べていたら、楽しかったので、ついつい時間が過ぎて行きました。
基本（大学１、２年生）を大事にしながら、勉強する方針には変わりありません。

１１月の検索キーワード

１１月の検索キーワードです。
２回以上アクセスした物を選んでいます。

＜高校数学（大学入試）＞
6x^2+5xy+y^2+2x-y-20
東大数学
自然対数 e 定義
sin(９０°-A)=cosA 定義　三角比
sin(９０°-A)=cosA 三角比　相互関係
tan(90-θ)=1/tanθの証明
茨城大学　相加相乗
sin θ-90° cos

＜一般数学＞
解析学　アークタンジェント
リー代数
直積の　計算例
数学　積分　公式
森重文　大学への数学
x^N+1=0の解

＜リーマン＞
リーマン予想
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数学　リーマン予想
リーマン予想 Wiki

＜プログラム＞
vba 素数の求め

＜その他＞
数学　繰り返し　社会現象　波
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動画　数学
光の届く距離　速さ　太陽


以上の検索より訪れた方がいました。

数学の質問はQ&Aのコーナーまでお願いします。

複素数は体論 数学の疑問(2)

代数学入門は、以前に流し読み程度しかしませんでした。

＜体の定義＞
１．(a + b) + c = a + (b + c)
２．a + 0 = 0 + a = a
３．a + (-a) = 0
４．a + b = b + a
５．(ab)c = a(bc)
６．a1 = 1a = a
７．aa^(-1) = 1
８．ab = ba
９．(a + b)x = ac + bc, a(b + c) = ab + ac

環とは違うのは、８．が成立する部分だと思います。
z = x + iy, w = s + it とすると、上記の１．～９．が成り立つのは分かります。

しかし、i^i = = exp(i*logi) = exp{i(ln1 + πi/2 + 2nπi) = exp(-π/2 - 2nπ)
この i^i = exp(-π/2 - 2nπ) も体論して考えられるのでしょうか？

よく、複素数は体をなしていると書かれているので、よく理解が出来ません。
これが、素朴な疑問です。

複素数は多価関数 数学の疑問(1)

複素関数論を読んでみて、素朴な疑問があります。

z = x + yi = r(cosθ+i*sinθ) と極表示されます。
そうすると、z はθ = φ + 2nπ と表示されます。
z は n価関数ではないのでしょうか？

本では、0 ≦ θ ＜ 2π として、1価関数として理論を展開をしています。
なぜ、θ = φ + 2nπ として理論を展開をしないのでしょうか？
少し不思議に感じました。

収束半径 r の開円板{z | |z| ＜ R} と定義しています。
結局は、極表示で考えれば、|z| = r なので、r ＜ R より理論を展開しています。
θ = φ + 2nπ は、ほとんど理論には無関係に定理が書かれています。

私の素朴な疑問です。