数学の最先端

今日は、デパートの本屋さんに行きました。
少しだけ色々な専門書が置いてあるので、ちらと見ました。
なんと・・・。
「数学の最先端　２１世紀への挑戦　volume 6」が置いてありました。
なので、即購入しました。

ざっとしか、読んでいませんが、「定理」ではなくて「予想」と書いてあってやはり最先端の研究なんだなぁと感じました。

読んでみて、何となくは分かるけど・・・という感じです。
大学卒業をしていないから、すべてがきちんと分かる訳ではないけど。
こんな問題を数学者は考えているのだなぁと断片でも知ることは、楽しいです。

見ているだけで、何かワクワクします。

大学受験の時

今から１８年前の大学受験の時。

高校は県でも下のレベルの高校であった。
しかし、数学だけは特化していたので、得意であった。

中２の時には、整関数の積分はすでに、理解していた。
大学受験の時の微分方程式は、変数分離形しか出ないと言われていたが、その変数分離形の意味が分からなかった。

逆に、大学１年で習う微分方程式すら知っていたので、頭が混乱をしていた。
同次形、１階線形微分方程式などである。

変数分離形は、dx、dy(f(x)dx = f(y)dy) に単純に分ける微分方程式だとは、大学を卒業後、独学で微分方程式を学んだ後であった。

今では笑話である。

代数多様体

代数多様体の双有理分類をめざして
代数多様体について

代数多様体というと、広中平祐教授が「代数多様体における特異点の解消」よりフィールズ賞を受賞したことが懐かしいです。

大学への数学

毎年、４、５月だけは、大学への数学を購入しています。
それは、大学入試の問題が掲載されているからです。

実は購入しているだけで、あまり解いていませんが・・・。
でも、大学入試の傾向が分かるので、面白いです。

正直に言いますと、大学入試は落とすための入試なので、あまり数学の面白さがある問題が出ることはないです。

それよりは、数学オリンピックの問題の方が、色々なアイデアで考えながら解くので、発想、考え方などが面白いです。

オイラーの見た夢

メインの話題は、ゼータ関数です。

＜ゼータ関数＞
ζ(s)
= ∑n^-s
= 1 + 2^-s + 3^-s + ...
= 1 + 1/2^s + 1/3^s + ...

ζ(-1) = 1 + 2 + 3 + ... = -1/12
複素数まで考えて、解析接続をすれば、ζ(-1) = -1/12 となるようです。
※解析接続の意味はよく知りません。
※解析接続についてを読みましたが、なんとなくしか分かりません。

現在、知られている最大の素数は、2008年8月23日に発見されています。
メヌセンス素数（2ⁿ - 1 の形）
2^43112609 - 1 （1297万8189桁）

ζ(-1)
= 1 + 2 + 3 + ... = -1/12
ζ(-2)
= 1 + 2² + 3² + ... = 0
ζ(-3)
= 1 + 2³ + 3³ + ... = 1/120
ζ(-4)
= 1 + 2⁴ + 3⁴ + ... = 0
※ s の負の偶数は、ζ(s) = 0 になることは知られている。

数学者リーマンは、ゼータ関数である予想をしました。
リーマン予想：ζ(s) の虚の零点の実部はすべて 1/2 であろう。

ヒルベルトの２３の問題の１つにリーマン予想（第８問題）があります。
ところで、ヒルベルト２３の問題は、現在はどれだけ解かれているのでしょうか？
私は、簡単な解説書を持っているので、２３の問題は知っていますが、どれだけ解かれているのでしょうか？

※ご指摘があったので、１部内容を修正しています。

数学者の夢

オイラーの見た夢／無限和の夢
代数多様体の双有理分類をめざして
微分幾何と他分野との狭間で見えるもの
７次方程式の解法を夢見た数学者フェリックス・クライン
可積分系だって現在数学である
万物の幾何学へかける夢
ゲーテルの夢
終わりなき旅
人や社会を数理モデルで研究すること
カルタンの夢
が数学セミナーの記事のタイトルです。

数学セミナーを読みました。
現在は、「７次方程式の解法を夢見た数学者フェリックス・クライン」を途中まで読んでいるところです。

「数学の最先端　２１世紀への挑戦」が１～６巻まで発売されているようですね！
こんな本があると欲しくなります。

改めて見ると、このような記事を読むとワクワクする感じです。
数学は楽しいなぁ・・・。

数学セミナー

数学セミナーの４月号を購入しました。
「数学者の見た夢」だそうです。
楽しみです。

円周率

円周率π = 3.14159265358979.....
までは、記憶しています。

小５で習いますね！
円周率 = 3.14 と教わりました。

中学から、円周率をπと表現するようになります。

πの定義は、直径１の円周の長さとしました。
※半径１の面積が定義ではありません。

近似値を求める方法は、円に「内接する n角形」と「外接する n角形」辺の長さを求める方法です。
円に「内接する n角形」をL₁
円に「外接する n角形」をL₂
とすると
L₁ ＜ π ＜ L₂ となります。

5角形で考えてみると、5sin36° ＜ π ＜ 5tan36°
sin36° = 0.5878
tan36° = 0.7265
よって、　2.9390 ＜ π ＜ 3.6325

同様にn角形では、n・sin(180°/ n) ＜ π ＜ n・tan(180° / n)

では、20角形を考えてみましょう！
20・sin9° ＜ π ＜ 20・tan9°
20・0.1564 ＜ π ＜ 20・0.1584
3.128 ＜ π ＜ 3.168

正確にπを求める方法はないのでしょうか？
それは、マチンの級数が有名です。
π = 16arctan(1 / 5) + 4arctan(1 / 239)

他に求め方は、色々と発見されています。
プログラムでは、このマチンの級数を使って求めることが出来ます。

πは無理数であることが分かりました。
無理数でも、特別な無理数で超越数があります。
√2 は無理数です。　しかし、x² = 2 の解ですね！
n次方程式の解にならない無理数を、超越数と言います。
πは超越数であることが分かりました。

高校の数学

高校までの数学は、古典数学と言われています。
公式自体は、そんなに難しいことはないです。
※ひねった問題はたくさんありますけど・・・。

中学からは、文字の計算を行います。
※その文字にどんな数字を入れても成り立つ意味ですね！

それから、未知数を求める、１次方程式、２元１次方程式、２次方程式を中学で扱います。

関数とは、x の値に対して、y の値が定まるのことを関数と言います。
一般形は、y = f(x) と表現されます。
y = 2x - 1、y = 2x²などと表現しますね！

厳密には集合Aを集合Bに写像fをすることの１部が関数です。
B = f(A)と書いた方が分かりやすいと思います。
集合論の表現では 「f : A → B」 と表現します。

でも、これらは古典数学なので、１７世紀以前にはすでに分かっている事実でした。

大学の数学

どなたか、大学で行う数学を教えて頂けないですか？
また、大学院で行う数学を教えて頂けないしょうか？

最先端の数学を知りたいのですが、ネットではどんな言葉をキーワードで探せば良いか分かりません。

よろしくお願い致します。